APhO 2008, теоретический тур

Чайная церемония — традиция в Азии. Один из важных этапов приготовления чая — кипячение свежей воды, когда внутри появляются пузырьки. Пузырьки знакомы нам по повседневной жизни и играют важную роль в физике, химии, медицине и технике. Тем не менее их поведение часто удивительно и неожиданно — и во многих случаях до сих пор не понято.

При комнатной температуре чистая вода насыщена газом. С ростом температуры избыточное давление растворённого газа \(P_{ab}\) растёт, растворённый воздух выделяется, и на дне и стенках чайника появляются пузырьки воздуха (ВП) (рис. 2). Для чистой воды смачиваемость достаточна, и ВП представляет собой усечённую сферу радиуса \(R_{ab}\) с несмоченным основанием радиуса \(r_{ab} \ll R_{ab}\). При дальнейшем нагреве ВП расширяются и, достигнув определённых размеров, могут оторваться от дна (рис. 3), всплыть к поверхности воды и лопнуть там. Пузырьки пара (ПП) появляются, когда температура воды у дна достигает критического значения \(T_w^0 \approx T_{crit}^0 = 100^\circ\text{C}\), при котором давление насыщенного пара превышает внешнее давление. Образование пара возрастает в десятки раз, ПП расширяются и отрываются от дна. Можно считать, что ПП состоит только из пара. Если вода прогрета достаточно, всплывающий ПП продолжает раздуваться, достигает поверхности и лопается. Иначе вода в верхних слоях прогрета недостаточно и существует сильный вертикальный градиент температуры. Достигнув относительно холодных слоёв воды, ПП схлопываются в толще воды (рис. 4). Это вызывает индуцированную дегазацию — сильные колебания и выделение значительного количества растворённого воздуха в виде микроскопических пузырьков воздуха (МПВ). Это может порождать ультразвуковые колебания.

Основные стадии эволюции пузырьков в процессе кипения:

– появление и рост ВП на дне и стенках, их превращение в ПП;

– отрыв и всплытие ПП, их исчезновение в толще воды или на поверхности;

– появление МПВ в толще воды и их всплытие к поверхности.

Это теоретическое описание хорошо согласуется с современными экспериментами. В частности, был проведён интересный эксперимент по анализу шума (ЭАШ, Уральский государственный университет, Екатеринбург) для кипящей воды. Высокочувствительные микрофоны, подключённые к широкополосным усилителям и поднесённые к электрическому чайнику, зарегистрировали три основных источника шума:

1. Отрыв ВП от дна до кипения (порождает колебания с \(\nu_1 \sim 100\) Гц);

2. Схлопывание ПП в толще воды (порождает колебания с \(\nu_2 \sim 1\) кГц);

3. Появление МПВ под поверхностью воды (порождает колебания с \(\nu_3 \sim 35\) кГц – \(60\) кГц).

Подсказки:

1) Хорошо известно, что маленький пузырёк всплывает по прямолинейной траектории и наблюдается ламинарное течение — вода обтекает его легко и послойно (см. рис. 1). Тогда силу сопротивления для частицы, движущейся с малой скоростью \(v_{lam}\), описывает формула Стокса: \[F_A = 6\pi\eta_wR_bv_{lam}.\] В отличие от этой картины, когда к поверхности поднимаются относительно большие пузырьки, они возмущают окружающую воду, позади них появляются кавитационные полости и наблюдается турбулентное течение (см. рис. 1). В этом случае часть кинетической энергии всплывающего пузырька переходит в диссипативную работу.

Рис. 1. Ламинарный и турбулентный типы обтекания всплывающих в воде пузырьков воздуха.

2) Когда поверхность жидкости имеет выпуклую (вогнутую) форму, возникает сила поверхностного натяжения, обусловленная взаимодействием молекул вблизи края. Это давление даётся формулой \[\Delta P = \frac{2\sigma}{R},\] где \(\sigma\) — коэффициент поверхностного натяжения (единица — Н/м), сила, приходящаяся на единицу длины, \(R\) — радиус кривизны поверхности.

