APhO 2004, теоретический тур

Подсказка

На орбите корабль не закреплён и тоже колеблется: кресло с пружиной и корабль образуют систему двух тел, период которой определяется приведённой массой. Измерение с пустым креслом позволяет найти массу корабля.

Ответ

1) \(m_0 = 25{,}21\) кг;  2) масса корабля \(M = 2001\) кг, масса космонавта \(86{,}93 - 25{,}21 = 61{,}72\) кг.

Решение

1. Формула для периода колебаний: \[T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{m_0}{k}}. \tag{1}\] Отсюда \[m_0 = \frac{k}{4\pi^2}T_0^2 = 25{,}21\text{ кг}. \tag{2}\]

2. Когда корабль обращается вокруг Земли, колебательная система — пружина, один конец которой прикреплён к креслу массы \(m_0\), а другой — к кораблю массы \(M\). Эта система колеблется как тело массы \[m_0' = \frac{m_0M}{m_0+M}, \tag{3}\] прикреплённое к концу пружины, другой конец которой закреплён (\(m_0'\) — приведённая масса системы корабль — кресло). Период \(T_0'\) системы также даётся формулами (1) и (2). Получаем \[\frac{m_0}{m_0'} = \left(\frac{T_0}{T_0'}\right)^2 = \left(\frac{1{,}28195}{1{,}27395}\right)^2. \tag{4}\] Массу \(M\) корабля можно вычислить из (3): \[M = \frac{m_0}{\dfrac{m_0}{m_0'} - 1} = \frac{25{,}21}{\left(\dfrac{T_0}{T_0'}\right)^2 - 1} = \frac{25{,}21}{\left(\dfrac{1{,}28195}{1{,}27395}\right)^2 - 1} = 2001\text{ кг}. \tag{5}\] Пусть \(m\) — масса космонавта вместе с креслом, соответствующая приведённая масса \(m'\): \[m' = \frac{mM}{m+M}, \tag{6}\] тогда выражение для \(m\): \[m = \frac{m'}{1 - \dfrac{m'}{M}}.\] Приведённую массу \(m'\) можно вычислить по периоду колебаний \(T'\) с помощью формулы (2): \[m' = \frac{605{,}6}{4}\cdot\left(\frac{2{,}33044}{3{,}1416}\right)^2 = 83{,}31\text{ кг}.\] Истинное значение массы \(m\): \[m = \frac{83{,}31}{1 - \dfrac{83{,}31}{2001}} = 86{,}93\text{ кг}.\] Истинное значение массы космонавта: \[86{,}93 - 25{,}21 = 61{,}72\text{ кг}.\]

Подсказка

Слоистая среда: на границе слоёв, перпендикулярных оси \(x\), сохраняется \(n\cos\theta\) (закон Снеллиуса). Уравнение для \(x(z)\) оказывается уравнением гармонических колебаний. Время пробега удобно считать интегралом \(\int n\,ds/c\) по траектории.

Ответ

1a) \(C = \sqrt{n_1^2 - \sin^2\theta_\text{i}}\);  1b) \(1 + x'^2 = (1 - \alpha^2x^2)\dfrac{n_1^2}{C^2}\), \(\alpha = \dfrac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{an_1}\), \(x'' + \dfrac{n_1^2 - n_2^2}{a^2(n_1^2 - \sin^2\theta_\text{i})}x = 0\);  1c) \(x = \dfrac{a\sin\theta_\text{i}}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}\sin\left(\sqrt{\dfrac{n_1^2 - n_2^2}{n_1^2 - \sin^2\theta_\text{i}}}\cdot\dfrac{z}{a}\right)\);  2a) \(\sin\theta_\text{iM} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = 0{,}344\), \(\theta_\text{iM} = 20{,}13^\circ\);  2b) \(z = k\pi a\sqrt{\dfrac{n_1^2 - \sin^2\theta_\text{i}}{n_1^2 - n_2^2}}\), \(k\) — целое;  3a) \(\tau = \dfrac{\pi an_1^2}{c\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}\left(1 - \dfrac{\sin^2\theta_\text{i}}{2n_1^2}\right)\), \(v_\text{M} = \dfrac{2cn_2}{n_1^2 + n_2^2} = 1{,}998\times10^8\) м/с, \(v_0 = c/n_1 = 1{,}999\times10^8\) м/с;  3b) \(f_\text{M} = \dfrac{2cn_2}{z(n_1 - n_2)^2} = 547{,}1\) МГц.

