Приложение 1: закон сохранения импульса

Рассмотрим систему из \(N\) материальных точек («тел») и представим силу, действующую на \(i\)-ю точку, в виде суммы \(\vF_i = \sum_j\vF_{ij}+\vec{\mathcal F}_i\), где \(\vF_{ij}\) — сила, действующая на \(i\)-е тело со стороны \(j\)-го¹, а \(\vec{\mathcal F}_i\) — внешняя сила, т. е. результирующая сила со стороны тел, не входящих в данную систему. Тогда 2-й закон Ньютона для \(i\)-го тела записывается как \[m_i\frac{d}{dt}\vv_i = \sum_j\vF_{ij}+\vec{\mathcal F}_i .\] Просуммировав это равенство по индексу \(i\), в левой части получим \[\sum_i m_i\frac{d}{dt}\vv_i = \frac{d}{dt}\sum_i m_i\vv_i = \frac{d}{dt}\vP,\] где \(\vP = \sum_i m_i\vv_i\) называется импульсом системы тел. Здесь мы учли, что \(\vF_{ii}=0\), и воспользовались аддитивностью дифференцирования: производная суммы есть сумма производных. Внутренние силы в правой части взаимно уничтожаются: \[\sum_i\Bigl(\sum_j\vF_{ij}\Bigr) = \sum_{i,j}\vF_{ij} = \sum_{i>j}(\vF_{ij}+\vF_{ji}) = 0 .\] Здесь мы сначала представили сумму как берущуюся по всем парам индексов \(ij\), а затем сгруппировали члены с симметричными индексами (\(ij\) и \(ji\)) (\(\sum_{i>j}\) означает, что сумма берётся по всем таким парам \(ij\), для которых \(i>j\)); наконец, мы воспользовались 3-м законом Ньютона и заключили, что \(\vF_{ij}+\vF_{ji}=0\). Вводя результирующую внешнюю силу как \(\vF = \sum_i\vec{\mathcal F}_i\), получаем \[\frac{d}{dt}\vP = \vF .\] Последнее равенство — по существу обобщение 2-го закона Ньютона на систему тел. В частности, если внешних сил нет, то \(\vF=0\), и импульс \(\vP\) сохраняется.

Заметим, что если внешних сил нет, то уравнения движения (уравнения, определяющие, как будет эволюционировать система), т. е. уравнения, выражающие 2-й закон Ньютона, обладают трансляционной симметрией: мы можем поступательно сдвинуть систему отсчёта на вектор \(\vec a\) без всякого изменения уравнений движения. Действительно, новые векторы, указывающие на положения тел (радиус-векторы), выражаются через старые как \(\vr'_i = \vr_i-\vec a\). Внутренние силы \(\vF_{ij}\) зависят только от взаимного расположения тел, т. е. от векторов \(\vr'_i-\vr'_j = (\vr_i-\vec a)-(\vr_j-\vec a) = \vr_i-\vr_j\), которые выражаются через новые координаты в точности так же, как и через старые.

Аналитическая механика показывает, что каждая симметрия уравнений движения, содержащая параметр (который может принимать сколь угодно малые значения), порождает закон сохранения². Здесь у нас на самом деле три независимых параметра — компоненты вектора сдвига \(a_x\), \(a_y\) и \(a_z\); поэтому у нас есть три сохраняющиеся величины — соответствующие компоненты вектора импульса \(\vP\).

