зад 1 Рельсотрон
Экспериментатор Глюк находится в точке \(P\), в то время как Кузьма Петровна – в точке \(Q\). Эти точки разделены проливом шириной 1000 м. После изучения теории рельсотрона экспериментатор Глюк не мог удержаться, чтобы не построить подобное приспособление, чтобы перебросить себя через пролив в точку \(Q\). Он сконструировал наклонную плоскость с регулируемым углом наклона \(\theta\), на которую положил два параллельных металлических рельса (длина каждого рельса равна \(D = 35.0~м\)) на расстоянии \(L = 2.00~м\) друг от друга. Он подключил источник постоянного тока с напряжением \(2424~В\) к концам рельсов. Проводящий стержень может свободно перемещаться по металлическим рельсам так, чтобы экспериментатор Глюк мог безопасно держаться за него во время движения.
Экспериментатор Глюк сконструировал систему, создающую магнитное поле \(B = 10.0~Тл\), которое может быть направлено перпендикулярно плоскости рельсов. Масса экспериментатора \(70 ~кг\). Масса проводящего стержня \(10 ~кг\) и его сопротивление \(R = 1.0~\Omega\).
Как только он закончил постройку конструкции и проверил, что она правильно работает, ему позвонила Кузьма Петровна и сказала ему прибыть в \(Q\) в течение 11 секунд после звонка.
Экспериментатор Глюк сразу же приступил к действиям и запустил себя через пролив в \(Q\).
Покажите, используя приведенные ниже пункты, может ли он успеть вовремя и, если да, под каким углом \(\theta\) необходимо установить склон?
A1. Выведите выражение для ускорения экспериментатора Глюка вдоль рельсов.
A2. Получите выражение для времени, проведенного на рельсах, \(t_s(\theta)\).
A3. Получите выражение для времени, проведенного в полете, \(t_f(\theta)\).
A4. Постройте график зависимости полного времени \(T = t_s + t_f\) от угла наклона \(\theta\).
A5. Учитывая характеристики конструкции, определите диапазон углов наклона, которые ему следует установить.
Примите следующие допущения:
1) Время между концом звонка и всеми приготовлениями (такими как установка нужного угла наклона плоскости) пренебрежимо мало. То есть можно считать, что запуск произошел в момент времени \(t = 0\), когда стержень (и экспериментатор Глюк, держащийся за него) начал движение.
2) Экспериментатор Глюк может начать движение с любой точки вдоль металлических рельсов.
3) Более высокий край плоскости и \(Q\) находятся на одной высоте, и расстояние между ними равно \(w = 1000~м\).
4) Не рассматривайте вопросы безопаcности, например, приземление, электрический шок и т.д.
5) Сопротивление металлических рельсов, внутреннее сопротивление источника тока, трение между проводящим стержнем и рельсами и сопротивление воздуха пренебрежимо малы.
6) Используйте ускорение свободного падения равное \(g=10~м/с^2\).
Математические примечания:
1) \(\int e^{-a x} dx = -\frac{e^{-ax}}{a} + \text{const}\).
2) Решением уравнения \(\frac{dx}{dt} = a + b x\) является
\[x(t) = \frac{a}{b} \left( e^{b t} - 1 \right) + x(0) e^{b t}.\]
▶ОтветСкрыть
A1: \[ф= \frac{BLI}{m} - \frac{B^2 L^2 v}{mR} - g \sin \theta\]; A2: \[t_s = -\tau \ln \left(1 - \frac{v_s}{v_{\infty}}\right)\]; A3: \[t_f = \sqrt{\frac{2 w \operatorname{tg} \theta}{g}}\]
▶РешениеСкрыть
A1. Пусть \(I\) – ток, подаваемый батареей при отсутствии ЭДС индукции.
Пусть \(i\) – индуцированный ток, создаваемый ЭДС индукции \(\varepsilon_b\).
