Рекомендуется исследовать процесс во всех потенциально полезных системах отсчёта. Как уже сказано, в хорошей системе отсчёта какая-нибудь скорость или её компонента (либо ускорение или его компонента) обращается в нуль или две скорости оказываются равны. Найдя подходящую систему отсчёта, мы можем вернуться в лабораторную и пересчитать теперь уже известные скорости и ускорения по правилу сложения скоростей (ускорений). NB! Ускорения складываются так же, как скорости, только если движение системы отсчёта поступательное (т. е. она не вращается).

зад 1 простая На берегу реки есть пристань; когда мимо пристани проплывала баржа, от пристани отошёл моторный катер в деревню, расположенную на расстоянии \(s_1 = 15\) км вниз по течению. Он добрался до места назначения через \(t = 45\) мин, развернулся и сразу же двинулся обратно к отправной точке. На расстоянии \(s_2 = 9\) км от деревни он встретил баржу. Какова скорость течения реки и какова скорость катера относительно воды? Заметим, что баржа не двигалась относительно воды.

Здесь движение происходит относительно воды, и это даёт нам подсказку: попробуем решить задачу, используя систему отсчёта воды. Если присмотреться, становится ясно, что это действительно хороший выбор: в этой системе скорость катера постоянна, а баржа покоится, т. е. движение тел гораздо проще, чем в системе отсчёта берега.

зад 2 Два самолёта летят на одной высоте со скоростями \(v_1 = 800\) км/ч и \(v_2 = 600\) км/ч соответственно. Самолёты сближаются; в некоторый момент времени траектории самолётов перпендикулярны друг другу, и оба самолёта находятся на расстоянии \(a = 20\) км от точки пересечения своих траекторий. Найдите минимальное расстояние между самолётами за время полёта, считая, что их скорости останутся постоянными.

Идея 1 советует нам искать систему отсчёта, в которой какие-то тела покоятся; это была бы система одного из самолётов. Однако здесь у нас двумерное движение, так что скорости нужно складывать и вычитать векторно.

Скалярная величина — это величина, которая полностью описывается одним числовым значением; векторная величина — это величина, которую нужно описывать модулем (его называют также длиной) и направлением. Сумма двух векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) определяется так: если истолковать векторы как перемещения (модуль вектора даёт расстояние, а его направление — направление перемещения), то вектор \(\vec a+\vec b\) соответствует итоговому перемещению в результате двух последовательно выполненных перемещений \(\vec a\) и \(\vec b\). Это отвечает правилу треугольника, см. рисунок. Вычитание определяется как операция, обратная сложению: если \(\vec a+\vec b = \vec c\), то \(\vec a = \vec c-\vec b\).

Введя понятие вектора, мы можем заодно закрепить терминологию.

Скорость — векторная величина, которую можно задать проекциями на оси \(\vec v = (v_x,v_y,v_z)\); модуль скорости — это модуль вектора, \(v = |\vec v| = \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\). Аналогично перемещение — это вектор, направленный из начальной точки тела в его конечное положение; пройденный путь — сумма модулей всех элементарных перемещений (длина кривой).

Для векторного сложения есть два пути. Во-первых, можно выбрать две оси, например \(x\) и \(y\), и работать с соответствующими проекциями векторов скорости. Так, если наша система отсчёта движется со скоростью \(\vec u\), а скорость тела в этой системе равна \(\vec v\), то его скорость в лабораторной системе \(\vec w = \vec u+\vec v\), что можно найти через проекции \(w_x = v_x+u_x\) и \(w_y = v_y+u_y\). Как вариант, можно действовать геометрически и применить правило треугольника, см. выше.

Выбрав систему отсчёта одного из самолётов, задачу 2 можно решить с помощью следующей идеи.

▶Посмотреть решение задачи 2Скрыть решение

Решение

Перейдя в систему отсчёта красного самолёта, мы видим синий самолёт с направленной по диагонали скоростью.

Наибольшее сближение будет тогда, когда путь более быстрого самолёта образует перпендикуляр с более медленным. Это превращается в геометрическую задачу, где у нас два подобных прямоугольных треугольника. Мы можем разложить скорость синего самолёта на компоненты (поскольку перемещение направлено так же, как скорость, это же будут и компоненты перемещения). Верхний треугольник — прямоугольный треугольник \(3-4-5\), значит, и нижний правый треугольник тоже должен быть треугольником \(3-4-5\).