3) Если речь идёт о коротком процессе с характерной длительностью \(t\), обратную величину можно считать характерной частотой \(\nu = \dfrac1t\). Используйте это определение для вычисления частот шума.

Полезные данные:

\(P_0 = 1{,}016\cdot10^5\) Па — атмосферное давление;

\(\rho_w = 10^3\) кг/м\(^3\) — плотность воды;

\(\rho_{vapor} = 0{,}017\) кг/м\(^3\) — плотность пара при \(T = 293\) К (\(= 0{,}596\) кг/м\(^3\) при \(T = 373\) К);

\(P_{vapor} = 0{,}023\cdot10^5\) Па — давление пара при \(T = 293\) К (\(= 1{,}016\cdot10^5\) Па при \(T = 373\) К);

\(g = 9{,}81\) м/с\(^2\) — ускорение свободного падения;

\(\mu_{air} = 0{,}029\) кг/моль — молярная масса воздуха;

\(R = 8{,}31\) Дж/(моль\(\cdot\)К) — универсальная газовая постоянная;

\(\sigma = 0{,}0725\) Н/м — коэффициент поверхностного натяжения воды;

\(\eta_w = 0{,}3\cdot10^{-3}\) Па\(\cdot\)с — коэффициент вязкости воды;

\(H = 10\) см — высота воды в чайнике.

Рис. 2. Пузырьки в чайнике.

Рис. 3. Отрыв пузырька воздуха от дна.

Рис. 4. Схлопывание пузырька пара.

Вопросы (всего 10 баллов):

Рассмотрим воду, кипящую в стеклянном цилиндрическом чайнике с плоским дном при нормальном атмосферном давлении. Дно чайника нагревается равномерно, существует вертикальный градиент температуры, пузырьки появляются и эволюционируют (рис. 2).

Q1. Запишите условие роста ВП по давлению в толще воды на высоте \(h < H\), где \(H\) — уровень поверхности воды в чайнике. Учтите неравенство \(2\pi\sigma r_{ab} \gg P_{extern}\pi r_{ab}^2\). [через \(P_{ab}\), \(P_0\), \(R_{ab}\), \(\rho_w\), \(g\), \(\sigma\), \(h\), \(H\)] (1,0 балла)

Q2. Запишите для ВП условие отрыва от дна чайника (рис. 3). Учтите соотношение \(r_{ab} \ll R_{ab}\). [через \(r_{ab}\), \(R_{ab}\), \(\rho_w\), \(\sigma\)] (1,5 балла)

Q3. Рассмотрим ВП радиуса \(R_b\) на дне чайника. По мере кипячения воды пузырёк насыщается паром и увеличивает свой радиус. Запишите отношение \(\xi \equiv m_{air}/m_{vapor}\) масс воздуха и насыщенного пара внутри пузырька при данной температуре \(T\). Вычислите это отношение при комнатной температуре \(T = 20^\circ\)C (\(R_b = 0{,}5\) мм) и при температуре кипения \(T = 100^\circ\)C (\(R_b = 1\) мм). [через \(\mu_{air}\), \(T\), \(P_0\), \(P_{vapor}\), \(R_b\), \(\rho_w\), \(\rho_v\), \(\sigma\), \(H\)] (1,5 балла)

Q4. Используя данные ЭАШ и закон Ньютона, оцените радиус ВП, оторвавшегося от дна и поднявшегося на расстояние \(R_{ab}\) (рис. 3). Считайте, что присоединённая масса ВП (с учётом окружающего слоя воды) равна половине массы аналогичного водяного шарика. (1,0 балла)

Q5. Запишите радиус основания ВП непосредственно перед всплытием, когда соединительная «шейка» очень узкая (см. рис. 3). [через \(R_{ab}\), \(\rho_w\), \(\sigma\)]. Вычислите его, используя радиус, найденный в Q4. (1,5 балла)

Q6. Используя данные ЭАШ, оцените радиус схлопывающегося ПП (рис. 4), считая, что радиальное давление в этом процессе около 3 кПа. (1,2 балла)