Решение

1.a. По обе стороны от точки O (снаружи и внутри волокна) по закону Снеллиуса имеем \[n_0\sin\theta_\text{i} = n_1\sin\theta_1 , \tag{1}\] где \(\theta_1\) — значение угла \(\theta\) в точке O внутри волокна.

Траектория света лежит в плоскости \(xOz\). Поскольку показатель преломления \(n\) меняется вдоль направления \(x\), разобьём ось \(Ox\) на малые элементы \(dx\), в каждом из которых \(n\) можно считать постоянным. Тогда \[n\sin i = (n + dn)\cdot\sin(i + di), \tag{2}\] где \(i\) — угол между траекторией света и направлением \(x\). Поскольку \(\theta + i = \dfrac{\pi}{2}\), \[n\cos\theta = (n + dn)\cdot\cos(\theta + d\theta). \tag{3}\] Таким образом, в каждой точке траектории света с координатой \(x\) \[n\cos\theta = n_1\sqrt{1 - \alpha^2x^2}\,\cos\theta = n_1\cos\theta_1 . \tag{4}\] Поскольку \[\cos\theta_1 = \sqrt{1 - \sin^2\theta_1} = \sqrt{1 - \frac{\sin^2\theta_\text{i}}{n_1^2}}, \tag{5}\] имеем \[n\cos\theta = n_1\cos\theta_1 = n_1\sqrt{1 - \frac{\sin^2\theta_\text{i}}{n_1^2}} = \sqrt{n_1^2 - \sin^2\theta_\text{i}}.\] Тогда \[n\cos\theta = C = \sqrt{n_1^2 - \sin^2\theta_\text{i}}. \tag{6}\]

1.b. Поскольку \(\dfrac{dx}{dz} = x' = \tg\theta\), из (6) имеем

\[n_1\sqrt{1 - \alpha^2x^2}\,\cos\theta = n_1\sqrt{1 - \alpha^2x^2}\left(1 + \tg^2\theta\right)^{-1/2} = C. \tag{7}\] Возводя обе части в квадрат, получаем \[\left(1 - \alpha^2x^2\right)\left(1 + \tg^2\theta\right)^{-1} = \frac{C^2}{n_1^2}\] и \[1 + x'^2 = (1 - \alpha^2x^2)\frac{n_1^2}{C^2}. \tag{8}\] Продифференцировав обе части (8) по \(z\), получаем \[x'' + \frac{\alpha^2n_1^2}{C^2}x = 0. \tag{9}\] Поскольку \(n = n_1\sqrt{1 - \alpha^2x^2}\) и

– \(n = n_1\) при \(x = 0\),

– \(n = n_2\) при \(x = a\),

получаем \[\alpha = \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{a\cdot n_1}.\] Окончательно уравнение для \(x''\): \[x'' + \frac{n_1^2 - n_2^2}{a^2(n_1^2 - \sin^2\theta_i)}\cdot x = 0. \tag{10}\]

1.c. Уравнение траектории света получается решением (10). Это уравнение, аналогичное уравнению гармонических колебаний, решение которого можно сразу записать: \[x = x_0\sin(pz + q), \tag{11}\] где \[p = \frac1a\sqrt{\frac{n_1^2 - n_2^2}{n_1^2 - \sin^2\theta_\text{i}}}.\] Параметры \(p\) и \(q\) определяются из граничных условий:

– при \(z = 0\) \(x = 0\), следовательно, \(q = 0\);

– при \(z = 0\) внутри волокна \(x' = \dfrac{dx}{dz} = \tg\theta_1\), тогда \[x_0 = \frac{\tg\theta_1}{p} = \frac{a\cdot\sin\theta_\text{i}}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}. \tag{12}\] Уравнение траектории света внутри волокна: \[x = \frac{a\sin\theta_\text{i}}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}\cdot\sin\left(\sqrt{\frac{n_1^2 - n_2^2}{n_1^2 - \sin^2\theta_\text{i}}}\cdot\frac{z}{a}\right). \tag{13}\]

1.d. Вот набросок траекторий двух лучей, входящих в волокно в точке O под разными углами падения.