Поскольку \(\varepsilon_b = \dfrac{d\Phi}{dt} = \dfrac{d(BLx)}{dt} = BLv\), следовательно:
\[i = \frac{BLv}{R}\]
Суммарный ток в цепи:
\[I_N = I - i = I - \frac{BLv}{R}\]
Силы, действующие параллельно рельсам:
Сила Ампера, действующая на стержень:
\[F_c = BLI_N = BL \left( I - \frac{BLv}{R} \right) = BLI - \frac{B^2 L^2 v}{R}\]
Суммарная сила, действующая на систему (стержень и человека):
\[F_N = F_c - mg \sin \theta \quad \text{(1)}\]
Второй закон Ньютона для системы:
\[F_N = ma = m \frac{dv}{dt} \quad \text{(2)}\]
Приравнивая выражения (1) и (2):
\[m \frac{dv}{dt} = BLI - \frac{B^2 L^2 v}{R} - mg \sin \theta\]
Делим обе части уравнения на \(m\):
\[\frac{dv}{dt} = \frac{BLI}{m} - \frac{B^2 L^2 v}{mR} - g \sin \theta\]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
\[\frac{dv}{dt} = \underbrace{\frac{BLI}{m} - g \sin \theta}_{\alpha} - v \underbrace{\frac{B^2 L^2}{mR}}_{1/\tau}\]
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение:
\[\frac{dv}{dt} = \alpha - \frac{v}{\tau}\]
где
\[\alpha = \frac{BIL}{m} - g \sin \theta, \quad \tau = \frac{mR}{B^2 L^2}\]
Ответ:
\[ф= \frac{BLI}{m} - \frac{B^2 L^2 v}{mR} - g \sin \theta\]
A2. Исходное дифференциальное уравнение из пункта A1:
\[\frac{dv}{dt} = \alpha - \frac{v}{\tau}\]
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием \(v(0) = 0\). Решение имеет вид:
\[v(t) = v_{\infty} \left(1 - e^{-t/\tau}\right)\]
где \(v_{\infty}\) – установившаяся скорость при \(t \to \infty\):
\[v_{\infty}(\theta) = \alpha \tau = \left( \frac{BIL}{m} - g \sin \theta \right) \cdot \frac{mR}{B^2 L^2} = \frac{IR}{BL} \left(1 - \frac{mg}{BLI} \sin \theta\right)\]
Пусть \(t_s\) – полное время движения по рельсам, а \(v_s\) – скорость стержня в момент схода с рельсов:
\[v_s = v(t_s) = v_{\infty} \left(1 - e^{-t_s/\tau}\right)\]
Выразим \(t_s\) из этого уравнения:
\[1 - e^{-t_s/\tau} = \frac{v_s}{v_{\infty}}\]
\[e^{-t_s/\tau} = 1 - \frac{v_s}{v_{\infty}}\]
\[-\frac{t_s}{\tau} = \ln \left(1 - \frac{v_s}{v_{\infty}}\right)\]
\[t_s = -\tau \ln \left(1 - \frac{v_s}{v_{\infty}}\right)\]
Ответ:
\[t_s = -\tau \ln \left(1 - \frac{v_s}{v_{\infty}}\right)\]
A3. Пусть \(t_f\) – время полёта стержня после схода с рельсов. Для движения тела, брошенного под углом к горизонту:
\[t_f = \frac{2v_s \sin \theta}{g}\qquad(6)\]
За время полёта необходимо преодолеть горизонтальное расстояние \(w\) (ширина пролива):
\[w = (v_s \cos \theta) \cdot t_f\qquad(7)\]
Подставляя (6) в (7):
\[w = (v_s \cos \theta) \cdot \left( \frac{2v_s \sin \theta}{g} \right) = \frac{2v_s^2 \sin \theta \cos \theta}{g}\]
\[w = \frac{v_s^2 \sin 2\theta}{g} \quad (\text{поскольку } 2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta)\]
\[t_f = \frac{w}{v_s \cos \theta} = \frac{2v_s \sin \theta}{g}\qquad(8)\]
Из уравнения (8) выражаем \(v_s\) через угол \(\theta\) и ширину пролива \(w\):
\[w = \frac{v_s^2 \sin 2\theta}{g} \implies v_s^2 = \frac{w g}{\sin 2\theta} \implies v_s = \sqrt{\frac{w g}{\sin 2\theta}}\qquad(9)\]
Подставляем выражение для \(v_s\) в формулу времени движения по рельсам из предыдущего пункта:
\[t_s = -\tau \ln \left(1 - \frac{v_s}{v_{\infty}} \right) = -\tau \ln \left(1 - \frac{1}{v_{\infty}} \sqrt{\frac{w g}{\sin 2\theta}} \right)\]
Подставляем (9) в (6):
\[t_f = \frac{2 \sin \theta}{g} \sqrt{\frac{w g}{\sin 2\theta}} = \frac{2 \sin \theta}{g} \sqrt{\frac{w g}{2 \sin \theta \cos \theta}} = \frac{2 \sin \theta}{g} \cdot \sqrt{\frac{w g}{2 \sin \theta \cos \theta}}\]