Приложение 2: закон сохранения момента импульса

Как и в случае закона сохранения импульса, рассмотрим систему \(N\) тел с теми же обозначениями. Возьмём производную по времени от выражения для момента импульса \(i\)-го тела: \[\frac{d}{dt}m_i\vr_i\times\vv_i = m_i\Bigl(\frac{d\vr_i}{dt}\times\vv_i+\vr_i\times\frac{d\vv_i}{dt}\Bigr).\] Здесь мы применили правило дифференцирования произведения \((ab)' = a'b+ab'\), которое остаётся справедливым и в векторной алгебре: \((\vec a\cdot\vec b)' = \vec a\,'\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec b\,'\) и \((\vec a\times\vec b)' = \vec a\,'\times\vec b+\vec a\times\vec b\,'\) (NB! Порядок векторов надо сохранять, поскольку векторное произведение антикоммутативно: \(\vec a\times\vec b = -\vec b\times\vec a\)). Заметим, что \(\frac{d}{dt}\vr_i = \vv_i\) и \(\vv_i\times\vv_i = 0\), а значит, первое слагаемое в правой части исчезает. Далее просуммируем наше первое равенство по индексу \(i\) и подставим оставшиеся члены в правой части, воспользовавшись 2-м законом Ньютона: \[m_i\frac{d\vv_i}{dt} = \sum_j\vF_{ij}+\vec{\mathcal F}_i \quad\Rightarrow\quad m_i\vr_i\times\frac{d\vv_i}{dt} = \vr_i\times\Bigl(\sum_j\vF_{ij}+\vec{\mathcal F}_i\Bigr),\] и получим \[\frac{d}{dt}\vL = \sum_{i,j}\vr_i\times\vF_{ij} +\sum_i\vr_i\times\vec{\mathcal F}_i .\] Теперь заметим, что по 3-му закону Ньютона \(\vF_{ij} = -\vF_{ji}\); все макроскопические нерелятивистские силы между двумя материальными точками действуют либо в точке контакта, когда эти две точки соприкасаются (сила упругости, сила трения), либо параллельно линии, соединяющей эти точки (электростатическая сила, сила тяготения)³. В любом случае мы можем записать \(\vr_j = \vr_i + k\vF_{ji}\); умножив это равенство на \(\vF_{ji}\), получаем \(\vr_i\times\vF_{ij} = \vr_j\times\vF_{ij} = -\vr_j\times\vF_{ji}\), а значит, внутренние моменты попарно уничтожаются в сумме; остаётся результирующий внешний момент \(\vT = \sum_i\vr_i\times\vec{\mathcal F}_i\): \[\frac{d}{dt}\vL = \vT .\] Это можно считать обобщением 2-го закона Ньютона на вращательное движение системы тел; если момент внешних сил равен нулю (\(\vT=0\)), то мы приходим к сохранению момента импульса, \(\vL=\Const\).

Заметим, что в рамках аналитической механики сохранение момента импульса можно вывести из вращательной симметрии полной энергии механической системы (при повороте системы отсчёта на угол \(\alpha\) вокруг оси, проходящей через начало координат, выражение для полной энергии должно оставаться неизменным).

Приложение 3: закон сохранения энергии

Чтобы вывести закон сохранения энергии, рассмотрим производную по времени от кинетической энергии системы тел, определённой как \(K = \frac12\sum_j m_i\vv_i^{\,2} = \frac12\sum_j m_i\vv_i\cdot\vv_i\) (здесь мы записали \(v_i^2\) как скалярное произведение \(\vv_i\) на себя). Для дифференцирования скалярных произведений применимо обычное правило дифференцирования произведения: \((\vec a\cdot\vec b)' = \vec a\,'\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec b\,'\); поскольку скалярное произведение коммутативно (т. е. \(\vec a\cdot\vec b = \vec b\cdot\vec a\)), получаем \((\vec a\cdot\vec a)' = 2\vec a\cdot\vec a\,'\). Итак, \[\frac{d}{dt}K = \sum_j m_i\frac{d\vv_i}{dt}\cdot\vv_i = \sum_j \vF_i\cdot\vv_i,\] что можно переписать для дифференциала кинетической энергии как \(dK = \sum_j\vF_i\cdot\vv_i\,dt\), где силу, действующую на \(i\)-е тело, можно выразить как сумму внутренних и внешних сил, \(\vF_i = \sum_j\vF_{ij}+\vec{\mathcal F}_i\), а \(\vv_i\,dt = d\vr_i\). Тогда \[dK = \sum_{i,j}\vF_{ij}\cdot d\vr_i+\sum_i\vec{\mathcal F}_i\cdot d\vr_i .\] Здесь \(\vF_{ij}\cdot d\vr_i\) называется работой силы \(\vF_{ij}\). Если силы \(\vF_{ij}\)

1. зависят только от координат \(\vr_i\) и не зависят от скоростей \(\vv_i\) и от времени \(t\);

2. существует такая функция \(\Pi\equiv\Pi(\vr_1,\vr_2,…\vr_N)\) (далее называемая потенциальной энергией), что при любых бесконечно малых перемещениях \(d\vr_i\) тел полная работа всех внутренних сил \(\vF_{ij}\) и внешних сил \(\vec{\mathcal F}_i\) равна взятому со знаком минус полному дифференциалу⁴ потенциальной энергии, т. е. \[-d\Pi(\vr_1,\vr_2,…\vr_N) = \sum_i\Bigl(\vec{\mathcal F}_i+\sum_j\vF_{ij}\Bigr)\cdot d\vr_i ,\]

Заметим, что условие (б) выше эквивалентно утверждению, что работа сил зависит только от начального и конечного состояний системы (т. е. от положений материальных точек), а не от того, по каким траекториям двигались материальные точки. Математически это условие можно переписать через частные производные⁵: \[-\frac{\partial\Pi(\vr_1,\vr_2,…\vr_N)}{\partial x_i} = \sum_j F_{ijx}+\mathcal F_{ix}; \tag{12}\] в правой части этого условия стоит \(x\)-компонента полной силы, действующей на \(i\)-ю материальную точку (\(x_i\) обозначает \(x\)-координату \(i\)-й частицы); аналогичные условия должны выполняться и для \(y\)- и \(z\)-компонент.