2.a. Условие распространения света вдоль волокна: \(x_0 \le a\). Это означает, что \[\frac{a\sin\theta_\text{i}}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}} \le a ,\] или \[\sin\theta_\text{i} \le \sqrt{n_1^2 - n_2^2}. \tag{14}\] Таким образом, угол падения \(\theta_\text{i}\) не должен превышать \(\theta_\text{iM}\), где \[\sin\theta_\text{iM} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} = 0{,}344, \tag{14a}\] или \[\theta_\text{i} \le \theta_\text{iM} = \arcsin\left(\sqrt{n_1^2 - n_2^2}\right) = \arcsin 0{,}344 = 0{,}351\text{ рад} = 20{,}13^\circ .\]

2.b. Точки пересечения светового пучка с осью \(Oz\) должны удовлетворять условию \(pz = k\pi\), где \(k\) — целое. Координаты \(z\) этих точек: \[z = \frac{k\pi}{p} = k\pi a\sqrt{\frac{n_1^2 - \sin^2\theta_\text{i}}{n_1^2 - n_2^2}}, \tag{15}\] за исключением случая \(\theta_\text{i} = 0\).

3.a. Лучи, входящие в волокно под разными углами падения, имеют разные траектории. Как следствие, скорости распространения лучей вдоль волокна должны быть разными.

Траектории света синусоидальны, как дано в (13). Вычислим время \(\tau\), за которое свет распространяется от точки O до первой точки пересечения с осью \(Oz\). Оно вдвое больше времени распространения света от точки O до положения, наиболее удалённого от оси \(Oz\).

Время, за которое свет проходит малый отрезок \(ds\) своей траектории, \[\begin{aligned} dt &= \frac{n}{c}ds = \frac{n}{c}\sqrt{dx^2 + dz^2} = \frac{n}{c}\sqrt{1 + \frac{dz^2}{dx^2}}\cdot dx \\ &= \frac{n}{c}\sqrt{1 + \left(\frac{1}{\tg\theta}\right)^2}\cdot dx = \frac{n}{c}\frac{dx}{\sin\theta}. \end{aligned}\]

Из (6) имеем \[dt = \frac{n_1^2\left(1 - \alpha^2x^2\right)}{c\cdot\sqrt{\sin^2\theta_\text{i} - n_1^2\alpha^2x^2}}\cdot dx\] и \[\begin{aligned} \frac{\tau}{2} &= \int_0^{x_0}dt = \frac{n_1^2}{c}\left[\int_0^{x_0}\frac{dx}{\sqrt{\sin^2\theta_\text{i} - n_1^2\alpha^2x^2}} - \alpha^2\int_0^{x_0}\frac{x^2\,dx}{\sqrt{\sin^2\theta_\text{i} - n_1^2\alpha^2x^2}}\right] \\ &= \frac{n_1^2}{c}\left[I_1 - \alpha^2I_2\right], \end{aligned} \tag{16}\] где \[I_1 = \frac{1}{n_1\alpha}\arcsin\left.\frac{n_1\alpha x}{\sin\theta_\text{i}}\right|_0^{x_0} = \frac{\pi a}{2\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}, \tag{17}\] \[I_2 = \left.\frac{-x\sqrt{\sin^2\theta_\text{i} - n_1^2\alpha^2x^2}}{2n_1^2\alpha^2}\right|_0^{x_0} + \left.\frac{\sin^2\theta_\text{i}\cdot\arcsin\dfrac{n_1\alpha x}{\sin\theta_\text{i}}}{2n_1^3\alpha^3}\right|_0^{x_0} = \frac{\pi\sin^2\theta_\text{i}}{4n_1^3\alpha^3}. \tag{18}\] Используя (16), (17), (18), получаем \[\tau = \frac{\pi a\cdot n_1^2}{c\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}\left(1 - \frac{\sin^2\theta_\text{i}}{2n_1^2}\right). \tag{19}\] Скорость распространения вдоль волокна \(v = \dfrac{z}{\tau}\), где \(z\) — координата первой точки пересечения, определяемая (15) при \(k = 1\). Поскольку \(z\) и \(\tau\) зависят от угла падения \(\theta_\text{i}\), \(v\) тоже зависит от \(\theta_\text{i}\).