Q7. Используя предыдущие результаты для ПП, вычислите радиус МПВ, образующихся при индуцированной дегазации. (0,5 балла)

Q8. Запишите скорость всплытия типичного ВП, используя закон Стокса для ламинарного течения [через \(R_{ab}\), \(\rho_w\), \(\eta_w\)]. Оцените время всплытия при \(H = 10\) см. (0,6 балла)

Q9. Запишите среднюю скорость подъёма ПП при турбулентном типе течения [через \(R_{ab}\), \(\rho_w\), \(\eta_w\)]. Оцените время подъёма при \(H = 10\) см. (1,2 балла)

▶РешениеСкрыть

Решение

S1. Условие существования и роста ВП, появившегося в толще воды на высоте \(h < H\), — соперничество давлений, действующих изнутри и снаружи (атмосферного, гидростатического и поверхностного натяжения) на поверхность пузырька: \[P_{ab} = P_{in} \ge P_{out} \equiv P_0 + g\rho_w\cdot(H-h) + \frac{2\sigma}{R_{ab}}.\]

S2. Подъёмная сила Архимеда \[F_A = g\cdot(\rho_w - \rho_{ab})\frac{4\pi R_{ab}^3}{3} \approx g\cdot\rho_w\frac{4\pi R_{ab}^3}{3},\] где \(\rho_{ab} \ll \rho_w\) — плотность воздуха в пузырьке.

При \(r_{ab} \ll R_{ab}\) главную роль в удержании пузырька играет сила поверхностного натяжения Лапласа: \[F_{down} = \sigma\cdot2\pi r_{ab}.\] Устойчивость ВП на дне означает \[F_A = F_{down}.\] При дальнейшем нагреве подъёмная сила превышает удерживающую: \[g\frac{4\pi R_{ab}^3}{3}\rho_w > \sigma\cdot2\pi r_{ab},\] и ВП отрывается от дна и всплывает (рис. 3).

S3. Для устойчивого пузырька давления воздуха и пара внутри компенсируют внешнее давление: \[P_{vapor} + P_{air} = P_0 + g\rho_wH + \frac{2\sigma}{R_b}.\] Массу воздуха внутри ВП можно найти из уравнения Клапейрона — Менделеева: \[m_{air} = \frac{\mu_{air}P_{air}V}{RT}.\] Масса пара \[m_{vapor} = \rho_{vapor}\cdot V .\] Тогда отношение \[\xi \equiv \frac{m_{air}}{m_{vapor}} = \frac{\mu_{air}P_{air}}{RT\rho_v} = \frac{\mu_{air}}{RT\rho_v}\left(P_0 + g\rho_wH + \frac{2\sigma}{R_b} - P_{vapor}\right).\] При \(T = 20^\circ\text{C} = 293\) К и \(R_b = 0{,}5\) мм: \[\xi = \frac{0{,}029}{8{,}31\cdot293\cdot0{,}0173}\left(1{,}016\cdot10^5 + 9{,}81\cdot10^3\cdot0{,}1 + \frac{2\cdot0{,}0727}{0{,}5\cdot10^{-3}} - 2{,}3\cdot10^3\right) \approx 69{,}2.\] Этот пузырёк состоит в основном из воздуха.

При \(T = 100^\circ\text{C} = 373\) К и \(R_b = 1\) мм: \[\xi = \frac{0{,}029}{8{,}31\cdot373\cdot0{,}596}\left(1{,}016\cdot10^5 + 9{,}81\cdot10^3\cdot0{,}1 + \frac{2\cdot0{,}0588}{1\cdot10^{-3}} - 1{,}016\cdot10^5\right) \approx 0{,}017.\] Этот пузырёк состоит в основном из насыщенного пара.