Важный случай, когда силы консервативны, — случай центральных силовых полей: внутренняя сила между двумя материальными точками параллельна линии, соединяющей эти точки, и по модулю зависит только от расстояния, \[\vF_{ij} = (\vr_i-\vr_j)f_{ij}(|\vr_i-\vr_j|),\] а внешняя сила, действующая на \(i\)-ю материальную точку, обладает аналогичным свойством относительно точки отсчёта \(\vr_{i0}\): \[\vec{\mathcal F}_i = (\vr_i-\vr_{i0})f_i(|\vr_i-\vr_{i0}|);\] заметим, что в силу 3-го закона Ньютона \(f_{ij}(r) = f_{ji}(r)\). Тогда, если положительные значения \(f_{ij}\) и \(f_i\) отвечают отталкиванию, а отрицательные — притяжению, потенциальная энергия даётся выражением \(\Pi = \sum_{i<j\le N}g_{ij}(|\vr_i-\vr_j|)+\sum_{i\le N}g_i(\vr_i-\vr_{i0})\), где \[g_{ij}(r) = -\int^r f_{ij}(r')r'\,dr',\qquad g_i(r) = -\int^r f_i(r')r'\,dr' \tag{13}\] (нижний предел этих интегралов может быть произвольным). Нетрудно проверить, что с такой потенциальной энергией равенство (12) действительно выполняется при всех значениях \(i\).

Если присутствуют также некоторые неконсервативные внешние силы, то мы можем разделить консервативные и неконсервативные силы, \(\vec{\mathcal F}_i = \vec{\mathcal F}\,'_i+\vec{\mathcal F}\,''_i\), что приводит к \[d(K+\Pi) = \sum_i \vec{\mathcal F}\,''_i\,d\vr_i ,\] где \(\vec{\mathcal F}\,''_i\) обозначает сумму всех неконсервативных сил, действующих на \(i\)-ю материальную точку.

Приложение 4: центробежная сила и сила Кориолиса

Рассмотрим систему отсчёта, которая вращается вокруг начала координат \(O\) с угловой скоростью \(\vOm\) (вектор задаёт ось вращения по правилу буравчика). Рассмотрим точку \(P\), неподвижную во вращающейся системе, и обозначим \(\vr = \overrightarrow{OP}\). В лабораторной системе отсчёта точка \(P\) движется со скоростью \(v = r\Omega\), а исследуя направление скорости \(\vv = \frac{d\vr}{dt}\), можно увидеть, что \(\vv = \vOm\times\vr\). Если же точка \(P\) движется во вращающейся системе отсчёта со скоростью \(\vu = \frac{d\vr}{d\tau}\) (будем измерять время во вращающейся системе величиной \(\tau\)), то эту дополнительную скорость надо прибавить к тому, что было бы для неподвижной точки: \[\frac{d\vr}{dt} = \frac{d\vr}{d\tau}+\vOm\times\vr .\] Итак, можно заключить, что производные векторов по времени во вращающейся и в лабораторной системах отсчёта связаны равенством \[\frac{d}{dt} = \frac{d}{d\tau}+\vOm\times{} .\] Это записано в форме оператора, а значит, справа от всех трёх членов можно поставить любой вектор (например, \(\vr\) или \(\vv\)). В частности, мы можем применить эту формулу к правой и левой частям равенства \(\vv = \vu+\vOm\times\vr\): \[ \frac{d\vv}{dt} = \Bigl(\frac{d}{d\tau}+\vOm\times\Bigr) \bigl(\vu+\vOm\times\vr\bigr) = {}\\ {}= \frac{d\vu}{d\tau}+\vOm\times\vu +\frac{d(\vOm\times\vr)}{d\tau}+\vOm\times\bigl(\vOm\times\vr\bigr). \] Здесь надо иметь в виду, что при взятии производных векторов и произведений векторов применимы все хорошо известные правила; в частности, \(\frac{d}{dt}(\vec a\times\vec b) = \frac{d\vec a}{dt}\times\vec b +\vec a\times\frac{d\vec b}{dt}\) и \(\frac{d}{dt}(\vec a\cdot\vec b) = \frac{d\vec a}{dt}\cdot\vec b +\vec a\cdot\frac{d\vec b}{dt}\). Нам понадобится также правило для двойного векторного произведения: \(\vec a\times(\vec b\times\vec c) = \vec b(\vec a\cdot\vec c) -\vec c(\vec a\cdot\vec b)\); это равенство можно запомнить, держа в голове, что двойное произведение — линейная комбинация векторов из внутренних скобок и что знак «\(+\)» стоит при векторе из средней позиции. Итак, помня, что \(\frac{d\vOm}{d\tau}=0\) и \(\frac{d\vr}{d\tau}=\vu\), и предполагая, что \(\vr\perp\vOm\Rightarrow\vr\cdot\vOm=0\), получаем \[\frac{d\vv}{dt} = \frac{d\vu}{d\tau}+2\vOm\times\vu-\Omega^2\vr .\] Напомним, что \(\frac{d\vv}{dt}\) — ускорение точки \(P\), наблюдаемое в лабораторной системе отсчёта, а \(\frac{d\vu}{d\tau}\) — то же самое во вращающейся системе отсчёта. Если теперь \(P\) — материальная точка массы \(m\) и на неё действует внешняя сила \(\vF\), то \(\vF = m\frac{d\vv}{dt}\), а значит, \[m\frac{d\vu}{d\tau} = \vF-2\vOm\times\vu\,m+\Omega^2\vr\,m,\] т. е. во вращающейся системе отсчёта тело ведёт себя так, как если бы на него действовали дополнительные силы: сила Кориолиса \(-2\vOm\times\vu\,m\) и центробежная сила \(\Omega^2\vr\,m\).