При \(\theta_\text{i} = \theta_\text{iM}\) из (14a) получаем \[v_\text{M} = \frac{\pi an_2}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}\cdot\frac{2c\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{\pi an_1^2}\left(1 + \frac{n_2^2}{n_1^2}\right)^{-1} = \frac{2cn_2}{n_1^2 + n_2^2} \tag{20}\] и \[v_\text{M} = \frac{2\times2{,}998\times10^8\times1{,}460}{1{,}500^2 + 1{,}460^2} = 1{,}998\times10^8\text{ м/с}. \tag{20a}\] Скорость распространения света вдоль оси \(Oz\) \[v = \frac{c}{n_1}, \tag{21}\] поскольку на оси волокна показатель преломления равен \(n_1\). Численное значение \[v_0 = \frac{2{,}998\times10^8}{1{,}5} = 1{,}999\times10^8\text{ м/с}. \tag{21a}\]

3.b. Если пучок световых импульсов образован лучами, сходящимися в O, то лучи с разными углами падения имеют разные скорости распространения. Два луча с углами падения \(\theta_i = 0\) и \(\theta_i = \theta_\text{iM}\) приходят в плоскость \(z\) с задержкой \[\Delta t = \frac{z}{v_\text{M}} - \frac{z}{v_0} = \frac{z}{c}\cdot\frac{(n_1 - n_2)^2}{2n_2}. \tag{22}\] Это означает, что очень короткий световой импульс в плоскости \(z\) становится импульсом конечной длительности \(\Delta t\), даваемой (22). Если два последовательных импульса входят в волокно с задержкой больше \(\Delta t\), то в плоскости \(z\) они разделены. Следовательно, частота повторения импульсов не должна превышать максимального значения \[f_\text{M} = (\Delta t)^{-1} = \frac{2\cdot c\cdot n_2}{z\cdot(n_1 - n_2)^2}. \tag{23}\] Если \(z = 1000\) м, то \[f_\text{M} = \frac{2\times2{,}998\times10^8\times1{,}460}{1000\times(1{,}500 - 1{,}460)^2} = 547{,}1\text{ МГц}.\]

Подсказка

Пока пар не насыщен, оба газа сжимаются изотермически при равных давлениях; при давлении \(1\) атм (кипение при \(373\) К) пар конденсируется при постоянном давлении. С трением перегородка движется лишь при разности давлений \(0{,}5\) атм — прослеживайте состояния по таблице. В пункте 3 процесс адиабатический для системы двух газов в целом.

Ответ

1a) см. рис. 1 решения: изотерма от \((2V_0;\,0{,}5\) атм\()\) до \((V_0;\,1\) атм\()\), горизонтальный участок до \((V_0/2;\,1\) атм\()\), изотерма до \((V_0/4;\,2\) атм\()\); \(V_0 = 0{,}0612\text{ м}^3 = 61{,}2\text{ дм}^3\);  1b) \(A = 9545\text{ Дж} \cong 9{,}55\) кДж;  1c) \(Q' \cong 47\) кДж;  2b) \(A_p = 12645\text{ Дж} \cong 12{,}65\) кДж;  2a, 2c) см. таблицу и рис. 2 решения; в конце давление в правом отсеке \(0{,}35\) атм;  3a) \(V' \cong 1{,}3V_0 \approx 0{,}08\text{ м}^3\) (\(T' = 354\) К) или \(V' = 1{,}35V_0 = 0{,}082\text{ м}^3\) (\(T' = 353\) К);  3b) \(A \cong 9\times10^2\) Дж.