S4. Рассмотрим ВП, оторвавшийся от дна и поднявшийся на расстояние \(R_{ab}\) (см. рис. 3). При подъёме пузырьки вызывают смещение окружающей жидкости в их окрестности, что приводит к силе присоединённой массы. Присоединённая масса пузырька \[M_{invol} \approx \frac{V_{ab}\rho_w}{2}.\] Ускорение в момент отрыва \[a_{det} = \frac{F_A}{M_{invol}} = \frac{gV_{ab}\rho_w}{V_{ab}\rho_w/2} = 2g .\] Характерное «время отрыва» \[t_1 = \sqrt{\frac{2R_{ab}}{a_{det}}}\] определяет длительность воздействия на жидкость при отрыве. Жидкость начинает колебаться с характерной частотой \[\nu_1 = \frac{1}{t_1} = \sqrt{\frac{g}{R_{ab}}}.\] Подставляя данные ЭАШ, оцениваем характерный радиус отрывающегося ВП: \[\nu_1 \approx 100\text{ Гц} \;\Rightarrow\; R_{ab} \approx 1\cdot10^{-3}\text{ м}.\]

S5. Баланс подъёмной и удерживающей сил: \[gV_{ab}\rho_w \approx \sigma\cdot2\pi r_{ab}.\] Находим типичный радиус основания: \[r_{ab} \approx \frac{2g\rho_wR_{ab}^3}{3\sigma}.\] Для ВП радиусом \(\sim\)1 мм вычисляем \[r_{ab} \approx \frac{2\cdot9{,}81\cdot10^3\cdot10^{-9}}{3\cdot0{,}0725}\text{ м} \approx 9{,}02\cdot10^{-5}\text{ м}.\]

S6. Рассмотрим ПП, схлопывающийся за время \(t_2\) (рис. 4). Оценим характерную частоту ультразвуковых ударных волн. Окружающая вода заполняет схлопнувшийся ПП с ускорением \(a\), и уравнение Ньютона имеет вид \[F_{collap} \approx a\cdot\frac{4\pi R_{cb}^3}{3}\rho_w ,\] где ускорение фронта воды, сходящегося к центру ПП, \[a = \frac{2R_{cb}}{t_2^2} = 2R_{cb}\nu_2^2 .\] Радиальное давление на поверхность ПП \[\Delta P = \frac{F_{collap}}{4\pi R_{cb}^2} = \frac{2R_{cb}^2}{3}\rho_w\nu_2^2 .\] В частности, для полученных данных эксперимента ЭАШ получаем \[R_{cb} = \frac{1}{\nu_2}\sqrt{\frac{3\Delta P}{2\rho_w}}.\] В частности, \[\nu_2 \approx 1\text{ кГц},\quad \Delta P = 3\text{ кПа} \;\Rightarrow\; R_{cb} \approx 3\text{ мм}.\] Этот результат хорошо согласуется с другим экспериментом (см. рис. 5), где радиус оказался около 3,5 мм, а время схлопывания — около 1 мс (т. е. шум \(\sim\)1 кГц).

Рис. 5. Эволюция схлопывающегося пузырька пара [M. P. Brenner, S. Hilgenfeldt, D. Lohse, Rev. Mod. Phys. 74, 425 (2002)]. На рисунке: BUBBLE RADIUS (mm) — радиус пузырька (мм), PRESSURE \(P(t)\) (\(10^5\) Pa) — давление \(P(t)\) (\(10^5\) Па), TIME (ms) — время (мс).

S7. Очевидно, физическая природа МПВ та же, что и у ПП. Тогда \[\frac{\nu_3}{\nu_2} = \frac{R_{cb}}{R_{mab}} \;\Rightarrow\; R_{mab} = R_{cb}\frac{1\text{ кГц}}{35\div60\text{ кГц}} \approx \frac{3\text{ мм}}{35\div60} \approx 0{,}05\div0{,}086\text{ мм}.\]

S8. Пузырёк, оторвавшийся от дна, поднимается под действием силы Архимеда. Сила сопротивления воды зависит от характера обтекания (рис. 1, 6, 7).

Рис. 6. Прямолинейная траектория пузырька воздуха (\(R = 0{,}69\) мм), всплывающего со дна. Слева — вид в плоскости XZ, справа — в плоскости YZ. Тёмные области — части системы отсчёта вне резервуара с водой [Benjamin (1987), A. de Vries (2001)].

