зад 1 Переход спутника на другую орбиту
В недалёком будущем мы сами можем принять участие в запуске спутника, а это, с точки зрения физики, требует лишь применения простой механики.
a) Спутник массы \(m\) в настоящее время обращается вокруг Земли массы \(M\) по круговой орбите радиуса \(R_0\). Чему равна скорость \((u_0)\) тела массы \(m\), выраженная через \(M\), \(R_0\) и гравитационную постоянную \(G\)? (1 балл)
b) Мы хотим перевести этот спутник на траекторию, которая приведёт его в точку P на расстоянии \(R_1\) от центра Земли, увеличив (почти мгновенно) его скорость в точке Q от \(u_0\) до \(u_1\). Чему равно \(u_1\), выраженное через \(u_0\), \(R_0\), \(R_1\)? (2 балла)
c) Найдите минимальное значение \(u_1\), выраженное через \(u_0\), при котором спутник сможет полностью покинуть сферу влияния Земли. (1 балл)
d) (В условиях пункта b.) Чему равна скорость \((u_2)\) спутника в точке P, выраженная через \(u_0\), \(R_0\), \(R_1\)? (1 балл)
e) Теперь мы хотим перевести спутник в точке P на круговую орбиту радиуса \(R_1\), увеличив значение \(u_2\) (почти мгновенно) до \(u_3\). Чему равна величина \(u_3\), выраженная через \(u_2\), \(R_0\), \(R_1\)? (1 балл)
f)
На рисунке: mean orbit of radius \(R_1\) — средняя орбита радиуса \(R_1\).
Если спутник слегка и мгновенно возмутить в радиальном направлении так, что он отклонится от своей прежде идеально круговой орбиты радиуса \(R_1\), найдите период \(T\) колебаний \(r\) около среднего расстояния \(R_1\).
Подсказка: при необходимости можно использовать уравнение движения спутника по орбите \[m\left[\frac{d^2}{dt^2}r - \left(\frac{d}{dt}\theta\right)^2 r\right] = -G\frac{Mm}{r^2} \tag{1}\] и закон сохранения момента импульса \[mr^2\frac{d}{dt}\theta = \text{const}. \tag{2}\] (3 балла)
g) Сделайте примерный набросок всей возмущённой орбиты вместе с невозмущённой. (1 балл)
▶ПодсказкаСкрыть
При переходе с одной орбиты на другую сохраняются момент импульса и энергия спутника. Для малых колебаний подставьте \(r = R_1 + \eta\) в радиальное уравнение, исключив \(d\theta/dt\) с помощью сохранения момента импульса, и линеаризуйте по \(\eta\).
▶ОтветСкрыть
a) \(u_0 = \sqrt{GM/R_0}\); b) \(u_1 = u_0\sqrt{\dfrac{2R_1}{R_1+R_0}}\); c) \(u_1 = \sqrt2\,u_0\); d) \(u_2 = u_0\dfrac{\sqrt2\,R_0}{\sqrt{R_1(R_1+R_0)}}\); e) \(u_3 = u_2\sqrt{\dfrac{R_1+R_0}{2R_0}}\); f) \(T = 2\pi\sqrt{R_1^3/(GM)}\) — равен периоду обращения по орбите.
▶РешениеСкрыть
a) \[\frac{mu_0^2}{R_0} = \frac{GMm}{R_0^2},\qquad u_0 = \sqrt{\frac{GM}{R_0}}.\]
b) Сохранение момента импульса: \(mu_1R_0 = mu_2R_1\).
