APhO 2001, теоретический тур

Подсказка

Полный момент импульса системы Земля — Луна сохраняется; орбитальную часть удобно выразить через угловую скорость \(\omega\) Луны с помощью третьего закона Кеплера. Во втором пункте получится уравнение на \(\omega\), которое решается итерациями, в третьем — уравнение \(d\omega/dt = b\,\omega^{16/3}\).

Ответ

1) \(L = 3{,}57\times10^{34}\text{ кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}\);  2) \(T = T_f = 53{,}9\) суток;  3) \(t_f = 8{,}1\times10^{17}\text{ с} = 2{,}6\times10^{10}\) лет.

Решение

(1) Полный орбитальный момент импульса \(\vec L = L\,\hat z\) системы Земля — Луна относительно \(C\) можно вычислить следующим образом.

Поскольку все моменты импульса направлены вдоль оси \(z\), будем вычислять только \(z\)-компоненту каждого момента импульса. Расстояние между центром масс \(C\) и центром Земли \(O\) равно \[r_{CM} = \frac{Mr_0}{M+M_E} = \frac{3{,}85\times10^8}{1+(597/7{,}35)} = 4{,}68\times10^6\text{ м} = 0{,}735\,R_E .\] Угловая скорость обращения Луны \[\omega_0 = \frac{2\pi}{27{,}322\times86400} = 2{,}6617\times10^{-6}\text{ рад/с}. \tag{1a}\] Орбитальный момент импульса Луны относительно \(C\) \[\ell_M = M(r_0-r_{CM})^2\omega_0 = 7{,}35\times(385-4{,}68)^2\times2{,}6617\times10^{28} = 2{,}83\times10^{34}\text{ кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}.\] Угловая скорость собственного вращения Луны \[\Omega_M = \omega_0 = 2{,}6617\times10^{-6}\text{ рад/с}.\] Собственный (спиновый) момент импульса Луны \[S_M = \frac{2}{5}MR_M^2\Omega_M = \frac{2}{5}\times7{,}35\times(1{,}74)^2\times2{,}6617\times10^{28} = 2{,}37\times10^{29}\text{ кг}\cdot\text{м}^2/\text{с} = 8{,}40\times10^{-6}\,\ell_M .\] Он много меньше орбитального момента импульса Луны, и поэтому им можно пренебречь.

Орбитальный момент импульса Земли относительно \(C\) \[\ell_E = M_E r_{CM}^2\omega_0 = \frac{M}{M_E}\,\ell_M = \frac{7{,}35}{597}\times2{,}83\times10^{34} = 3{,}48\times10^{32}\text{ кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}.\] Угловая скорость собственного вращения Земли \[\Omega_E = \frac{2\pi}{23{,}933\times3600} = 7{,}2926\times10^{-5}\text{ рад/с}.\] Момент инерции Земли относительно её оси вращения \[I = \frac{2}{5}M_E R_E^2 = 0{,}4\times5{,}97\times(6{,}37)^2\times10^{36} = 9{,}69\times10^{37}\text{ км}\cdot\text{м}^2/\text{с} \tag{1b}\]

Собственный момент импульса Земли \[S_E = \frac{2}{5}M_E R_E^2\Omega_E = 7{,}07\times10^{33}\text{ кг}\cdot\text{м}^2/\text{с} = 20{,}3\,\ell_E .\] Таким образом, полный момент импульса системы Земля — Луна \(L\) равен \[\begin{aligned} L &= (\ell_M + \ell_E + S_E + S_M) \\ &= (2{,}83 + 0{,}0348 + 0{,}707 + 0{,}0000237)\times10^{34} \\ &= 3{,}57\times10^{34}\text{ кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}. \end{aligned} \tag{2}\] Заметим, что \(L \approx (\ell_M + \ell_E + S_E)\).

