Механика · раздел 8 из 8

7. Ответы

  1. \(\arcsin\dfrac{R\mu}{(R+l)\sqrt{\mu^2+1}}\).

  2. \(\arcsin\dfrac{m}{M+m}\dfrac{\mu}{\sqrt{\mu^2+1}}\).

  3. \(mg/2\).

  4. а) \(\mu mg/\sqrt{1+\mu^2}\); б) \(mg\sin(\arctg\mu-\alpha)\).

  5. \(\mu\ge\dfrac{|g\sin\alpha-a\cos\alpha|}{g\cos\alpha+a\sin\alpha}\), если \(g+a\tg\alpha>0\).

  6. а) \(\omega^2R\ge g\sqrt{1+\mu^{-2}}\); б) \(\omega^2R\ge g\sqrt{1+\mu^{-2}}\), если \(\mu<\ctg\alpha\), и \(\omega^2R\ge g(\cos\alpha+\mu^{-1}\sin\alpha)\), если \(\mu>\ctg\alpha\).

  7. \(v = 3\sqrt{gR}\).

  8. \(v/2\).

  9. \(\tg2\alpha = h/a\).

  10. \(\mu_1\ge\sqrt{l^2-h^2}\big/h\).

  11. \(3mg\).

  12. \(2\arctg\bigl[\bigl(1+\frac mM\bigr)\ctg\alpha\bigr]\).

  13. \(\sqrt{2HL\mu+\mu^2H^2}-\mu H\approx\sqrt{2HL\mu}-\mu H\approx 7{,}2\) м.

  14. а) \(\omega^2<g/l\); б) \(\omega^2<(2-\sqrt2)g/l\).

  15. \(\frac12(1-3^{-1/2})\rho_w\approx211\) кг/м\(^3\).

  16. \(\frac\pi3\rho R^3\).

  17. \(v\big/\sqrt{\mu^2\ctg^2\alpha-1}\).

  18. \(\frac43\pi Gr^3\Delta\rho\big/g(r+h)\approx0{,}95\) см.

  19. \(-\omega\).

  20. \(\mu mgv/\omega R\).

  21. \(\cos\varphi\,\tg\alpha<\tg30^\circ\).

  22. \(L-\pi R/2\cos\alpha\); \(2\pi\sqrt{L/g}\).

  23. \(\frac1{12}mg\), \(\frac13mg\), \(\frac7{12}mg\).

  24. \(mg/(2M+m)\).

  25. \(m<M\cos2\alpha\).

  26. \(mg\sin\alpha\big/\bigl[M+2m(1-\cos\alpha)\bigr] = mg\sin\alpha\big/\bigl[M+4m\sin^2\frac\alpha2\bigr]\).

  27. \(g\dfrac{(m_1\sin\alpha_1-m_2\sin\alpha_2)(m_1\cos\alpha_1+m_2\cos\alpha_2)} {(m_1+m_2+M)(m_1+m_2)-(m_1\cos\alpha_1+m_2\cos\alpha_2)^2}\).

  28. \(mg(5\sqrt2-4)/6\); одновременно.

  29. \(\cos\alpha\ge\frac13\bigl(2+v^2/gR\bigr)\).

  30. \(2\dfrac{m}{M+m}\sqrt{2gR}\).

  31. \(mMg/(m+4M)\).

  32. \(F_x = 2Ra\rho\), \(F_y = (m+\rho L)g-\rho(L-\pi R-2l)a\), где \(a = \rho g(L-\pi R-2l)/(m+\rho L)\).

  33. Тот, которого не толкали.

  34. Если \(F\le2\mu mg\dfrac{m+M}{2m+M}\): \(a_1 = a_2 = \dfrac12\dfrac{F}{M+m}\); иначе \(a_1 = \dfrac FM-\mu g\dfrac mM\), \(a_2 = \mu g\dfrac{m}{2m+M}\).

  35. На полуокружности.

  36. а) \(v/5\); б) \(v/4\).

  37. \(n(n-1)/2\).

  38. \(\sqrt{2\mu gL\bigl(1+\frac mM\bigr)}\).

  39. \(3{,}5\); налетал снизу справа.

  40. \(A\): \(\sqrt{2gH}\); \(B\): \(\sqrt{gH}\).

  41. \(2R\mu\sqrt{gl\sin\alpha}\), \(\sqrt{gl\sin\alpha}\).