Сохранение энергии: \(\frac12 mu_2^2 - \dfrac{GMm}{R_1} = \frac12 mu_1^2 - \dfrac{GMm}{R_0}\). \[\left[\left(\frac{R_0}{R_1}\right)^2 - 1\right]u_1^2 = 2GM\left[\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_0}\right],\] \[\frac{(R_0-R_1)(R_0+R_1)}{R_1^2}\,u_1^2 = (2GM)\frac{(R_0-R_1)}{R_0R_1},\] \[u_1 = \sqrt{\frac{GM}{R_0}}\sqrt{\frac{2R_1}{R_1+R_0}} = u_0\sqrt{\frac{2R_1}{R_1+R_0}}.\]
c) \[\lim_{R_1\to\infty}u_1 = \sqrt2\,u_0 .\]
d) \[u_2 = u_1\frac{R_0}{R_1} = u_0\frac{\sqrt2\,R_0}{\sqrt{R_1(R_1+R_0)}}.\]
e) \[\begin{aligned} u_3 &= \sqrt{\frac{GM}{R_1}} = \sqrt{\frac{GM}{R_0}}\sqrt{\frac{R_0}{R_1}} = u_0\sqrt{\frac{R_0}{R_1}} \\ &= \sqrt{\frac{R_0}{R_1}}\sqrt{\frac{R_1(R_1+R_0)}{\sqrt2R_0}}\,u_2 , \end{aligned}\]
\[u_3 = u_2\sqrt{\frac{R_1+R_0}{2R_0}}.\]
f) Объединяя уравнения (1) и (2): \[\frac{d^2}{dt^2}r - \frac{C/m}{r^3} = -\frac{GM}{r^2},\] а для круговой орбиты радиуса \(R_1\) имеем \(\dfrac{C}{m} = GMR_1\), следовательно, \[\frac{d^2}{dt^2}r - \frac{GMR_1}{r^3} = -\frac{GM}{r^2}.\] Положим \(r = R_1 + \eta\), где \(\eta \ll R_1\): \[\therefore\quad \frac{d^2}{dt^2}\eta - \frac{GMR_1}{R_1^3\left(1+\dfrac{\eta}{R_1}\right)^3} = -\frac{GM}{R_1^2\left(1+\dfrac{\eta}{R_1}\right)^2},\] \[\frac{d^2}{dt^2}\eta - \frac{GM}{R_1^2}\left(1 - 3\frac{\eta}{R_1}\right) \approx -\frac{GM}{R_1^2}\left(1 - 2\frac{\eta}{R_1}\right),\] \[\frac{d^2}{dt^2}\eta \approx -\frac{GM}{R_1^3}\,\eta .\] Частота колебаний около среднего расстояния \(f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{GM}{R_1^3}}\), период \[T = \frac1f = 2\pi\sqrt{\frac{R_1^3}{GM}}.\] Заметим, что этот период совпадает с периодом обращения по орбите.
g)
На рисунке: perturbed orbit — возмущённая орбита, unperturbed orbit — невозмущённая орбита.
зад 2 Оптический гироскоп
В 1913 году Жорж Саньяк (1869–1926) рассматривал применение кольцевого резонатора для поиска эфирного ветра относительно вращающейся системы отсчёта. Однако, как это часто бывает, его результаты оказались полезными так, как сам Саньяк и не мечтал. Одно из таких применений — волоконно-оптический гироскоп (ВОГ), основанный на простом явлении, впервые наблюдавшемся Саньяком. Основная физика эффекта Саньяка — сдвиг фаз, возникающий, когда два когерентных пучка света посылают по вращающемуся кольцу из оптического волокна в противоположных направлениях. Этот сдвиг фаз используют и для определения угловой скорости кольца.
Как показано на схеме на рис. 1, световая волна входит в круговой световод из оптического волокна радиуса \(R\) в точке P на платформе, вращающейся с постоянной угловой скоростью \(\Omega\) по часовой стрелке. Здесь световая волна разделяется на две волны, которые идут по кольцу в противоположных направлениях: по часовой стрелке (CW) и против часовой стрелки (CCW). Показатель преломления материала оптического волокна равен \(\mu\). Считайте, что свет внутри волоконно-оптического кабеля идёт по гладкому круговому пути радиуса \(R\).
На рисунке: Optical fibre light path — световод из оптического волокна.