Приложение 5: устойчивость и законы сохранения

Хорошо известно, что система устойчива в минимуме своей потенциальной энергии. Но почему? Чем минимум отличается от максимума? В случае принципа Ферма разница ясна: самого длинного оптического пути между двумя точками не существует — луч мог бы идти «зигзагом», — но самый короткий определённо есть!

Причина проста: в состоянии равновесия кинетическая энергия всегда имеет минимум (пока массы положительны). На самом деле для устойчивости нужен условный экстремум одной сохраняющейся величины (например, полной энергии) при условии, что остальные сохраняющиеся величины фиксированы (безусловный экстремум тоже подходит). Рассмотрим движение тела вдоль оси \(x\) и опишем его на фазовой плоскости с координатами \(x\) и \(p\) (импульс). Полная энергия равна \(E = U(x)+p^2/2m\). Если теперь изобразить эту энергию как поверхность в трёхмерном пространстве с координатами \(x\), \(p\) и \(E\), то точка, описывающая состояние системы, будет двигаться по линии пересечения этой поверхности с горизонтальной плоскостью \(E=\Const\). В минимуме \(U(x)\) при \(p=0\) эта линия пересечения будет просто одной точкой, потому что это самая нижняя точка поверхности. Близлежащие траектории получатся, если приподнять горизонтальную плоскость чуть выше, \(E = E_{\min}+\varepsilon\), так что она уже не просто касается поверхности, а вырезает из неё крошечный эллипс. Все точки этой траектории (эллипса) находятся рядом с точкой равновесия, так что состояние действительно устойчиво.

Оказывается, система может быть устойчива и благодаря условному максимуму полной энергии: если безусловный экстремум кинетической энергии может быть только минимумом, то для условных экстремумов дело обстоит иначе. Пожалуй, простейший пример — вращение твёрдого тела. Рассмотрим прямоугольный кирпич длины \(a\), ширины \(b\) и толщины \(c\) (\(a>b>c\)). Пусть \(I_c\) — его момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости \((a,b)\); \(I_b\) и \(I_a\) определяются аналогично. В общем случае момент инерции \(I\) зависит от ориентации оси вращения, но совершенно ясно, что \(I_c\ge I\ge I_a\) (это легко показать, научившись пользоваться тензорными вычислениями). Теперь подбросим кирпич вращающимся в воздух и изучим движение в системе, движущейся вместе с центром масс кирпича (в этой системе можно не учитывать тяготение). Есть две сохраняющиеся величины: момент импульса \(L\) и энергия вращения \(K = L^2/2I\). Мы видим, что при фиксированном \(L\) система имеет минимальную энергию при \(I = I_c\) (ось параллельна самому короткому ребру кирпича) и максимальную при \(I = I_a\) (ось параллельна самому длинному ребру кирпича). Вы легко можете проверить на опыте, что оба способа вращения действительно устойчивы! А если ось параллельна третьему ребру, то вращение неустойчиво. Это явление демонстрируется в видео, снятом NASA на Международной космической станции, https://mix.msfc.nasa.gov/abstracts.php?p=3873.