Решение

1.a. Изотерма показана на рис. 1.

\[\begin{aligned} V_0 &= \frac{RT_1}{p_1} = \frac{8{,}31\times373}{0{,}5\times1{,}013\times10^5} = 0{,}0612\text{ м}^3 \\ &= 61{,}2\text{ дм}^3 . \end{aligned}\]

b. Процесс сжатия можно разбить на 3 стадии: \[\underset{(1)}{(p_1, 2V_0)} \;\to\; \underset{(2)}{(2p_1, V_0)} \;\to\; \underset{(3)}{(2p_1, V_0/2)} \;\to\; \underset{(4)}{(4p_1, V_0)}\]

Работу на каждой стадии можно вычислить так: \[A_{12} = -\int_{2V_0}^{V_0}p\,dV = 2RT_1\int_{V_0}^{2V_0}\frac{dV}{V} = 2RT_1\ln2 = 4297\text{ Дж},\] \[A_{23} = 2p_1(V_0 - V_0/2) = RT_1 = 3100\text{ Дж},\] \[A_{34} = -\int_{\frac12V_0}^{\frac14V_0}p'\,dV = RT_1\int_{\frac14V_0}^{\frac12V_0}\frac{dV}{V} = RT_1\ln2 = 2149\text{ Дж}.\] Полная работа сжатия газов: \[A = A_{12} + A_{23} + A_{34} = 9545\text{ Дж} \cong 9{,}55\text{ кДж}. \tag{1}\]

c. На второй стадии 23 весь водяной пар (один моль) конденсируется. Количество теплоты \(Q'\), отданное в этом процессе, равно сумме работы \(A\) и уменьшения \(\Delta U\) внутренней энергии одного моля водяного пара при конденсации: \[Q' = \Delta U + A_{12} + A_{23} + A_{34}.\] Можно заметить, что \(\Delta U + A_{23}\) — теплота, выделяющаяся при конденсации одного моля водяного пара, и она равна \(0{,}018\times L\). Таким образом, \[Q' = \Delta U + A_{11} + A_{23} + A_{34} = 0{,}018\times L + A_{11} + A_{34} = 46{,}946\text{ Дж} \cong 47\text{ кДж}. \tag{2}\]

2. Процесс сжатия (2.a) и расширения (2.c) газов можно разбить на несколько стадий. Стадии ограничены следующими состояниями (обозначения — как в таблице условия):

a. См. рис. 2 ниже.

b. Работа \(A_\text{p}\), совершённая поршнем при сжатии газов, равна сумме работы \(A\), вычисленной в пункте 1, и работы силы трения. Последняя равна \(0{,}5\text{ атм}\times V_0 = p_1V_0\) (сила трения скольжения действует в процессе 234, во время которого смещение перегородки NM соответствует изменению объёма левого отсека на \(V_0\)). Тогда \[A_\text{p} = A + p_1V_0 = 9545 + 8{,}31\times373 = 12645\text{ Дж} \cong 12{,}65\text{ кДж}.\]

c. В процессе 89 давление в левом отсеке всё время больше давления в правом (на \(0{,}5\) атм). Если \(p\) — давление в правом отсеке, то давление в левом будет \(p + 0{,}5\) атм.

Пусть \(V\) — общий объём в процессе 89, тогда \[\frac{RT_1}{p} + \frac{RT_1}{p + 0{,}5} = V .\] При \(V = 2V_0 = \dfrac{2RT_1}{0{,}5}\) давление \(p\) определяется из \[\frac{RT_1}{p} + \frac{RT_1}{p + 0{,}5} = \frac{2RT_1}{0{,}5}.\] Это эквивалентно \[p + 0{,}5 + p = 4p\cdot(p + 0{,}5),\] \[p = \frac{1}{\sqrt8} = \frac{\sqrt2}{4} = 0{,}35\text{ атм}.\] Давление в правом отсеке \(p = 0{,}35\) атм.