a) На практике орбитальная скорость кольца много меньше скорости света, так что \((R\Omega)^2 \ll c^2\). Найдите разность времён \(\Delta t = t^+ - t^-\), где \(t^+\) и \(t^-\) — время полного обхода кольца пучком CW и CCW соответственно. Выразите ответ через площадь \(A\), охватываемую кольцом. (2 балла)
b) Найдите разность оптических путей \(\Delta L\) пучков CW и CCW за один полный обход светом вращающегося кольца. (2 балла)
c) Каково для кругового оптического волокна радиуса \(R = 1\) м максимальное значение \(\Delta L\) при вращении Земли? Дано \(\mu = 1{,}5\). (1 балл)
d) В пункте b) измеряемый эффект можно усилить, увеличив число витков \(N\) волоконно-оптической катушки. Найдите разность фаз \(\Delta\theta\) для света, прошедшего все витки. (1 балл)
Вторая схема оптического гироскопа — кольцевой лазерный гироскоп (КЛГ). Его можно получить, поместив активный лазерный резонатор в кольцо в форме равностороннего треугольника полной длины \(L\), как показано на рис. 2. Лазерный источник создаёт здесь два усиленных когерентных пучка света, распространяющихся в противоположных направлениях. Чтобы в таком треугольном кольцевом резонаторе поддерживалась лазерная генерация, периметр кольца должен быть равен целому числу длин волн \(\lambda\). Эталон — дополнительный элемент, вставленный в кольцо, — может вызывать частотно-избирательные потери в кольцевом резонаторе, так что нежелательные моды затухают и подавляются.
Рис. 2: схема кольцевого лазерного гироскопа. На рисунке: Detector — детектор, 50% coated mirror — зеркало с покрытием 50%, Etalon — эталон, Laser tube — лазерная трубка.
Рис. 3: кольцевой лазерный гироскоп, рассматриваемый в задаче.
e) Найдите разность времён прохождения \(\Delta t\) по часовой и против часовой стрелки для треугольного кольца, показанного на рис. 2. Выразите ответ через \(\Omega\) и площадь \(A\), охватываемую кольцом. Покажите, что результат такой же, как для кругового кольца. (2 балла)
f) Если кольцо вращается с угловой частотой \(\Omega\), как показано на рис. 2, то при измерениях CW и CCW возникнет разность частот. Какова наблюдаемая частота биений \(\Delta\nu\) между пучками CW и CCW, выраженная через \(L\), \(\Omega\), \(\lambda\)? (2 балла)
▶ПодсказкаСкрыть
Рассмотрите движение света в лабораторной системе: пока свет обходит кольцо, точка ввода смещается навстречу или вдогонку. Для треугольника важна лишь проекция скорости стенки на направление луча — она одинакова вдоль всей стороны. Частота моды резонатора обратно пропорциональна эффективному периметру.
▶ОтветСкрыть
a) \(\Delta t \approx \dfrac{4\pi R^2\Omega}{(c')^2} = \dfrac{4A\Omega}{(c')^2}\), \(c' = c/\mu\); b) \(\Delta L = c'\Delta t = \dfrac{4\pi R^2\Omega}{c'}\); c) \(\Delta L \cong 4{,}5\times10^{-12}\) м; d) \(\Delta\theta = \dfrac{8\pi^2R^2N\Omega}{c\lambda'}\), \(\lambda' = \lambda/\mu\); e) \(\Delta t = \dfrac{4\Omega A}{c^2}\); f) \(\Delta\nu = \dfrac{1}{\sqrt3}\dfrac{L}{\lambda}\Omega\).
▶РешениеСкрыть
Световая волна распространяется в среде с показателем преломления \(\mu\) со скоростью \(c' = \dfrac{c}{\mu}\). Длина волны света в среде \(\lambda' = \dfrac{\lambda}{\mu}\), где \(\lambda\) — длина волны света в вакууме.
a) Время прохождения для пучка CW: \[t^+ = \frac{2\pi R + R\Omega t^+}{c'} = \frac{2\pi R}{c'}\left(1 - \frac{R\Omega}{c'}\right)^{-1}.\] Время прохождения для пучка CCW: \[t^- = \frac{2\pi R - R\Omega t^-}{c'} = \frac{2\pi R}{c'}\left(1 + \frac{R\Omega}{c'}\right)^{-1}.\] Разность времён \(t^+\) и \(t^-\): \[\Delta t = \frac{4\pi R^2\Omega}{(c')^2 - R^2\Omega^2}.\] Поскольку \((R\Omega)^2 \ll (c')^2\), \[\Delta t \approx \frac{4\pi R^2\Omega}{(c')^2}.\]
b) Разность оптических путей за полный обход \(\Delta L\) равна \[\Delta L = c'\Delta t = \frac{4\pi R^2\Omega}{c'}.\]
c) \(\Delta L \cong 4{,}5\times10^{-12}\) м.