(2) Согласно ньютоновской форме третьего закона Кеплера для движения планет, угловая скорость \(\omega\) обращения Луны вокруг Земли связана с расстоянием Земля — Луна \(r\) соотношением \[\omega^2 r^3 = G(M_E+M). \tag{3}\] Поэтому орбитальный момент импульса системы Земля — Луна относительно \(C\) равен \[\ell = \left(\frac{M_E M}{M+M_E}\right)r^2\omega = MM_E\left(\frac{G^2}{\omega(M+M_E)}\right)^{1/3}. \tag{4}\] (Заметим: \(\ell_M = M\left(\dfrac{M_E r}{M+M_E}\right)^2\omega\), \(\ell_E = M_E\left(\dfrac{M r}{M+M_E}\right)^2\omega\), так что \(\ell = \ell_E + \ell_M\).)

Когда угловая скорость вращения Земли станет равна угловой скорости \(\omega\) обращения Луны, полный момент импульса системы Земля — Луна, если пренебречь собственным моментом импульса Луны, будет равен \[\begin{aligned} (\ell_M + \ell_E + S_E) &= MM_E\left\{\frac{G^2}{(M+M_E)\omega}\right\}^{1/3} + \frac{2}{5}M_E R_E^2\omega \\ &= 7{,}35\times5{,}97\times\left\{\frac{66{,}726\times66{,}726}{(5{,}97+0{,}0735)\omega}\right\}^{1/3}\times10^{30} + 9{,}69\times10^{37}\omega \\ &= 3{,}96\times10^{32}\omega^{-1/3} + 9{,}69\times10^{37}\omega = 3{,}57\times10^{34}. \end{aligned} \tag{5a}\] Последнее равенство следует из закона сохранения полного момента импульса и уравнения (2).

Для начальной оценки \(\omega\) собственным моментом импульса Земли в (5a) можно пренебречь, что даёт \[\omega \approx \omega_1 = \left(\frac{3{,}96}{357}\right)^3 = 1{,}36\times10^{-6}\text{ рад/с}\quad\text{(первая итерация)}.\] Улучшенную оценку можно получить, если по найденному значению \(\omega_1\) вычислить собственный момент импульса Земли и снова решить уравнение (5a) относительно \(\omega\). Результат: \[\omega \approx \omega_f = \left(\frac{3{,}96}{358}\right)^3 = 1{,}35\times10^{-6}\text{ рад/с}\quad\text{(вторая итерация)}. \tag{5b}\] Дальнейшие итерации той же процедуры приводят к тому же значению. Таким образом, период вращения Земли будет равен \[T_f = \frac{2\pi}{\omega_f} = \frac{6{,}2832}{1{,}35\times10^{-6}\times86400} = 53{,}9\text{ суток}.\]

(3) Поскольку полный момент сил \(\Gamma\) пропорционален \(1/r^6\), заключаем, что \[r^6\,\Gamma = \text{const}. \tag{6}\]

На рисунке: Earth — Земля, Moon — Луна.

