\(v_{\text{р}} = 4\) км/ч, \(v_{\text{к}} = 16\) км/ч.

4 км.

\(u = \frac v2\sqrt{1-(a/2r)^2}\).

Скорость подъёма 4{,}85 м/с; \(h = 2000\) м; скорость ветра \(u = 2{,}8\) м/с.

Прямая линия.

\(2/\sqrt5\) м/с.

\(t = \frac su+\frac L{v\cos\alpha} = 1{,}8\) с.

\(u = v/2\cos\alpha\); \(\beta = 180^\circ-2\alpha\).

\(v(t)\equiv2\omega a\).

18{,}75 м.

39 м.

\(t = \sqrt{(t_1^2-t_2^2)/2}\).

\(8d\tg\alpha\).

\(\alpha = \arcsin0{,}5 = 30^\circ\).

6{,}7 с.

\(e^{100}-1\) секунд.

\(x = \cos\alpha\,(l-h\tg\beta)\) и \(t = \frac{h\cos\beta}v+\frac{l\sin\alpha}u\), где \(\beta = \arcsin(v\sin\alpha/u)\), если \(\tg\beta<l/h\); иначе \(x = 0\) и \(t = \sqrt{h^2+l^2}/v\).

\(x = a\bigl(\frac w{u\cos\alpha}-\tg\alpha\bigr)\), где \(\alpha = \arcsin\bigl(\frac u{w+v}\bigr)\).

\(z\le\dfrac{v_0^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2v_0^2}\).

\(v_{\min} = \sqrt{g(a+b+c)}\).

Концентрические дуги радиусов \(l_1\) и \(l_2\), где \(l_1\) и \(l_2\) — расстояния мгновенного центра вращения от верхней и нижней пластин соответственно.

\(r = 4R\).

\(a_1 = v_0^2/\sqrt3l\); \(a_2 = v_0^2/\sqrt3l\).

\(v_0 = v/(1+\sin\alpha)\).

\(u = -v\tg\alpha\), \(a = \dfrac{v^2}{l\cos^3\alpha}\).

\(u = \dfrac v{v\tau/l-1}\approx3{,}4\) м/с.

\(u\approx15\) км/ч \(\approx4{,}2\) м/с, \(\alpha\approx27^\circ\).

Да.

\(t = 2\sqrt{\dfrac Rg\Bigl(1+\dfrac{R\Omega^2}g\Bigr)}\) и \(\alpha = \arctg(\Omega t)\).

Против часовой стрелки; 3; 15 Гц.

7 см/с; \(\dfrac{1\text{ см/с}}{\sqrt{\alpha^{-2}+1/49}}\approx5{,}7\) см/с.

\(l/2\).

\(L\sqrt3\).

\(v_0 = v\bigl(\frac1{\cos\alpha}-1\bigr)\), \(a = \frac{v^2}b\tg^3\alpha\).

\(nv_0\sqrt{2H/g} = mR\cos\alpha\) с целыми \(n\) и \(m\).

\(a = 2a_0\sin(\alpha/2)\).

\(a = v_1v_2/l\).

\(v\ge\sqrt{r^2g/2h}\).

Логарифмическая спираль \(\sqrt{\bigl(\frac vc\bigr)^2-1}\,\ln\frac r{r_0} = \varphi\).

\(v_0/6\), \(v_0/2\), \(v_0\sqrt5/6\), \(\sqrt2v_0^2/36l\).

\(l\sin\varphi\), где \(\tg\varphi = |v_1\sin\beta-v_2\sin\alpha|/|v_2\cos\beta-v_1\cos\alpha|\).

\(\omega R/\cos(\alpha/2)\).

\(\sqrt{a\tg\alpha/b}\).

\(2\pi^2kr(2k+1)/v\).

\(\sqrt{v_1^2+v_2^2-2v_1v_2\cos\alpha}\,/\sin\alpha\).

\(\sqrt2v/\mu g\); парабола.

\(\sqrt{4{,}5gR}\).

20 см/с.

(i) из \(A\) и \(C\) в столицу; (ii) \(a(2-\sqrt2)\); (iii) для \(A\)–\(B\): 0 до поворота, далее \(-2v\); для \(B\)–\(C\): постоянно \(-v\sqrt2\); (iv) скорость кратковременно падает до \(-2v\).

\(v_{\min} = v_{\max} = \omega r\).

Окружность (кольцо), касающаяся земли и проходящая через центр колеса.

Синий импульс был первым; 300 мс \(<T<\) 500 мс; \(v\approx65\) см/с, \(\omega\approx23\) рад/с, \(R\approx5\) см.

Определяем \(k\approx0{,}014\) по форме струи \(y = kx^2\) в единицах сетки рисунка; тогда \(d = \bigl(32V^2k/\pi^2t^2g\bigr)\approx1\) мм.

Пусть прямая \(s_1\) соединяет треугольник (далее \(T\)) с двумя нижними звёздами, а прямая \(s_2\) — квадрат (\(S\)) с оставшейся звездой; проведём горизонтальную прямую \(s_3\) через точку пересечения \(s_1\) и \(s_2\); отметим точку пересечения \(Q\) прямых \(s_3\) и \(TA\); начальная точка \(B\) второго катера — точка пересечения верхнего берега с прямой \(SQ\).

35 мин.

1 мин; \(\sqrt{1{,}5}\) мин \(\approx73\) с.

150 или 600 пикселей.

\(h\approx3{,}2L\).

\(\dfrac Rv\arccos\dfrac uv+\dfrac Lu-R\sqrt{u^{-2}-v^{-2}}\).

\(v\approx1{,}8\) м/с; \(h\approx2{,}0\) м.

(i) \(v_{\text{ветра}}\approx13\) км/ч; (ii) \(v_{\text{ветра}}\approx21\) км/ч.

\(v\approx20\) м/с.

\(\approx12\) м/с.

\(\dfrac{N(N-1)}2\).