Впрочем, вращение с минимальной энергией всё же немного устойчивее, чем вращение с максимальной; причина — в диссипации. Если попытаться представить движение системы в фазовом пространстве (как описано выше), то чашеобразная энергетическая поверхность (как на рисунке выше) сменится холмообразной; в равновесии фазовая траектория стягивается в точку — точку, где вершина «холма» касается горизонтальной плоскости \(E = E_{\max}\). Из-за диссипации энергия будет убывать, \(E = E_{\max}-\varepsilon\), и фазовой траекторией станет медленно раскручивающаяся спираль. Итак, если вы привыкли считать, что диссипация притягивает систему к устойчивому состоянию, то здесь всё наоборот: она уводит систему от устойчивого состояния! Это то, что известно как диссипативная неустойчивость.

Приложение 6: лагранжев формализм

В нашем подходе к механике мы постулировали законы Ньютона; на их основе вывели закон сохранения энергии, справедливый для консервативных сил, а пользуясь законом сохранения энергии, пришли к методу обобщённых координат.

В аналитической механике порядок обратный. Сначала мы постулируем, что любая механическая система обладает некоторой потенциальной энергией и некоторой кинетической энергией, обе аддитивны; мы также устанавливаем формулу для кинетической энергии материальных точек и для потенциальных энергий взаимодействия материальных точек в зависимости от типа взаимодействия (это делается аналогично тому, как в главе 2 мы устанавливали правила вычисления сил для разных типов взаимодействий).

Во-вторых, рассмотрим механическую систему с \(n\) степенями свободы, т. е. такую, что для однозначного задания состояния системы нужно \(n\) параметров. Постулируем, что если эта система эволюционирует из одного состояния, описываемого набором координат \(q_i\), \(i\in[1,n]\), в момент времени \(t=\tau\) [это состояние отвечает точке в \((n+1)\)-мерном конфигурационном пространстве с координатами \((q_1,q_2,…,q_n,t)\)] в другое состояние \(q'_i\) в момент \(t=\tau'\), то эволюция системы во времени происходит по такому пути \(q_i(t)\) (кривой линии, соединяющей начальное и конечное состояния в конфигурационном пространстве), который делает значение некоторого интеграла \(S\) как можно меньшим. Этот интеграл, называемый действием, определяется через полные потенциальную и кинетическую энергии системы, обозначаемые \(V\) и \(T\) соответственно; \(V\) зависит от координат, \(V = V(q_i)\), \(i\in[1,n]\), а \(T\) — ещё и от скоростей изменения координат \(\dot q_i\): \[S = \int_\tau^{\tau'} L[q_i(t),\dot q_i(t),t]\,dt, \tag{14}\] где \[L(q_i,\dot q_i,t) = T(q_i,\dot q_i,t)-V(q_i,t) \tag{15}\] называется лагранжианом системы, а сам постулат — принципом наименьшего действия⁶.

Методами вариационного анализа можно показать, что интеграл⁷ \(S\) имеет экстремум, если \[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i}; \tag{16}\] здесь \(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\) означает, что мы берём производную лагранжиана \(L(q_i(t),\dot q_i,t)\) только по одной из его \(2n+1\) переменных, а именно по \(\dot q_i\), считая все остальные переменные постоянными; \(\frac{\partial L}{\partial q_i}\) определяется аналогично. Между тем \(\frac{d}{dt}\) обозначает взятие полной производной по времени, т. е. мы учитываем, что \(L\) зависит от времени как явно, через свой последний аргумент \(t\), так и неявно, поскольку величины \(q_i\) и \(\dot q_i\) — тоже функции времени. Обратите внимание, что уравнение (16) справедливо для каждого \(i\), так что у нас есть система из \(n\) уравнений. От принципа наименьшего действия до уравнения (16) всего один математический шаг, так что можно сказать, что аналитическая механика по сути постулирует уравнение (16).

Какой путь лучше: исторический — постулировать законы Ньютона — или же постулировать уравнение (16)? У обоих подходов есть сильные и слабые стороны. Если классический подход строится шаг за шагом, отталкиваясь от непосредственных экспериментальных фактов, то подход аналитической механики берёт принцип наименьшего действия «с потолка». Между тем уравнение (16) даёт нам очень универсальный и мощный инструмент теоретического анализа (применимость которого не ограничивается механикой): как только у нас есть выражение для лагранжиана, мы можем записать уравнение эволюции, описывающее, как будет развиваться система. Однако надо иметь в виду, что только в случае классической механики \(L = T-V\), и даже в случае классической механики следует сохранять бдительность (см. ниже).