Пусть нынешние значения \(r\) и \(\Gamma\) равны соответственно \(r_0\) и \(\Gamma_0\). Тогда из (6) имеем \[\Gamma = \left(\frac{r_0}{r}\right)^6\Gamma_0 . \tag{7}\] Момент сил \(\Gamma\) равен скорости изменения собственного момента импульса Земли \(I\Omega\), так что \[I\frac{d\Omega}{dt} = \Gamma . \tag{8}\] По третьему закону Ньютона или по закону сохранения полного момента импульса \(-\Gamma\) равно скорости изменения полного орбитального момента импульса \(\ell\) системы Земля — Луна, так что \[\frac{d\ell}{dt} = -\Gamma . \tag{9}\] Но согласно (3) \[\omega^2 r^3 = G(M_E+M),\] и уравнение (4) можно записать в виде \[\begin{aligned} \ell &= \left(\frac{MM_E}{M_E+M}\right)\omega r^2 = MM_E\left(\frac{G}{M_E+M}\right)^{1/2} r^{1/2} \\ &= MM_E\left(\frac{G^2}{M_E+M}\right)^{1/3}\omega^{-1/3}. \end{aligned} \tag{10}\] Отсюда \[\begin{aligned} \frac{d\ell}{dt} &= MM_E\left(\frac{G}{M_E+M}\right)^{1/2}\frac{1}{2r^{1/2}}\frac{dr}{dt} \\ &= -\frac{1}{3}MM_E\left(\frac{G^2}{M_E+M}\right)^{1/3}\frac{1}{\omega^{4/3}}\frac{d\omega}{dt} = -\Gamma . \end{aligned} \tag{11a}\] Значение \(\Gamma_0\) можно определить из (11a) следующим образом: \[\begin{aligned} -\Gamma_0 &= \left(\frac{d\ell}{dt}\right)_0 = \frac{1}{2}MM_E\sqrt{\frac{G}{(M_E+M)r_0}}\left(\frac{dr}{dt}\right)_0 \\ &= \frac{1}{2}\times7{,}35\times5{,}97\times10^{46}\cdot\sqrt{\frac{66{,}7\times10^{-44}}{(0{,}0735+5{,}97)\times(3{,}85)}}\cdot\frac{3{,}8\times10^{-8}}{3{,}65\times8{,}64} \\ &= 4{,}5\times10^{16}\text{ Н}\cdot\text{м}. \end{aligned} \tag{13}\] Исходя из (11a) в виде \[\frac{d\ell}{dt} = -\frac{1}{3}MM_E\left(\frac{G^2}{(M_E+M)}\right)^{1/3}\frac{1}{\omega^{4/3}}\frac{d\omega}{dt} = -\left(\frac{r_0}{r}\right)^6\Gamma_0 ,\] можно с помощью (3) выразить \(r\) через \(\omega\) и получить следующие уравнения: \[\frac{1}{3}MM_E\left(\frac{G^2}{(M_E+M)}\right)^{1/3}\left(\frac{d\omega}{dt}\right) = \frac{(r_0)^6\Gamma_0}{\{G(M_E+M)\}^2}\,\omega^{16/3},\] \[\frac{d\omega}{dt} = \left[\frac{3(r_0)^6\Gamma_0}{GM_EM\{G(M_E+M)\}^{5/3}}\right]\omega^{16/3} = b\,\omega^{16/3},\] где постоянная \(b\) обозначает выражение в квадратных скобках. Последнее уравнение приводит к решению \[(\omega_f)^{-13/3} - (\omega_0)^{-13/3} = \frac{-13b}{3}(t_f - 0),\] где \(t_f\) — время, за которое угловая скорость вращения Земли станет равна угловой скорости обращения Луны вокруг Земли.

Используя значения \(\omega_f\) и \(\omega_0\), полученные в (1a) и (5b), и значение \(\Gamma_0\) из (13), имеем \[\frac{-3}{13b} = \frac{GM_EM\{G(M_E+M)\}^{5/3}}{13(r_0)^6(-\Gamma_0)} = 3{,}4\times10^{-8},\] \[\begin{aligned} t_f &= \frac{-3}{13b}\left(\omega_f^{-13/3} - \omega_0^{-13/3}\right) = 3{,}4\times\{(1{,}35)^{-13/3} - (2{,}6617)^{-13/3}\}\times10^{18} \\ &= 3{,}4\times10^{18}\times(0{,}254 - 0{,}014376) \\ &= 8{,}1\times10^{17}\text{ секунд} \\ &= 2{,}6\times10^{10}\text{ лет}. \end{aligned}\]

Подсказка

Сила, действующая на диполь, равна \(q\,\dot{\vec\ell}\times\vec B\) — полная производная, поэтому сохраняется не \(M\vec v_{CM}\), а \(M\vec v_{CM} - q\vec\ell\times\vec B\). Энергия сохраняется, так как магнитная сила работы не совершает; из этих двух законов получается уравнение для угла поворота диполя.