d) Соответствующая разность оптических фаз \(\Delta\theta\) равна \[\Delta\theta = \frac{2\pi\Delta L}{\lambda'} = \frac{8\pi^2R^2\Omega}{c\lambda'},\quad\text{где } \lambda' = \frac{\lambda}{\mu}.\] Для \(N\) витков волоконно-оптического кольца \[\Delta\theta = \frac{8\pi^2R^2N\Omega}{c\lambda'}.\]
e)
На рисунке показано треугольное кольцо, вращающееся вокруг центра O с угловой скоростью \(\Omega\) по часовой стрелке. Не ограничивая общности, рассмотрим сначала скорость света вдоль AC в направлениях CW и CCW: \[v_\pm = c \pm R\Omega\cos\theta = c \pm \Omega h,\quad\text{где } h \text{ постоянно};\] \[\tau_\pm = \frac{L/3}{v_\pm} = \frac{L/3}{c\pm\Omega h} \approx \frac{L/3}{c}\left(1 \mp \frac{\Omega h}{c}\right),\] где \(\tau_\pm\) — время прохождения светом стороны AC в направлениях CW и CCW; \[t_\pm = \frac{L}{v_\pm} = \frac{L}{c\pm\Omega h} \approx \frac{L}{c}\left(1 \mp \frac{\Omega h}{c}\right),\] где \(L\) — периметр треугольного кольца.
Следовательно, разность времён прохождения светом одного полного обхода \[\Delta t = \frac{2\Omega Lh}{c^2} = \frac{4\Omega}{c^2}\left(\frac12 Lh\right) = \frac{4\Omega A}{c^2},\] где \(A\) — площадь треугольного кольца.
f) Резонансные частоты связаны с \(L_\pm\) — эффективными длинами резонатора, которые «видят» пучки, распространяющиеся по часовой и против часовой стрелки соответственно: \[L_+ = ct^+ \approx L\left(1 - \frac{\Omega h}{c}\right),\] \[L_- = ct^- \approx L\left(1 + \frac{\Omega h}{c}\right),\] где \(L_\pm\) — периметр равностороннего треугольника для CW (\(+\)) и CCW (\(-\)); мы также использовали то, что \(h\Omega \ll c\). Следовательно, \[\Delta L = L_- - L_+ = 2L\frac{\Omega h}{c} = \frac{4\Omega A}{c} = \frac{\Omega L^2}{\sqrt3\,c}.\] Условие поддержания лазерной генерации (дано в условии): \[\nu_\pm = \frac{m}{L_\pm}c,\quad m = 1, 2, 3, \ldots \text{ — целые},\] \[\Delta\nu = \nu_- - \nu_+ = \frac{m}{L_-}c - \frac{m}{L_+}c \approx mc\frac{\Delta L}{L^2} = \nu\frac{\Delta L}{L};\]
приближение следует из \(L_+L_- \approx L^2\), где \(L\) — периметр треугольного кольца. Следовательно, \[\Delta\nu = \frac{\Delta L}{L}\nu = \frac{4A}{Lc}\nu\Omega = \frac{1}{\sqrt3}\frac{L}{\lambda}\Omega .\]
зад 3 Плазменная линза
Физика интенсивных пучков частиц имеет большое значение не только для фундаментальных исследований, но и для применений в медицине и промышленности. Плазменная линза — устройство, обеспечивающее сверхсильную финальную фокусировку в конце линейных коллайдеров. Чтобы оценить возможности плазменной линзы, естественно сравнить её с обычными магнитными и электростатическими линзами. В магнитных линзах фокусирующая способность пропорциональна градиенту магнитного поля. Практический верхний предел для квадрупольной фокусирующей линзы — порядка \(10^2\) Тл/м, тогда как для плазменной линзы с плотностью \(10^{17}\text{ см}^{-3}\) фокусирующая способность эквивалентна градиенту магнитного поля \(3\times10^6\) Тл/м (примерно на четыре порядка больше, чем у магнитной квадрупольной линзы).