По сути, принцип наименьшего действия можно ввести более естественно (не «с потолка»), пользуясь квантовой механикой. Действительно, если рассматривать материальную точку как квантово-механическую волну вероятности, то в квазиклассическом приближении фазу волны можно выразить как \[\varphi = \int(\vec k\cdot d\vr-\omega\,dt) = \hbar^{-1}\int(\vp\cdot d\vr-E\,dt); \tag{17}\] здесь \(\vp\) — импульс, а \(E\) — энергия частицы. Если помнить, что \(d\vr = \vv\,dt\) и \(\vv\cdot\vp = 2T\), то дальше можно записать \(\varphi = \hbar\int[2T-(T+V)]dt = \hbar S\). Итак, действие \(S\) прямо даёт нам фазу волны. Волны складываются конструктивно, если приходят с одинаковой фазой, а многие волны, идущие разными путями, приходят почти с одинаковой фазой, если эти пути близки к пути наименьшего действия. Следует заметить, что в точности то же самое явление имеет место и в случае распространения света, и его можно подытожить как принцип Ферма⁸. Можно сказать, что, согласно принципу Гюйгенса для распространения волн, амплитуду волны вероятности можно найти как сумму вкладов от всех возможных путей трассировки лучей; однако большинство этих вкладов уничтожается из-за противоположных фаз, и нетронутым остаётся только вклад «оптимального пути» (и его ближайшей окрестности); «оптимальный» означает «отвечающий экстремуму (который оказывается минимумом) действия». Итак, можно сказать, что материальная точка движется по траектории наименьшего действия.

Теперь проверим, согласуется ли принцип наименьшего действия с законами Ньютона. Для этого рассмотрим систему материальных точек \(m_i\), \(i\in[1,n]\), и воспользуемся обычными евклидовыми координатами: пусть \(\vr_i\) указывает на положение \(i\)-й материальной точки. Определим (постулируем) лагранжиан как \[L = \frac12\sum_{i,j} m_i\vv_i^{\,2}-\Pi(\vr_1,\vr_2,…);\] здесь мы обозначили \(\vv_i = \frac{d\vr}{dt}\) и предположили, что все силы взаимодействия консервативны: \(\Pi(\vr_1,\vr_2,…)\) обозначает полную потенциальную энергию как функцию координат всех частиц. Если теперь применить уравнение (16) к этому лагранжиану и помнить, что \(\frac{\partial L}{\partial v_{ix}} = m_i v_{ix}\) (где индекс \(x\) обозначает проекцию вектора на ось \(x\)), то получим \[\frac{d}{dt}m_i v_{ix} = -\frac{\partial\Pi(\vr_1,\vr_2,…\vr_N)}{\partial x_i}.\] Согласно уравнению (12), в правой части стоит \(x\)-компонента силы, действующей на \(i\)-ю частицу (очевидно, аналогичные выражения получаются для \(y\)- и \(z\)-компонент). Итак, мы заключаем, что, записанное в евклидовых координатах, уравнение (16) эквивалентно законам Ньютона. Между тем выполнение уравнения (16) эквивалентно справедливости принципа наименьшего действия. Теперь заметим, что принцип наименьшего действия формулируется независимо от системы координат: если некоторая траектория \(\vr_i = \vr_i(t)\) имеет минимальное действие в евклидовых координатах \(\vr_i\), то она остаётся минимальной и будучи выражена через обобщённые координаты \(q_i = q_i(t)\). Поскольку траектория имеет экстремальное действие в терминах обобщённых координат \(q_i\), то (согласно результатам вариационного анализа) лагранжево уравнение (16) должно быть справедливо и тогда, когда используются обобщённые координаты \(q_i\). Это завершает наше доказательство⁹ того, что законы Ньютона и уравнение (16) эквивалентны.

Хотя доказательство мы вроде бы завершили, нужно сделать замечание о случаях, когда число степеней свободы уменьшено из-за различных связей. Например, рассмотрим твёрдое тело, состоящее из \(N\) молекул; этот набор молекул имеет \(3N\) степеней свободы. Однако относительные расстояния между молекулами фиксированы молекулярными силами, так что остаётся всего шесть степеней свободы: три числа задают положение центра масс, а ориентация тела задаётся тремя угловыми координатами. Ранее мы доказали принцип наименьшего действия для набора материальных точек (молекул), так что мы знаем, что наша система эволюционирует в \((3N+1)\)-мерном конфигурационном пространстве вдоль такой кривой \(\sigma\), соединяющей начальную точку \(A\) с конечной точкой \(B\), которая минимизирует действие. В этом конфигурационном пространстве лагранжиан должен учитывать и энергии межмолекулярного взаимодействия. Хотя выражение для энергий межмолекулярного взаимодействия может быть довольно сложным, пока нас интересует только макроскопическая динамика, нам достаточно зафиксировать расстояния. Расстояния можно зафиксировать упрощённым лагранжианом: скажем, что энергия межмолекулярного взаимодействия равна нулю, если расстояние между двумя молекулами равно тому, каким оно должно быть, и очень велика в противном случае. Из-за того что межмолекулярные расстояния фиксированы, состояние этой системы молекул можно полностью описать шестью обобщёнными координатами; это означает, что все траектории в \((3N+1)\)-мерном конфигурационном пространстве ограничены шестимерной гиперповерхностью \(M\) (точки \(A\) и \(B\) тоже должны лежать на этой гиперповерхности). Мы знаем, что траектория \(\sigma\) минимизирует действие между \(A\) и \(B\) в \((3N+1)\)-мерном конфигурационном пространстве; гиперповерхность \(M\) — часть этого пространства, так что \(\sigma\) заведомо минимизирует действие между \(A\) и \(B\) и на гиперповерхности \(M\). Поэтому уравнение (16) должно оставаться справедливым, когда мы используем шесть обобщённых координат для описания состояния твёрдого тела. Аналогичное рассуждение работает не только для твёрдого тела, но и для любых связей, фиксирующих взаимные положения частей системы (и тем самым уменьшающих число степеней свободы).