Ответ

(1a) \(M\dot{\vec v}_{CM} = q\dot{\vec\ell}\times\vec B\) (\(M=2m\)), \(I\dot{\vec\omega} = q\vec\ell\times(\vec v_{CM}\times\vec B)\), \(I = \frac12 m\ell^2\);  (1b) \(\vec P = M\vec v_{CM} - q\vec\ell\times\vec B\), \(E = \frac12 Mv_{CM}^2 + \frac12 I\omega^2\);  (2a) \(\omega_c = 2qB/m\);  (2b) \(d_m = \left(\dfrac{m\omega_0}{qB}\right)\ell\) при \(\omega_0<\omega_c\), \(d_m = \dfrac{m}{2qB}\left(\omega_0 - \sqrt{\omega_0^2-\omega_c^2}\right)\ell\) при \(\omega_0>\omega_c\), \(d_m = \left(\dfrac{m\omega_c}{2qB}\right)\ell\) при \(\omega_0=\omega_c\);  (2c) сила натяжения \(= \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q^2}{\ell^2} - \dfrac12 m\ell\omega^2 + \dfrac14 m\ell(\omega_0^2-\omega^2)\) (положительное значение означает сжатие стержня).

Решение

(1) Законы сохранения

(1a) \[\vec r_{CM} = \frac12(\vec r_1+\vec r_2),\quad \vec v_{CM} = \frac12(\vec v_1+\vec v_2),\quad \vec\ell = \vec r_1-\vec r_2,\quad \vec u = \dot{\vec\ell} = \vec v_1-\vec v_2 .\] Полная сила \(\vec F\), действующая на диполь, \[\begin{aligned} \vec F &= \vec F_1+\vec F_2 = q(\vec E+\vec v_1\times\vec B) + (-q)(\vec E+\vec v_2\times\vec B) = q(\vec v_1-\vec v_2)\times\vec B \\ &= q\dot{\vec\ell}\times\vec B , \end{aligned}\] так что \[M\dot{\vec v}_{CM} = q\dot{\vec\ell}\times\vec B \qquad (M = 2m). \tag{1}\] Вычисляя момент сил для вращения вокруг центра масс, получаем \[\begin{aligned} I\dot{\vec\omega} &= \left(\frac{\vec\ell}{2}\right)\times(q\vec v_1\times\vec B) + \left(\frac{-\vec\ell}{2}\right)\times(-q\vec v_2\times\vec B) \\ &= q\vec\ell\times(\vec v_{CM}\times\vec B), \end{aligned} \tag{2}\] где \[I = \frac12 m\ell^2 . \tag{3}\]

(1b) Из уравнения (1) получаем закон сохранения импульса: \[\dot{\vec P} = 0,\qquad \vec P = M\vec v_{CM} - q\vec\ell\times\vec B . \tag{4}\] Из уравнений (1) и (2) получается закон сохранения энергии: \[\dot E = 0,\qquad E = \frac12 Mv_{CM}^2 + \frac12 I\omega^2 . \tag{5}\]

(1c) Используя уравнения (4) и (2), \[\begin{aligned} \frac{d}{dt}(\vec r_{CM}\times\vec P)\cdot\hat B &= (\vec v_{CM}\times\vec P)\cdot\hat B = -q\vec v_{CM}\times(\vec\ell\times\vec B)\cdot\hat B \\ &= q(\vec\ell\times\vec B)\times\vec v_{CM}\cdot\hat B = q(\vec\ell\times\vec B)\cdot(\vec v_{CM}\times\hat B) \\ &= q\vec\ell\cdot(\vec B\times(\vec v_{CM}\times\hat B)) = -q\vec\ell\cdot((\vec v_{CM}\times\vec B)\times\hat B) \\ &= -q\vec\ell\times(\vec v_{CM}\times\vec B)\cdot\hat B \\ &= -I\dot{\vec\omega}\cdot\hat B , \end{aligned}\] получаем закон сохранения \[\dot J = 0,\qquad J = (\vec r_{CM}\times\vec P + I\vec\omega)\cdot\hat B \tag{6}\] для проекции момента импульса на направление \(\vec B\).