Но для пузырька радиусом около 1 мм ламинарная скорость всплытия оказывается слишком большой: \[v_{lam} \approx 2{,}2\text{ м/с},\] и пузырёк проходит 10 см до поверхности за 0,045 секунды!!! Это явно неверно. Следовательно, формула Стокса неприменима для ВП и ПП, поднимающихся со дна.

S9. При возникновении неустойчивости траектории пузырёк может всплывать либо зигзагом, либо по спирали (рис. 8).

Рис. 7. Траектория пузырька, поднимающегося по спирали, в двух перпендикулярных проекциях XZ и YZ (\(R = 1{,}1\) мм) [Benjamin (1987), Antoine de Vries (2001)].

Очевидно, подъёмная сила \[F_A = \frac{4\pi R_{vb}^3}{3}g\rho_w .\] Поднимаясь на высоту \(h\), пузырёк вытесняет порцию воды массы \[M_{turb} = \rho_wh\cdot\pi R_{vb}^2\] и совершает работу (передаёт кинетическую энергию) \[W_{dissip} = \frac{M_{turb}v_{turb}^2}{2}.\] Тогда оцениваем диссипативную силу: \[F_{dissip} = \frac{W_{dissip}}{h} = \frac{M_{turb}v_{turb}^2}{2h}.\] Поскольку ПП движется равномерно, без ускорения, диссипативная (тормозящая) сила уравновешивает силу Архимеда: \[F_{dissip} = F_A .\] Тогда средняя (для спирального движения) турбулентная скорость \[v_{turb} \approx \sqrt{\frac{8gR_{vb}}{3}}.\] Для типичного радиуса всплывающего ВП (\(\sim\)1 мм) или схлопывающегося ПП (\(\sim\)3 мм) вычисляем скорость \[v_{turb} \approx \sqrt{\frac{8\cdot10\cdot(1\div3)\cdot10^{-3}}{3}}\text{ м/с} \approx (0{,}16\div0{,}28)\text{ м/с}.\] Время прохождения расстояния \(H \sim\) 10 см: \[t_{turb} > \frac{H}{v_{turb}} \approx \frac{0{,}1}{(0{,}16\div0{,}28)}\text{ с} \approx (0{,}35\div0{,}62)\text{ с}.\] Это вполне разумный результат, и пузырьки в основном поднимаются по закону турбулентного течения.

Атомы многих химических элементов обладают очень низкой энергией ионизации и легко теряют внешние электроны. Напротив, атомы других элементов легко принимают электроны. Собранные в одном объёме, такие положительные и отрицательные ионы могут объединяться в устойчивые ионные структуры. Многие твёрдые тела имеют кристаллическую структуру, в которой атомы расположены в чрезвычайно правильном, периодическом порядке. В идеальном кристалле одна и та же основная структурная единица повторяется в пространстве.

Рис. 1. Гранецентрированная кубическая решётка хлорида натрия (NaCl). Расстояние между центрами атомов в решётке постоянно и задаётся параметром \(r_0\).

Основной вклад в энергию связи ионного кристалла даёт электростатическая потенциальная энергия ионов.

Электрическое взаимодействие двух точечных зарядов \(q_1\) и \(q_2\), находящихся на расстоянии \(R\), хорошо описывается кулоновским потенциалом: \[V_C(R) = k\frac{q_1q_2}{R},\] где \(k = 1/4\pi\varepsilon_0 \approx 9\cdot10^9\) Н\(\cdot\)м\(^2\)/Кл\(^2\) — постоянная Кулона. Отрицательная сила означает притяжение. Сила направлена вдоль линии, соединяющей два заряда. В кристаллах NaCl ионы обоих типов имеют единичный заряд \(\pm\)e, и нужно также учитывать множество других соседей, действующих на выбранный ион. Учёт всех положительных и отрицательных ионов в кристалле бесконечных размеров приводит к потенциальной энергии притяжения \(V_{att}(r) = \alpha\cdot V_C(r)\), где \(r\) — расстояние между ближайшими соседями, а \(\alpha = 1{,}74756\) — постоянная Маделунга [E. Madelung, Phys. Zs, 19 (1918) p542]; она используется при определении энергии отдельного иона в кристалле.