Из обсуждения предыдущего абзаца можно вывести и важное правило: если мы записываем лагранжиан в обобщённых координатах для системы с внутренними связями, число координат должно быть как можно меньшим. Например, для твёрдого тела следует использовать шесть координат, а не семь, потому что значение седьмой координаты можно вывести из первых шести (с седьмой координатой нам пришлось бы добавить в лагранжиан дополнительный член, фиксирующий её значение).

Итак, теперь у нас есть две возможности: можно пользоваться лагранжевым уравнением (16), а можно — методом 6, в котором уравнение движения выводится из закона сохранения энергии. Эти два подхода довольно похожи: и там, и там нужно выразить кинетическую и потенциальную энергии через обобщённые координаты и их производные по времени. Однако есть и различия: в одном случае мы выводим уравнение движения непосредственно из закона сохранения энергии; в другом — рассматриваем разность этих двух энергий и применяем формулу, которую можно либо считать постулатом, либо довольно сложным образом вывести из законов Ньютона.

Какой путь лучше? Прежде всего надо подчеркнуть, что если уравнение (16) можно использовать всегда, то метод 6, основанный на законе сохранения энергии, применим только в тех случаях, когда степень свободы одна, т. е. состояние системы можно описать одной обобщённой координатой. Действительно, взяв производную по времени от закона сохранения энергии, мы получаем одно дифференциальное уравнение, а уравнений нам нужно столько, сколько неизвестных функций (степеней свободы). Однако для большинства олимпиадных задач это условие выполняется (имейте в виду, что каждая дополнительная сохраняющаяся величина, например импульс, уменьшает эффективное число степеней свободы на единицу).

Итак, сравним эти два метода, когда у нас есть одна обобщённая координата \(q\) и энергии явно не зависят от времени. В случае ньютоновской механики кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости, так что можно считать, что \(T = \frac12 M(q)\dot q^2\). Тогда закон сохранения энергии утверждает, что \(\frac12 M(q)\dot q^2+V(q) = E\), а значит, \(\frac12 M'(q)\dot q^3+M(q)\dot q\ddot q+V'(q)\dot q = 0\) и \[M(q)\ddot q = -\frac12 M'(q)\dot q^2-V'(q).\] Между тем лагранжиан выражается как \(L = \frac12 M(q)\dot q^2-V(q)\); тогда, с \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q} = \frac{d}{dt}M(q)\dot q = M'(q)\dot q^2+M(q)\ddot q\), уравнение (16) переписывается как \[M'(q)\dot q^2+M(q)\ddot q = \frac12 M'(q)\dot q^2-V'(q).\] Легко видеть, что в обоих случаях мы получили одно и то же уравнение и что математически уровень сложности был почти одинаков. Однако нам пришлось запомнить уравнение (16), что делает метод, основанный на законе сохранения энергии, чуть более лёгким.