(2) Движение в плоскости, перпендикулярной \(\vec B\)

(2a) Запишем \[\vec\ell = \ell\{\cos\varphi(t)\,\hat x + \sin\varphi(t)\,\hat y\},\qquad \varphi(0) = 0,\quad \dot\varphi(0) = \omega_0 . \tag{7}\] Заметим, что \[\vec\omega = \dot\varphi\,\hat z . \tag{8}\] Из уравнения (4) имеем \[M\vec v_{CM} = \vec P + q\ell B(\sin\varphi\,\hat x - \cos\varphi\,\hat y). \tag{9}\] При \(t = 0\) имеем \(v_{CM} = 0\), \(\varphi = 0\), так что \[\vec P = q\ell B\,\hat y . \tag{10}\] Отсюда из уравнений (9) и (10) имеем \[\dot x_{CM} = \left(\frac{q\ell B}{M}\right)\sin\varphi,\qquad \dot y_{CM} = \left(\frac{q\ell B}{M}\right)(1-\cos\varphi). \tag{11}\] Из закона сохранения энергии, т. е. уравнения (5), имеем \[\frac12 I\dot\varphi^2 + \frac{(q\ell B)^2}{M}(1-\cos\varphi) = \frac12 I\omega_0^2 ,\] \[\therefore\quad \dot\varphi^2 + \frac12\omega_c^2(1-\cos\varphi) = \omega_0^2 , \tag{12}\] где \[\omega_c^2 = \frac{4(q\ell B)^2}{MI} = \left(\frac{2qB}{m}\right)^2 . \tag{13}\] Чтобы диполь сделал полный оборот, \(\dot\varphi\) не может обращаться в нуль, так что \[\omega_0^2 > \omega_c^2 \;\Rightarrow\; |\omega_0| > \omega_c = \frac{2qB}{m}. \tag{14}\]

(2b) Из уравнения (6) имеем \[x_{CM}P + I\omega = J , \tag{15}\] где \(P\) — модуль \(\vec P\). При \(t = 0\) имеем \(J = I\omega_0\), так что \[x_{CM}P + I\omega = I\omega_0 . \tag{16}\] Из уравнения (12) видно, что \(\omega_0^2 \ge \omega^2\), так что \(x_{CM} \ge 0\). Следовательно, \(x_{CM}\) достигает максимума \(d_m\), когда \(\omega\) принимает минимальное значение.

При \(\omega_0 < \omega_c\) минимальное значение \(\omega\) равно \(-\omega_0\), так что \[d_m = \frac{2I}{P}\omega_0 = \left(\frac{m\omega_0}{qB}\right)\ell,\qquad \omega_0 < \omega_c . \tag{17}\] При \(\omega_0 > \omega_c\) минимальное значение \(\omega\) равно \(\sqrt{\omega_0^2-\omega_c^2}\), так что \[d_m = \left(\frac{I}{P}\right)\left(\omega_0 - \sqrt{\omega_0^2-\omega_c^2}\right) = \frac{m}{2qB}\left(\omega_0 - \sqrt{\omega_0^2-\omega_c^2}\right)\ell,\qquad \omega_0 > \omega_c . \tag{18}\] При \(\omega_0 = \omega_c\) \[\omega^2 = \frac12\omega_c^2(1+\cos\varphi) = \omega_c^2\cos^2\frac{\phi}{2},\] \[\therefore\quad \dot\varphi = \omega_c\cos\frac{\phi}{2}.\] Когда \(\varphi\) близко к \(\pi\), положим \(\varphi = \pi - 2\varepsilon\); тогда \[\dot\varepsilon = -\frac12\omega_c\sin\varepsilon \approx -\frac12\omega_c\varepsilon ,\] \[\therefore\quad \varepsilon \sim e^{-\omega_c t/2},\] так что потребуется \(t\to\infty\), чтобы \(\varepsilon\to0\), т. е. чтобы \(\varphi\) достигло \(\pi\). Следовательно, \[d_m = \left(\frac{I}{P}\right)\omega_c = \left(\frac{m\omega_c}{2qB}\right)\ell,\qquad \omega_0 = \omega_c . \tag{19}\]

(2c) Сила натяжения стержня складывается из трёх составляющих:

(i) Кулоновская сила \[= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2}. \tag{20}\] Положительное значение означает сжатие стержня.