  42. \(u-\mu\sqrt{2gh}\).

  43. \(mg(h+\mu a)\).

  44. \(\arctg\frac25\approx21^\circ48'\).

  45. а) \((3v-\omega l)/4\); б) \((v-\omega l)/2\).

  46. На расстоянии \(2l/3\) от удерживающей руки, где \(l\) — длина биты.

  47. \(\dfrac23\dfrac FM\dfrac aR\).

  48. \(\bigl(v_{x0},\ v_{y0}-\frac57u\bigr)\).

  49. \(L/v_0+\pi\sqrt{m/2k}\).

  50. \(\frac12\pi^2\bigl(n+\frac12\bigr)^2R\tg\alpha\).

  51. \(1{,}03\) с.

  52. \(2{,}0\,g\).

  53. \(v_1 = v_2 = v\); \(\ctg^2\frac\alpha2\).

  54. \(\sqrt{gH}\).

  55. \(5\) м/с.

  56. а) \(\tg\alpha\le2\mu\); б) невозможно.

  57. \(g\bigl(1-\frac xl\bigr)\sin^{-1}\alpha\); \(\frac\pi2\sqrt{l\sin\alpha/g}\).

  58. \(\mu<\ctg\alpha\).

  59. \(\mu_1<\tg\frac\alpha2\) и \(\mu_2<\tg\frac\alpha2\).

  60. \(R>h/2\).

  61. \(\sqrt[3]{3m/\pi\rho}\).

  62. \(\omega^2R^2/2g\).

  63. \(M/m = \dfrac{(1-\sin\alpha)^2}{\sin\alpha}\).

  64. \(\dfrac{2mM}{M+m}g\tg\alpha\).

  65. \(g/9\).

  66. \(g\dfrac{m+M}{m+M\sin^2\alpha}\sin^2\alpha\).

  67. \(\frac23R\).

  68. \(m\bigl[g-v^2(2l-x)\big/\sqrt2\,l^2\bigr]\).

  69. \(M/m = 4\), \(u = \sqrt{gl/8}\).

  70. Первый прибудет раньше.

  71. Прямая линия; если \(\omega\ne0\).

  72. \(\sqrt{2gl(1+m/M)}\).

  73. \(\dfrac{F}{3m}\), если \(\dfrac{F}{m\mu g}<6\); \ \(\dfrac{F}{4m}+\dfrac12\mu g\), если \(6<\dfrac{F}{m\mu g}<10\); \ \(3\mu g\), если \(\dfrac{F}{m\mu g}>10\).

  74. \(m^2v^2\big/2(M^2-m^2)\mu g\).

  75. \(v = \sqrt{\bigl(l-\frac H2\bigr)g}\), \ \(a = \frac g2\bigl(1-\frac{H}{2l}\bigr)\), \ \(T = \frac{mg}{4}\bigl(3-\frac{H}{2l}+\frac{l}{6H}\bigr)\).

  76. \(\arccos\frac23\approx48^\circ12'\).

  77. \(M/m = 4\).

  78. а) \(\omega = 5v_0/7R\), \(v_x = 5v_0/7\), \(v_y = \sqrt{2gh}\); \ б) \(v_y = \sqrt{2gh}\), \(v_x = v_0-2\mu v_y\), \(\omega = 5\sqrt{2gh}\,\mu/R\).

  79. \(\frac57g\sin\alpha\), если \(\mu>\frac27\tg\alpha\), иначе \(g\sin\alpha-\mu g\cos\alpha\).

  80. \(\sqrt{\dfrac{2gr}{m+M}\dfrac{1+\cos\varphi}{m\sin^2\varphi+M}}\,m\cos\varphi\); \ \(\dfrac{gm\sin2\varphi}{m\sin^2\varphi+M} \Bigl[\dfrac12+\dfrac{m^2\cos\varphi(1+\cos\varphi)} {(m\sin^2\varphi+M)(m+M)}\Bigr]\).

  81. \(0{,}6\) м/с.

  82. \(\frac14\mu v^2\).

  83. \(2\cos(45^\circ-\alpha/2)v/\cos\alpha\).

  84. \(n^{-2}Lg/4\pi^2l\), \(n = 1,2,…\)

  85. а), б) \((p_1-p_0)V/mc_s\).

  86. \(\frac12v_0\); нет, часть энергии уходит в продольные колебания стержня, а затем (по мере затухания колебаний) — в тепло.

наверх оглавление