Теперь остаётся определить, насколько далеко находится синий самолёт, когда он прямо над красным. Время, за которое он доходит до этой точки, равно \[t = \frac{20\text{ км}}{800\text{ км/ч}} = 0{,}025\text{ ч},\] а вертикальное расстояние, которое он проходит за это время, \[\Delta y = (600\text{ км/ч})(0{,}025\text{ ч}) = 15\text{ км},\] значит, вертикальное разделение равно 5 км. Поэтому \[\boxed{d = 4\text{ км}}.\]

Решение 2. Поработаем на этот раз в лабораторной системе, но разложим скорости двух самолётов на направление, перпендикулярное линии между ними, и направление вдоль неё. Нас интересует только радиальная компонента. Изначально самолёты сближаются, но в конце концов начнут удаляться. Момент, когда это происходит, — это момент, когда радиальные компоненты их скоростей направлены в одну сторону и равны по модулю. Если бы мы измерили их радиальное ускорение в этот момент, оно было бы нулевым.

Итак, должно быть \[600\sin\alpha = 800\cos\alpha\ \Longrightarrow\ \tg\alpha = \frac43.\] Из подобия треугольников должно также выполняться \(\frac43 = \frac yx\). Пусть \(t = 0\) — момент, когда быстрый самолёт находится прямо над медленным. Вертикальное разделение в этот момент равно 5 км. Значит, \(x = 800t\) и \(y = 5-600t\). Мы хотим \[\frac{5-600t}{800t} = \frac43.\] Решая относительно \(t\) и подставляя в \(x\) и \(y\), можно получить расстояние, которое оказывается равным \(\boxed{4\text{ км}}\).

Решение 3. Можно воспользоваться обобщёнными координатами. Расстояние между самолётами равно \[\vec d = (20-800t)\hat x+(-20+600t)\hat y = \vec s+\vec vt,\] где \(\vec s\equiv20\hat x-20\hat y\) и \(\vec v\equiv-800\hat x+600\hat y\) — относительная скорость. Как и раньше, мы хотим, чтобы относительная скорость была перпендикулярна перемещению \(\vec d\). Один из способов — максимизировать векторное произведение: \[|\vec d\times\vec v| = |\vec s\times\vec v+\vec v\times\vec vt| = |\vec s\times\vec v|.\] В максимуме это векторное произведение должно равняться \(|\vec d||\vec v|\). Значит, всё, что нужно, — вычислить \[|\vec d| = \frac{|\vec s\times\vec v|}{|\vec v|} = \boxed{4\text{ км}}.\]

Решение 4. Вот стандартный метод анализа. Расстояние между самолётами через время \(t\) равно \[d^2 = (20-800t)^2+(20-600t)^2.\] \(d\) экстремально, когда экстремально \(d^2\), т. е. когда \[\frac{d}{dt}\bigl[(20-800t)^2+(20-600t)^2\bigr] =\] \[= 2(20-800t)(-800)+2(20-600t)(-600),\] \[ 0 &= 4(20-800t)+3(20-600t),\\ 0 &= 80-3200t+60-1800t,\qquad t = 7/250. \] Подставляя \(t = 7/250\) в формулу расстояния, получаем \(\boxed{d = 4\text{ км}}\).

Следующая задача требует применения нескольких идей, и потому она отнесена к сложным. При переключении между системами отсчёта полезны будут следующие идеи.

На языке математиков это значит, что прямоугольный треугольник определяется одним углом и одной из своих сторон. Например, если мы знаем, что скорость составляет угол \(\alpha\) с горизонтом, а её горизонтальная компонента равна \(w\), то её модуль равен \(w/\sin\alpha\).

зад 3 трудная Одно из двух колец радиуса \(r\) покоится, а другое движется со скоростью \(v\) навстречу первому. Найдите, как зависит скорость верхней точки пересечения от \(a\) — расстояния между центрами колец.

Идею 4 можно использовать снова в следующей задаче.

▶Посмотреть решение задачи 3Скрыть решение

Решение

Рассмотрим следующий чертёж.

Переход в систему отсчёта, движущуюся влево со скоростью \(v/2\), даёт следующий чертёж (где \(u\) — скорость точки пересечения):

По подобию (две стороны и угол между ними) находим, что \[\frac u{v/2} = \frac r{\sqrt{r^2-(a/2)^2}},\qquad u = \frac v{2r}\sqrt{r^2-(a/2)^2} = \boxed{\frac v2\sqrt{1-(a/2r)^2}}.\]