(ii) Центробежная сила, обусловленная вращением стержня, \[= -\frac12 m\omega^2\ell . \tag{21}\]

(iii) Магнитная сила, действующая на частицы из-за движения центра масс, \[= q\vec v_{CM}\times\vec B\cdot(-\hat\ell) = q\vec v_{CM}\cdot\hat\ell\times\vec B .\] Возводя обе части уравнения (4) в квадрат и используя начальное условие для значения \(P^2\), получаем \[\frac12 Mv_{CM}^2 = q\ell\vec v_{CM}\cdot\hat\ell\times\vec B = \frac12 I(\omega_0^2-\omega^2). \tag{22}\] Складывая три силы, получаем \[\text{сила натяжения стержня} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} - \frac12 m\ell\omega^2 + \frac14 m\ell(\omega_0^2-\omega^2). \tag{23}\] Положительное значение означает сжатие стержня.

Подсказка

Поверхностные атомы образуют ряды вдоль направления падения — это отражательная дифракционная решётка с периодом \(a/\sqrt2\). Во второй части при зеркальном отражении \(\vec K'-\vec K\) направлен по нормали; средняя энергия гармонического осциллятора \(m'\omega^2\langle u_x^2\rangle = k_BT\), и наклон графика \(\ln(I/I_0)\) от \(T\) даёт частоту.

Ответ

(1a) \(\lambda = 1{,}53\) Å;  (1b) \(\phi = 15{,}0^\circ\) и \(\phi = 54{,}3^\circ\);  (2a) \(f = 1{,}7\times10^{12}\) Гц;  (2b) \(\sqrt{\langle u_x^2\rangle} = 1{,}0\times10^{-11}\text{ м} = 0{,}10\) Å.

Решение

(1) (a) Длина волны падающего электрона \[\begin{aligned} \lambda &= \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}} \\ &= \frac{6{,}63\times10^{-34}}{\sqrt{2\times9{,}11\times10^{-31}\times1{,}60\times10^{-19}\times64{,}0}} \\ &= 1{,}53\times10^{-10}\text{ м} = 1{,}53\text{ Å}. \end{aligned}\]

(b) Рассмотрим интерференцию волн, рассеянных атомными рядами на поверхности, как показано на рис. 3c.

Разность хода электронных пучков 1 и 2 равна \[\Delta\ell = b(\sin\phi - \sin\phi_0) = n\lambda .\] При \(\phi_0 = 15{,}0^\circ\), \(\lambda = 1{,}53\) Å и \(b = \dfrac{a}{\sqrt2} = \dfrac{3{,}92}{\sqrt2} = 2{,}77\) Å возможны два решения.

(i) При \(n = 0\): \(\phi = \phi_0 = 15{,}0^\circ\)  (ответ 1).

(ii) При \(n = 1\): \[\Delta\ell = 2{,}77(\sin\phi - \sin15^\circ) = 1\times1{,}53,\] \[\sin\phi = \frac{1{,}53+0{,}72}{2{,}77} = 0{,}812,\] \[\phi = 54{,}3^\circ \quad\text{(ответ 2)}.\] При \(n = 2\) решения нет, так как \(\Delta\ell = 2{,}77(\sin\phi - \sin15^\circ) = 2\times1{,}53\) и \(\sin\phi > 1\).

(2) \(I = I_0\exp\langle-(\vec u\cdot\Delta\vec K)^2\rangle\).

На рисунке: surface — поверхность.