\[t_f = \frac{2 \sin \theta}{g} \cdot \sqrt{\frac{w g}{2 \sin \theta \cos \theta}} = \sqrt{\frac{4 \sin^2 \theta}{g^2} \cdot \frac{w g}{2 \sin \theta \cos \theta}} = \sqrt{\frac{4 \sin^2 \theta w g}{2 g^2 \sin \theta \cos \theta}} = \sqrt{\frac{2 w \sin \theta}{g \cos \theta}} = \sqrt{\frac{2 w \operatorname{tg} \theta}{g}}\]
Таким образом:
\[t_f = \sqrt{\frac{2 w \operatorname{tg} \theta}{g}}\]
Ответ:
\[t_f = \sqrt{\frac{2 w \operatorname{tg} \theta}{g}}\]
A4. Полное время перемещения складывается из времени движения по рельсам \(t_s\) и времени полёта \(t_f\):
\[T = t_{s} + t_{f} = -\tau \ln \left(1 - \frac{1}{v_{\infty}} \sqrt{\frac{g w}{\sin 2 \theta}} \right) + \sqrt{\frac{2 w \tan \theta}{g}}\]
Характерное время:
\[\tau = \frac{m R}{B^{2} L^{2}} =0.20 с\]
Установившаяся скорость:
\[v_{\infty}(\theta) = \frac{I R}{B L} \left(1 - \frac{m g}{B L I} \sin \theta\right) =121 \left(1 - 0.0165 \sin \theta\right) {м/с}\]
Подставляем численные значения:
\[T = t_{s} + t_{f} =\left( -0.20 \ln \left(1 - \frac{100}{v_{\infty}} \frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}} \right) + 14.14 \sqrt{\tan \theta}\right) {с}\]
Нижняя граница для угла \(\theta\) определяется условием \(v_s / v_{\infty} < 1\) (аргумент логарифма должен быть положительным). Поскольку \(mg/BLI = 0.0165\) мало, а \(v_{\infty} \approx IR/BL =121~м/с\), получаем:
\[\sqrt{\frac{g w}{\sin 2 \theta}} < v_{\infty} \implies \frac{100}{\sqrt{\sin 2 \theta}} < 121 \implies \sin 2\theta > \left(\frac{100}{121}\right)^2 \approx 0.68\]
\[\theta > \frac{1}{2} \arcsin(0.68) \approx 0.37 рад\]
Ответ:
A5. Пусть \(D_s\) – расстояние, пройденное по рельсам за время \(t_s\):
\[D_s = \int_{0}^{t_s} v(t) dt\]
Подставляем выражение для скорости \(v(t) = v_{\infty} \left(1 - e^{-t/\tau}\right)\):
\[D_s = v_{\infty} \int_{0}^{t_s} \left(1 - e^{-t/\tau}\right) dt = v_{\infty} \left[ t + \tau e^{-t/\tau} \right]_{0}^{t_s}\]
Вычисляем определённый интеграл:
\[D_s = v_{\infty} \left( \left[ t_s + \tau e^{-t_s/\tau} \right] - \left[ 0 + \tau e^{0} \right] \right) = v_{\infty} \left( t_s + \tau e^{-t_s/\tau} - \tau \right)\]
Подставляем выражение для \(t_s = -\tau \ln \left(1 - \dfrac{v_s}{v_{\infty}}\right)\) и \(v_s = v(t_s)\):
\[D_s = v_{\infty} \left[ -\tau \ln \left(1 - \frac{v_s}{v_{\infty}}\right) + \tau \left(1 - \frac{v_s}{v_{\infty}}\right) - \tau \right]\]
Упрощаем:
\[D_s = v_{\infty} \left[ -\tau \ln \left(1 - \frac{v_s}{v_{\infty}}\right) - \tau \frac{v_s}{v_{\infty}} \right] = -v_{\infty} \tau \left[ \ln \left(1 - \frac{v_s}{v_{\infty}}\right) + \frac{v_s}{v_{\infty}} \right]\]
Подставляем выражение для \(v_s = \sqrt{\dfrac{g w}{\sin 2\theta}}\):
\[D_s = -\tau v_{\infty}(\theta) \left[ \ln \left(1 - \frac{1}{v_{\infty}(\theta)} \sqrt{\frac{g w}{\sin 2\theta}} \right) + \frac{1}{v_{\infty}(\theta)} \sqrt{\frac{g w}{\sin 2\theta}} \right]\]
Должно выполняться условие:
\[D_s \leq D =35 м\]
График зависимости \(D_s(\theta)\)
Из графика видно, что это условие выполняется при:
\[\theta \in (0.5, 1.06) {рад}\]
Для одновременного выполнения условий по времени (\(T \leq 11~с\)) и расстоянию (\(D_s \leq D\)) угол \(\theta\) должен удовлетворять:
\[\theta \in (0.50, 0.505) {рад}\]
Оптимальный диапазон углов: \(\theta \in (0.502, 0.507)~ рад\). В градусах:
\[\theta \in (28.6^\circ, 29.2^\circ)\]
или приблизительно:
\[\theta= 29^\circ \pm 0.3^\circ\]
Ответ:
\[\theta \in (28.6^\circ, 29.2^\circ)\]
или приблизительно:
\[\theta= 29^\circ \pm 0.3^\circ\]
Перевод: pho.rs.
Источник: Азиатская физическая олимпиада (APhO) 2002, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.