Решение 2. Начинаем так же, как в решении 1, и переходим в систему отсчёта, движущуюся влево со скоростью \(v/2\). Пусть \(y = \sqrt{r^2-a^2/4}\) — высота точки пересечения над центрами колец. Тогда мы видим, что \[\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{da}\cdot\frac{da}{dt} = \frac1{\sqrt{(2r/a)^2-1}}\cdot\frac v2.\] Следовательно, \[u = \sqrt{u_x^2+u_y^2} = \sqrt{\frac{v^2}4+\frac{v^2}4\cdot\frac1{(2r^2/a)-1}},\qquad u = \boxed{\frac v2\sqrt{1-(a/2r)^2}}.\]

зад 4 Шары-зонды с постоянной скоростью подъёма можно использовать для исследования скорости ветра на разных высотах. Приведённый график зависимости угла возвышения от времени получен при наблюдении такого шара. Шар был выпущен на расстоянии \(L = 1\) км от точки наблюдения, и казалось, что он поднимается строго вверх. Зная, что скорость ветра у земли была нулевой, найдите высоту шара в момент \(t = 7\) мин после старта и скорость ветра на этой высоте.

Чтобы ответить на первый вопрос, нам понадобится ещё и следующая идея.

Чтобы быть математически корректным, есть два пути. Во-первых, в более простых случаях можно сказать, что приращения бесконечно малы, и обозначить их дифференциалами \(dx\) и \(dy\). В более сложных случаях бывает удобнее начать с малых, но конечных приращений \(\Delta x\) и \(\Delta y\), провести вычисления, сохраняя только главные члены (например, в \(\Delta x+\Delta x\cdot\Delta y\) второе слагаемое — произведение двух малых величин и им можно пренебречь по сравнению с первым), и наконец перейти к пределу бесконечно малых приращений \(\Delta x\to dx\), \(\Delta y\to dy\).

Чтобы ответить на второй вопрос, нужна ещё одна идея.

зад 5 простая Кусок белого мела бросают на чёрную горизонтальную доску, движущуюся с постоянной скоростью. Изначально скорость мела была перпендикулярна направлению движения доски. Какую форму имеет след мела на доске?

Чтобы решить следующую задачу, вдобавок к предыдущей идее нам понадобится идея 2, которую можно переформулировать несколько более общо (и менее конкретно): некоторые минимумы и максимумы можно найти, не беря никаких производных, — и более того, решение без производной может оказаться гораздо проще. Для этой задачи ещё более узкая формулировка была бы такой.

▶Посмотреть решение задачи 5Скрыть решение

Решение

\

В системе отсчёта доски действует только горизонтальная сила (сила трения), имеющая постоянное направление, антипараллельное скорости. Значит, мел движется по \(\boxed{\text{прямой}}\).

зад 6 трудная Брусок толкают на движущуюся ленту транспортёра. Лента движется со скоростью \(v_0 = 1\) м/с, начальная скорость бруска \(u_0 = 2\) м/с перпендикулярна скорости ленты. Какова минимальная скорость бруска относительно земли за время его последующего движения? Коэффициент трения достаточно велик, чтобы брусок не свалился с ленты.

Следующая задача несколько необычна, конкретные комментарии будут даны после неё. Чтобы справляться с такими ситуациями, можно дать на вид тривиальный, но очень часто игнорируемый совет.

▶Посмотреть решение задачи 6Скрыть решение

Решение

Предположим, что брусок изначально толкнули влево в системе отсчёта земли, а транспортёр движется вверх.

В системе отсчёта ленты транспортёра брусок движется со скоростью \(\sqrt5\) м/с. Это изображено красным вектором. Поскольку трение противодействует движению, направление движения относительно ленты будет постоянным. Модуль будет равномерно убывать до нуля.

Чтобы вернуться в систему отсчёта земли, можно прибавить обратно скорость ленты транспортёра, как показано ниже.

Синий вектор показывает скорость бруска относительно земли. Изначально она равна 2 м/с, но по мере того как трение уменьшает модуль красного вектора (изображающего скорость относительно ленты), синий вектор уменьшается до минимума. Этот минимум достигается, когда образуется прямоугольный треугольник (показанный пунктиром).

Поэтому минимальная скорость бруска относительно земли равна \[v = 1\cdot\sin\theta = \boxed{\frac2{\sqrt5}}.\]

В хорошо написанной задаче нет лишних предложений. Хуже, если это не так. Иногда автор задачи хочет научить вас большему, чем сама задача, и рассказывает много всего (например, исторический фон), что безусловно интересно, но не относится к решению. Это нормально, если вы решаете задачу дома в качестве упражнения и у вас масса времени. Однако на олимпиадах в условиях нехватки времени нужно выработать навык быстро проходить такие абзацы: нужно убедиться, что внутри действительно нет важных подсказок.