Наряду с потенциальной энергией притяжения должна быть и потенциальная энергия отталкивания, обусловленная принципом запрета Паули и перекрытием электронных оболочек в кристаллической решётке. В отличие от кулоновской части притяжения, потенциальная энергия отталкивания очень короткодействующая.

Есть две разные модели для описания потенциала отталкивания.

Модель №1. Разумное приближение для потенциала отталкивания — экспоненциальная функция: \[V_{rep1}(r) = \lambda\cdot e^{-r/\rho},\qquad (\lambda, \rho > 0),\] которая описывает отталкивающее взаимодействие выбранного иона со всей кристаллической решёткой. Здесь \(\lambda\) — сила связи, а \(\rho\) — параметр радиуса действия.

Модель №2. Другое хорошее приближение для потенциала отталкивания — обратная степень: \[V_{rep2}(r) = b/r^n,\qquad (b > 0),\] где \(b\) — сила связи, а \(n\) — целое число больше 2 (показатель Борна). Эти параметры учитывают отталкивание со всем кристаллом.

Очевидно, физические параметры и модельные потенциалы зависят от типа кристаллической решётки.

Экспериментальные данные о постоянной решётки \(r_0\) и энергии диссоциации \(E_{dis}\) (необходимой, чтобы разделить решётку на отдельные ионы) для некоторых ионных кристаллов при нормальных температуре и давлении приведены в таблице 1.

Вопросы (всего 10 баллов):

Q1. Запишите кулоновский потенциал \(V_{C0}(r)\) для иона, находящегося в центре кубической решётки на рис. 1. Пусть он взаимодействует только с ближайшими соседями (на расстояниях вплоть до \(r = \sqrt3r_0\) включительно) кристаллической решётки. Найдите постоянную Маделунга \(\alpha_0\), соответствующую этому приближению. (1,5 балла)

Q2. Используя модель №1, запишите полную потенциальную энергию на ион \(V_1(r)\). Найдите условие равновесия при \(r = r_0\) и запишите полную потенциальную энергию \(V_1(r_0)\) [через \(\alpha\), \(r_0\), \(\rho\)]. Используйте точное значение постоянной Маделунга \(\alpha\). (1,5 балла)

Q3. Используя экспериментальные данные, оцените параметр радиуса действия \(\rho\). Используйте \(N_A = 6{,}022\cdot10^{23}\) моль\(^{-1}\). (2,0 балла)

Q4. Используя модель №2, запишите полную потенциальную энергию на ион \(V_2(r)\). Найдите её положение равновесия \(r = r_0\) и запишите полную потенциальную энергию \(V_2(r_0)\). Используйте точное значение постоянной Маделунга \(\alpha\). [через \(\alpha\), \(r\), \(r_0\), \(n\)] (2,0 балла)

Q5. Используя экспериментальные данные (из таблицы 1), оцените показатель Борна \(n\) для NaCl. Оцените доли кулоновского взаимодействия и запрета Паули (отталкивательной части) в полной потенциальной энергии в состоянии равновесия. (1,5 балла)

Q6. Энергия ионизации (необходимая, чтобы оторвать электрон от атома) атома Na равна +5,14 эВ, сродство к электрону (необходимое, чтобы атом принял электрон) атома Cl равно \(-\)3,61 эВ. Оцените полную энергию связи (удерживающую атом внутри решётки) на один атом в кристалле NaCl. Экспериментальный результат \(E_{exp} \approx -3{,}28\) эВ. [в эВ]

Используйте перевод единиц: \(1\text{ эВ} = 1{,}602\cdot10^{-19}\) Дж. (1,5 балла)

Может ли тело двигаться быстрее света? Ответ — «нет», если объект движется в вакууме. Но ответ может быть «да», если речь идёт о фазовой скорости света в оптически плотной среде с показателем преломления \(n\) (\(n = c/u\), где \(u\) — скорость света в среде, \(c\) — скорость света в вакууме).

Будем называть тело сверхсветовым, если \(u < v < c\), где \(v\) — скорость тела. Один из хорошо известных примеров сверхсветового тела — заряженная частица, порождающая черенковское излучение.