Объём правого отсека \(\sqrt2\,V_0\).

Давление в левом отсеке \(p + 0{,}35 = 0{,}85\) атм.

Объём левого отсека \((2 - \sqrt2)V_0\).

3.a. Применим первое начало термодинамики к системе двух газов в цилиндре: \[\delta q = dU + \delta A . \tag{3}\] На элементе процесса, в котором изменения температуры и объёма равны соответственно \(dT\) и \(dV\): \[\delta q = 0;\qquad dU = (C_{V1} + C_{V2})\,dT = \left(\frac{R}{\gamma_1 - 1} + \frac{R}{\gamma_2 - 1}\right)dT;\qquad \delta A = p\,dV .\] С другой стороны, \[pV = RT . \tag{4}\] Можно получить дифференциальное уравнение процесса: \[\left(\frac{R}{\gamma_1 - 1} + \frac{R}{\gamma_2 - 1}\right)dT + p\,dV = 0\] или \[\frac{dT}{T} + \frac{(\gamma_1 - 1)(\gamma_2 - 2)}{\gamma_1 + \gamma_2 - 2}\frac{dV}{V} = 0. \tag{5}\]

Положив \[K = \frac{(\gamma_1 - 1)(\gamma_2 - 1)}{\gamma_1 + \gamma_2 - 2} = \frac{2}{11}, \tag{6}\] после интегрирования (5) получаем \[TV^K = \text{const}. \tag{7}\] Температура конденсации водяного пара при давлении \(0{,}5\) атм — это и температура кипения \(T'\) воды при том же давлении. С помощью данной приближённой формулы получаем \[\frac{1}{T'} - \frac{1}{T_0} = \left(-\frac{R}{\mu L}\right)\ln\frac{p}{p_0}.\]

– Если считать \(p\) приблизительно постоянным (с относительным отклонением около \(20/373 \approx 5\%\)), то \(T'\) легко найти: \[T' = 354\text{ К}.\] Объём \(V'\) правого отсека при температуре \(T'\) можно вычислить так: \[\begin{aligned} V' &= V_0\left(\frac{T_1}{T'}\right)^{1/K} = V_0\left(\frac{373}{354}\right)^{11/2} = 1{,}33\,V_0 \cong 1{,}3\,V_0 \\ &= 81{,}6\text{ дм}^3 = 0{,}0816\text{ м}^3 \cong 0{,}08\text{ м}^3 . \end{aligned}\]

b. Работа, совершённая газом при расширении: \[\begin{aligned} A &= -\Delta U = (C_{V1} + C_{V2})(T_0 - T') = \left(\frac{R}{\gamma_1 - 1} + \frac{R}{\gamma_2 - 2}\right)(373 - 354) \\ &= \left(\frac52R + \frac62R\right)\times19 = 868\text{ Дж} \cong 9\times10^2\text{ Дж}. \end{aligned}\]

– Если учитывать зависимость давления водяного пара \(p\) от температуры \(T'\), надо решить трансцендентное уравнение \[\frac{1}{T'} - \frac{1}{T_0} = \left(-\frac{R}{\mu L}\right)\ln\frac{1}{2}\frac{T'}{T_0} = \frac{R}{\mu L}\ln2 - \frac{R}{\mu L}\ln\frac{T'}{T_0}.\] Это уравнение можно привести к численному: \[\frac{1}{T'} - \frac{1}{373} = 1{,}422\times10^{-4} - 2{,}052\times10^{-4}\ln\frac{T'}{373}.\] Придавая \(T'\) разные значения 354, 353, 352 и выбирая то, которое удовлетворяет уравнению, находим приближённое решение \[T' = 353\text{ К}.\] При этой температуре объём правого отсека \[V' = V_0\left(\frac{373}{353}\right)^{11/2} = 1{,}35\,V_0 = 0{,}082\text{ м}^3 \cong 0{,}08\text{ м}^3 .\]

b. Работа, совершённая газом при расширении: \[A = \frac{11}{2}R\times20 = 914\text{ Дж} \cong 9\times10^2\text{ Дж}.\]