Далее мы выясним, почему интенсивные пучки релятивистских частиц могут самофокусироваться и не разлетаются в свободном пространстве.
a) Рассмотрим длинный цилиндрический электронный пучок с однородной концентрацией \(n\) и средней скоростью \(v\) (обе величины — в лабораторной системе отсчёта). Получите методами классической электродинамики выражение для электрического поля в точке на расстоянии \(r\) от центральной оси пучка. (1 балл)
b) Получите выражение для магнитного поля в той же точке, что и в пункте a). (2 балла)
c) Чему тогда равна результирующая сила, направленная наружу, действующая на электрон пучка, проходящий через эту точку? (1 балл)
d) Считая, что выражение, полученное в пункте c), применимо при релятивистских скоростях, найдите силу, действующую на электрон, когда \(v\) стремится к скорости света \(c\), где \(c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\). (1 балл)
e) Если электронный пучок радиуса \(R\) входит в плазму однородной плотности \(n_0 < n\) (плазма — ионизированный газ из ионов и электронов с одинаковой плотностью заряда), какова будет результирующая сила, действующая на неподвижный ион плазмы на расстоянии \(r'\) вне электронного пучка, спустя долгое время после входа пучка в плазму? Можно считать, что плотность ионов плазмы остаётся постоянной и цилиндрическая симметрия сохраняется. (3 балла)
f) Какова по прошествии достаточно долгого времени результирующая сила, действующая на электрон на расстоянии \(r\) от центральной оси пучка в плазме, при \(v\to c\), если плотность ионов плазмы остаётся постоянной и цилиндрическая симметрия сохраняется? (2 балла)
▶ПодсказкаСкрыть
Электрическое поле пучка найдите по теореме Гаусса, магнитное — по теореме о циркуляции; при \(v\to c\) электрическое отталкивание и магнитное притяжение компенсируются. В плазме электроны выталкиваются полем пучка, а оставшиеся неподвижные ионы создают нескомпенсированное фокусирующее поле.
▶ОтветСкрыть
a) \(E_r = -\dfrac{ner}{2\varepsilon_0}\); b) \(B_\theta = -\dfrac{\mu_0nerv}{2}\); c) \(\vec F = \dfrac{ne^2r}{2\varepsilon_0}\left(1 - \dfrac{v^2}{c^2}\right)\hat r\); d) \(F_r\to0\); e) для положительного иона \(F_{r'} = -\dfrac{ne^2R^2}{2\varepsilon_0r'} + \dfrac{n_0e^2r'}{2\varepsilon_0}\) (для электрона — с обратным знаком); f) \(\vec F \approx -\dfrac{n_0e^2r}{2\varepsilon_0}\hat r\).
▶РешениеСкрыть
a) Рассмотрим цилиндрическую гауссову поверхность радиуса \(r\) и длины \(\ell\) вокруг центральной оси. По теореме Гаусса \[\begin{aligned} E\,2\pi r\ell &= \frac{1}{\varepsilon_0}(\text{заряд внутри}) \\ &= -\frac{1}{\varepsilon_0}ne(\pi r^2\ell), \end{aligned}\] \[E_r = -\frac{ner}{2\varepsilon_0}.\]
b) По теореме о циркуляции (закону Ампера) \[B_\theta = -\frac{\mu_0nerv}{2}.\]
c) Результирующая сила Лоренца равна \[\vec F = \left(\frac{ne^2r}{2\varepsilon_0} - \frac{\mu_0ne^2rv^2}{2}\right)\hat r = \frac{ne^2r}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)\hat r,\] где \(c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\).
d) \(F_r\to0\) при \(v\to c\); это означает, что электрическая и магнитная силы компенсируют друг друга.
e) У неподвижных частиц плазмы \(v = 0\), поэтому \(F_{r'} = \pm eE_{r'}\), где \[E_{r'} = -\frac{neR^2}{2\varepsilon_0r'} + \frac{n_0er'}{2\varepsilon_0}.\] Для положительного иона \[F_{r'} = -\frac{ne^2R^2}{2\varepsilon_0r'} + \frac{n_0e^2r'}{2\varepsilon_0},\] для электрона \[F_{r'} = \frac{ne^2R^2}{2\varepsilon_0r'} - \frac{n_0e^2r'}{2\varepsilon_0},\] и компенсации со стороны магнитной силы нет. В результате электроны плазмы выталкиваются наружу, а ионы втягиваются внутрь.
f) Результирующая сила, действующая на электронный пучок в плазме, равна \[\vec F = \frac{ne^2r}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)\hat r - \frac{n_0e^2r}{2\varepsilon_0}\hat r ;\] в пределе \(v\to c\) \[\vec F \approx -\frac{n_0e^2r}{2\varepsilon_0}\hat r .\]
Источник: Азиатская физическая олимпиада (APhO) 2003, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.