Во всей задаче рассматривается сверхсветовое тело, движущееся с постоянной скоростью \(v\) в оптической среде без дисперсии. \(u\) — скорость света в среде.

Для простоты введём обозначение \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}\) и угол \(\theta\), заданный соотношением \(\cos\theta = u/v\), и \[\tg\theta = \sqrt{\frac{v^2}{u^2} - 1}.\]

1. Излучающая сверхсветовая частица

Как показано на рис. 1, излучающая частица движется вдоль оси \(x\) с постоянной скоростью \(v\) (\(v > u\)).

Наблюдатель \(M\) находится на расстоянии \(d\) от оси \(x\).

Выберем ближайшую к наблюдателю точку в качестве точки \(O\) — начала координат на оси \(x\). Момент, когда частица в действительности проходит точку \(x = 0\), примем за \(t = 0\).

Рис. 1.

(1) Пусть свет, излучённый в момент \(t'\), наблюдается в момент \(t\). Выразите \(t\) через \(d\), \(t'\), \(u\) и \(v\). (1,0 балла)

(2) В момент \(t = t_0\) наблюдатель впервые видит частицу в положении \(x_0'\). Найдите видимое положение \(x_0'\) и время наблюдения \(t_0\) этого первого появления через \(d\), \(v\) и \(\theta\). (2,0 балла)

(3) Найдите видимое положение (положения) \(x'\) частицы в произвольный момент времени \(t\). Запишите ответ через \(v\), \(\theta\), \(t\) и \(t_0\). (2,0 балла)

(4) Найдите видимую скорость (скорости) \(v'(t)\) частицы в произвольный момент времени \(t\). Запишите ответ через \(v\), \(\theta\), \(t\) и \(t_0\). (1,0 балла)

(5) Найдите видимую скорость (скорости) \(v'\) частицы в момент её первого появления. (0,2 балла)

(6) Найдите видимую скорость (скорости) \(v'\) частицы на бесконечно больших расстояниях от начала координат \(O\). Запишите ответ через \(v\) и \(u\). (0,2 балла)

(7) Постройте график зависимости видимой скорости \(v'\) от времени \(t\), ясно указав асимптотические значения видимой скорости. (1,0 балла)

(8) Может ли видимая скорость превышать скорость света в вакууме, т. е. \(v' > c\)? (0,2 балла)

2. Излучающий линейный объект

Рассмотрим линейный объект, излучающий свет и движущийся вдоль оси \(x\). Длина линейного объекта в его системе покоя равна \(L\).

A. Продольное движение

В этом разделе считаем, что излучающий линейный объект движется вдоль своей длины по оси \(x\), как показано на рис. 2.

Рис. 2.

(9) Найдите интервал времени от первого появления переднего конца до полного появления всего линейного объекта. Запишите ответ через \(L\), \(\gamma\) и \(v\). (0,3 балла)

(10) Найдите видимую длину (длины) объекта в момент его полного появления. Запишите ответ через \(d\), \(L\), \(\theta\) и \(\gamma\). (0,4 балла)

B. Поперечное движение

В этом разделе считаем, что излучающий линейный объект, расположенный перпендикулярно оси \(x\), движется вдоль оси \(x\), как показано на рис. 3. Пусть наблюдатель находится в начале координат на оси \(x\) (\(d = 0\)). Объект симметричен относительно оси \(x\).

Рис. 3.

(11) Покажите, что в данный момент времени \(t\) видимая форма этого объекта — эллипс или часть (части) эллипса. (0,7 балла)

Найдите следующие величины и выразите их через \(v\), \(\theta\) и \(t\).

(12) Найдите положение \(x_c\) центра симметрии эллипса в данный момент \(t\) через \(v\), \(\theta\) и \(t\). (0,5 балла)

(13) Найдите длины большой и малой полуосей эллипса в данный момент \(t\) через \(v\), \(\theta\) и \(t\). (0,5 балла)

Источник: Азиатская физическая олимпиада (APhO) 2008, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.