зад 7 трудная После удара футболиста мяч полетел прямо в ворота со скоростью \(v = 25\) м/с под углом \(\alpha = \arccos 0{,}8\) к горизонту. Из-за бокового ветра, дующего со скоростью \(u = 10\) м/с перпендикулярно начальной скорости мяча, к моменту, когда мяч достиг плоскости ворот, он отклонился от первоначального курса на \(s = 2\) м. Найдите время, за которое мяч долетел до плоскости ворот, если ворота находились на расстоянии \(L = 32\) м от футболиста.

В типичной задаче даны все значения параметров, описывающих систему, и затем спрашивается о её поведении. Здесь система как будто переопределена: зачем нам значение \(s\), разве нельзя просто по начальной скорости определить время полёта и получить \(t = \frac L{v\cos\alpha}\)? Такой вопрос может возникнуть прежде всего потому, что вы привыкли пренебрегать сопротивлением воздуха. Однако никто не говорил, что здесь им можно пренебречь! Более того, очевидно, что сопротивлением воздуха пренебречь нельзя, иначе мяч не отклонился бы от траектории свободного падения!

Оценить траекторию мяча при турбулентном сопротивлении воздуха было бы очень трудной задачей (потребовалось бы численное интегрирование дифференциального уравнения). Однако делать этого не нужно, потому что сопротивление воздуха задано не формулой для силы сопротивления, а конечным отклонением от соответствующей траектории свободного падения.

Итак, с помощью идеи 9 мы заключаем, что сопротивлением воздуха здесь пренебречь нельзя. Поняв это, становится очевидно, что нужно применить идею 7. Однако даже вооружившись этим знанием, можно натолкнуться на математические трудности, поскольку нет прямого способа выразить время полёта \(t\) через данные величины. Вместо этого советуем выписать уравнение, содержащее \(t\) как неизвестную, и затем решить его.

▶Посмотреть решение задачи 7Скрыть решение

Решение

\

Обозначим штриховой линией стену, находящуюся на расстоянии \(L\) от точечного источника.

Выразим боковое смещение мяча как сумму двух составляющих: бокового смещения в системе отсчёта воздуха и бокового смещения движущейся системы отсчёта. В системе воздуха смещение даётся выражением \[ut_{\text{возд}} = \frac{uL}{v\cos\alpha},\] а боковое смещение в движущейся системе равно \(s\). Это даёт нам \[ut = \frac{uL}{v\cos\alpha}+s\ \Longrightarrow\ \boxed{t = \frac su+\frac L{v\cos\alpha}}.\]

Кроме того, в отличие от задач, что были до сих пор, здесь речь идёт о трёхмерной геометрии, из-за чего трудно рисовать чертежи на двумерном листе бумаги. Поэтому нам нужна ещё одна простая идея.

Следующая задача иллюстрирует такую идею.

Выведем из этой идеи готовый рецепт для случая, когда мяч сталкивается с движущейся стенкой. Во-первых, поскольку стенка тяжёлая, центр масс системы совпадает с центром масс стенки, а значит, мы будем работать в системе отсчёта стенки. В системе центра масс, если соударение упругое и трения нет, то в силу законов сохранения энергии и импульса тела разлетятся с той же скоростью, с какой сближались, т. е. нормальная компонента скорости мяча меняет знак. Если дважды применить сложение скоростей (при переходе в систему стенки и при возвращении в лабораторную систему), мы приходим к следующему выводу.

Для этой задачи нужно также помнить следующее.

зад 8 трудная Теннисный мяч падает со скоростью \(v\) на тяжёлую ракетку и упруго отскакивает назад. Какой должна быть скорость ракетки \(u\), чтобы мяч отскочил под прямым углом к своей начальной траектории и не начал вращаться, если он не вращался до отскока? Чему равен угол \(\beta\) между \(\vec u\) и нормалью к плоскости ракетки, если соответствующий угол для \(\vec v\) равен \(\alpha\)?

Если помнить об идее 9 и внимательно прочитать условие, мы заметим, что ракетка тяжёлая, так что можно использовать идею 13. Обратите также внимание, что мяч не будет вращаться после соударения — это важно для нахождения параллельной (к плоскости ракетки) компоненты скорости.

Ранее мы упоминали, что с векторами можно работать либо геометрически (например, применяя правило треугольника для суммы векторов и решая тригонометрическую задачу), либо алгебраически, через проекции. Довольно часто геометрический подход даёт более короткие решения, но не всегда; из этого наблюдения следует такая рекомендация.