Для зеркально отражённого пучка из рис. 3d имеем \[\Delta\vec K = \vec K' - \vec K = 2K\cos\theta\;\hat x ,\] где \(\hat x\) — единичный вектор в направлении нормали к поверхности. Беря \(x\)-компоненту \(\vec u\), получаем \[I = I_0 e^{-\langle u_x^2(t)\cdot4K^2\cos^2\theta\rangle} = I_0 e^{-4K^2\cos^2\theta\,\langle u_x^2(t)\rangle}. \tag{2}\] Колебания поверхностных атомов вдоль нормали к поверхности гармонические; возьмём \[u_x(t) = A\cos\omega t .\] \[\because\quad \langle u_x^2(t)\rangle = \frac1\tau\int_0^\tau u^2\,dt = \frac1\tau\int_0^\tau A^2\cos^2\omega t\,dt = \frac{A^2}{\tau}\cdot\frac{\tau}{2} = \frac{A^2}{2},\] \[\therefore\quad A^2 = 2\langle u_x^2(t)\rangle .\] Тогда полная энергия \(E\) равна \[E = \frac12 CA^2 = \frac12 C\cdot2\langle u_x^2(t)\rangle = C\langle u_x^2(t)\rangle = m'\omega^2\langle u_x^2(t)\rangle .\] Следовательно, \[\langle u_x^2(t)\rangle = E/(m'\omega^2),\] \[E = m'\omega^2\langle u_x^2\rangle = k_BT ,\] где \(m'\) — масса атома. Из любого из двух этих уравнений получаем равенство \[\langle u_x^2\rangle = \frac{k_BT}{m'\omega^2} = \frac{k_BT}{m'4\pi^2f^2}. \tag{3}\] Из уравнений (3) и (2) получаем \[I = I_0 e^{-4K^2\cos^2\theta\,\frac{k_BT}{m'4\pi^2f^2}},\] где \(K = \dfrac{2\pi p}{h} = \dfrac{2\pi}{\lambda}\). Соответственно, \[I = I_0 e^{-\frac{4k_B\cos^2\theta}{m'f^2\lambda^2}T} = I_0 e^{-M'T} \tag{4}\] и \[\ln\frac{I}{I_0} = -M'T .\] Из графика зависимости \(\ln\dfrac{I}{I_0}\) от \(T\) получаем наклон \[M' = \frac{4k_B\cos^2\theta}{m'f^2\lambda^2}. \tag{5}\] Наклон прямой можно оценить по рис. 3b, что даёт \[M' = 2{,}3\times10^{-3}.\] Подставляя в (5) данные \[k_B = 1{,}38\times10^{-23}\text{ Дж/К},\] \[\lambda = 1{,}53\times10^{-10}\text{ м},\] \[m' = 195{,}1\times10^{-3}/(6{,}02\times10^{23}) = 3{,}24\times10^{-25}\text{ кг/атом},\] находим \[2{,}3\times10^{-3} = \frac{4\times1{,}38\times10^{-23}\cdot\cos^2 15^\circ}{\dfrac{195{,}1\times10^{-3}}{6{,}02\times10^{23}}\times f^2\times(1{,}53\times10^{-10})^2}.\] Тогда для частоты получаем \[f^2 = 3{,}0\times10^{24}\ \text{(новое)} \;\Rightarrow\; f = 1{,}7\times10^{12}\text{ Гц}\quad\text{ответ (a)}.\]

Из \(\langle u_x^2\rangle = \dfrac{k_BT}{m'4\pi^2f^2}\), \(T = 300\) К окончательно получаем \[\langle u_x^2\rangle = \frac{1{,}38\times10^{-23}\cdot300}{\dfrac{195{,}1\times10^{-3}}{6{,}02\times10^{23}}\times4\pi^2\times3{,}0\times10^{24}} = 1{,}1\times10^{-22}\text{ м}^2\ \text{(новое)}\] и \[\sqrt{\langle u_x^2\rangle} = 1{,}0\times10^{-11}\text{ м} = 0{,}10\text{ Å}\ \text{(новое)} \quad\text{ответ (b)}.\]