Прежде чем сделать окончательный вывод, рассмотрим систему из двух шаров массы \(m\), соединённых пружиной длины \(a\) и жёсткости \(k\), вращающуюся с моментом импульса \(\vL\) (перпендикулярным пружине) в невесомости. Здесь кажется, что у нас две степени свободы (угол и длина пружины), но дополнительный (к энергии) закон сохранения (момента импульса) уменьшает эффективное число степеней свободы до одной. Воспользуемся деформацией \(x\) пружины в качестве обобщённой координаты. Тогда \[T = \frac{m\dot x^2}{4}+\frac{L^2}{m(a+x)^2},\qquad \Pi = \frac12 kx^2 .\] Замечательно здесь то, что кинетическая энергия зависит теперь не только от \(\dot x\), но и от \(x\); фактически второй член кинетической энергии ведёт себя как потенциальный и может быть объединён с потенциальной энергией в выражении для полной энергии в эффективную потенциальную энергию. Следуя методу 6, получаем \[\frac12 m\ddot x\dot x-\frac{2L^2}{m(a+x)^3}\dot x+kx\dot x = 0 \ \Rightarrow\ \ddot x = \frac{4L^2}{m^2(a+x)^3}-2\frac{k}{m}x .\] Далее попробуем получить тот же результат с помощью лагранжиана (NB! Это будет неверно!): \[L = \frac{m\dot x^2}{4}+\frac{L^2}{m(a+x)^2}-\frac12 kx^2,\] откуда \[\frac12 m\ddot x = -\frac{2L^2}{m(a+x)^3}-kx \ \Rightarrow\ \ddot x = -\frac{4L^2}{m^2(a+x)^3}-2\frac{k}{m}x .\] Это не тот же результат, что раньше, — у первого члена в правой части другой знак! Итак, что же пошло не так? Первый результат явно верен, поскольку полная энергия здесь явно сохраняется. Неверно то, что, воспользовавшись законом сохранения момента импульса для уменьшения числа координат, мы изменили начальную и конечную точки в конфигурационном пространстве. Как мы доказали выше, принцип наименьшего действия [а значит, и уравнение (16)] справедлив, если мы не используем законы сохранения для уменьшения числа степеней свободы, и все законы сохранения сами по себе должны рассматриваться как следствия уравнения (16). В данном случае исходное число степеней свободы было равно двум: для полного описания состояния системы можно использовать деформацию \(x\) и угол поворота \(\varphi\) пружины. Если использовать эти две координаты с соответствующим лагранжианом, то всё будет правильно: действие \[\int_{t_1}^{t_2}\Bigl[\frac{m\dot x^2}{4} +\frac{m\dot\varphi^2(a+x)^2}{4}-\frac12 kx^2\Bigr]dt\] минимизируется истинной траекторией, если сравнивать траектории, соединяющие начальное состояние \(x_1\), \(\varphi_1\) с конечным состоянием \(x_2\), \(\varphi_2\). Теперь же мы отбросили переменную \(\varphi\), и, если отбросить и условие на начальный и конечный углы, начальное состояние \(x_1\) с конечным состоянием \(x_2\) свяжет гораздо больше траекторий: истинная траектория уже не обязана быть той, у которой действие наименьшее. Важный урок из этого анализа: не пользуйтесь уравнением (16), если вы уменьшили число степеней свободы, воспользовавшись связью (законом сохранения), содержащей производные координат по времени, потому что, фиксируя значение производной, мы не фиксируем значение самой координаты. Если у вас есть такие законы сохранения и вам удаётся найти столько связей, что число координат сводится к одной, то смело пользуйтесь методом 6; в противном случае сохраняйте исходное число координат и применяйте уравнение (16).

Наконец, подчеркнём ещё раз, что лагранжиан равен разности кинетической и потенциальной энергий только в случае классической механики; в других случаях первая задача — выяснить, каково выражение для лагранжиана. Как это сделать? В общем-то есть две возможности. Предполагая, что уравнение движения в евклидовых координатах \(x_i\) нам уже известно, можно подбором найти такой \(L(x_i,\dot x_i,t)\), при котором уравнение (16) становится тождественным уравнению движения. Заметим, что исходное уравнение движения не обязано иметь физическое происхождение. Однако, найдя соответствующий лагранжиан, мы можем истолковать его физически: например, если лагранжиан обладает трансляционной симметрией, мы можем воспользоваться теоремой Нётер, чтобы найти сохраняющуюся величину, и назвать её импульсом¹⁰. В электромагнетизме мы воспользуемся этим методом, чтобы вывести обобщённый импульс заряженной частицы в магнитном поле.

Вторая возможность работает, если мы изучаем систему, которую можно рассматривать квантово-механически; проиллюстрируем это на примере релятивистской материальной точки. Мы знаем, что принцип наименьшего действия в механике соответствует принципу Гюйгенса [см. уравнение (17)], а значит, действие должно быть фазой квантово-механической волны вероятности, умноженной на \(\hbar\); в этом случае классическое действие было бы пределом релятивистского при малых скоростях. Итак, обозначая через \(m\) релятивистскую массу, а через \(m_0\) — массу покоя частицы, \[S = \int(\vp\cdot\vv-E)dt = \int(mv^2-T-V)dt = \int[m(v^2-c^2)-V]dt,\] откуда \[L = m(v^2-c^2)-V = -m_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-V .\] Легко проверить, что если подставить этот лагранжиан в уравнение (16), помня, что \(V = V(x,y,z)\) и \(\vv = (\dot x,\dot y,\dot z)\), то мы получим релятивистский 2-й закон Ньютона. Как видим, кинетическая энергия в лагранжиан теперь не входит.