▶Посмотреть решение задачи 8Скрыть решение

Решение

Построим прямоугольную трапецию следующим образом. Разложим \(\vec v\) на параллельную и перпендикулярную составляющие, \(\vec v = \vec v_x+\vec v_y\); отметим точки \(A\), \(B\) и \(C\) так, что \(AB = \vec v_x\) и \(BC = \vec v_y\) (тогда \(AC = \vec v\)). Далее отметим точки \(D\), \(E\) и \(F\) так, что \(CD = \vec v\,'_y = \vec v_y\), \(DE = -\vec v_x\) и \(EF = 2\vec u_x\); тогда \(CF = \vec v\,'_y-\vec v_x+2\vec u_x\equiv\vec v\,'\) и \(AF = 2\vec v_y+2\vec u_x\equiv2\vec u\). По условию задачи \(\angle ACF = 90^\circ\).

Теперь видно, что \(\triangle ACF\) — равнобедренный треугольник со сторонами, указанными на рисунке ниже. Отметим также точку \(G\) — середину \(AF\); тогда \(FC\) — одновременно средняя линия прямоугольной трапеции \(ABDF\) (а значит, параллельная \(AB\) и оси \(x\)) и медиана треугольника \(ACF\).

Разбив \(\triangle ACF\) его медианой, находим \[u\cos\alpha = \frac v2\ \Longrightarrow\ \boxed{u = \frac v{2\cos\alpha}}.\] Чтобы это выполнялось, видим также, что \(\boxed{\beta = 180^\circ-2\alpha}\), поскольку \(\triangle ACF\) равнобедренный.

Для алгебраического подхода очень важен оптимальный выбор осей. «Оптимальный» означает, что условия записываются как можно проще. Иногда может оказаться, что самые полезные координатные оси даже не перпендикулярны друг другу.

Для задачи 8 геометрическое решение оказывается проще, но до него труднее додуматься. Это довольно типично: алгебраический подход приводит к решению «в лоб», когда с самого начала ясно, что нужно делать, но вычисления математически длинные. Тем не менее принципиальных трудностей нет, и остаётся только их проделать. Пока математическая часть не будет неразумно длинной и не приведёт к принципиальным трудностям (вроде неразрешимых уравнений), подход «в лоб» вполне годится: придумывание изящного решения тоже отнимает время.

Обычно геометрические решения физических задач представляют собой очень простые геометрические задачи, и потому найти эти более короткие, чем алгебраические, решения тоже довольно легко. В данном же случае геометрическая задача оказывается довольно хитрой. Хотя идея 14 подсказывает, что для задачи 8 хорош алгебраический подход (требование отсутствия вращения даёт нам условие на параллельную компоненту скорости), рекомендуем попробовать здесь оба метода. В обоих случаях понадобится ещё одна математическая идея.

Идея 1 говорила нам о пользе переключения между разными системами отсчёта. Эту идею можно использовать и при работе с вращательным движением.

Угловая скорость \(\vec\omega\) равна по модулю углу поворота (в радианах) за единицу времени и параллельна оси вращения, причём направление задаётся правилом буравчика (если буравчик вращать так же, как тело, вектор указывает в направлении движения буравчика).

Эту идею иллюстрирует сравнительно простая задача.

зад 9 простая Вертикальное зеркало с двумя отражающими поверхностями (передней и задней) вращается вокруг вертикальной оси, как показано на рисунке, с угловой скоростью \(\omega\). Есть неподвижный точечный источник света \(S\) на расстоянии \(a\) от оси вращения. Найдите скорость изображения точечного источника как функцию времени.

▶Посмотреть решение задачи 9Скрыть решение

Решение

Переходим в систему отсчёта, вращающуюся по часовой стрелке с угловой скоростью \(\omega\) вокруг центра зеркала (т. е. зеркало неподвижно).

В этой системе отсчёта изображение \(S'\) имеет угловую скорость \(\omega\) по часовой стрелке вокруг центра зеркала. Возвращаясь в систему отсчёта, где \(S\) неподвижен, мы видим, что \(S'\) движется с угловой скоростью \(2\omega\) вокруг центра зеркала, так что изображение имеет скорость \[\boxed{v = 2\omega a}.\] \section[2. Ускорения и перемещения]{2. Решения задач об ускорениях и перемещениях}

Эта глава содержит задачи 10–16 пособия. Здесь мы разбираем непостоянную скорость и графики. Когда у объекта нет постоянной скорости, присутствует ускорение, а значит, объект либо разгоняется, либо тормозит. Применение ускорения и графиков позволяет разобраться со многими задачами. В этой главе мы также посмотрим на приём разрезания на маленькие кусочки и интегрирования для получения результата.