зад 1 Электромагниты с большим сопротивлением
Электромагниты, имеющие сопротивление – это катушки, сделанные из обычного металла, такого как медь или алюминий. Современные электромагниты с большим сопротивлением могут создавать магнитное поле свыше чем \(30~ Тл\). Катушки обычно изготавливаются складыванием сотни тонких круглых пластин, сделанных из медного листового металла с большим количеством охлаждающихся отверстий, отпечатанных в них; есть также изоляторы с тем же самым образцом. Когда к катушке приложено напряжение, электрический ток, протекающий через пластины по винтовому пути, возбуждает сильное магнитное поле в центре электромагнита.
В этой задаче мы оценим, может ли цилиндрическая катушка (или соленоид) с большим количеством витков служить в качестве электромагнита, возбуждающего сильные магнитные поля. Как показано на рис., центр электромагнита расположен в точке \(O\). Цилиндрическая катушка состоит из \(N\) витков медной проволоки, по которой течет ток \(I\), равномерно распределенный по сечению провода. Средний диаметр катушки равен \(D\), и ее длина вдоль оси \(x\) равна \(l\). Поперечное сечение провода представляет собой прямоугольным с шириной \(a\) и высотой \(b\). Витки катушки так плотно намотаны друг к другу, что они практически перпендикулярны оси \(x\), и \(l=Na\). В таблице приведены значения геометрических размеров катушки.
| \(l,~см\) | \(D,~см\) | \(a,~мм\) | \(b,~мм\) |
| 12.0 | 6.0 | 2.0 | 5.0 |
При оценке того, может ли электромагнит создавать сильные магнитные поля, нужно учесть два фактора: Первое – это механическая прочность катушки, подверженной воздействию силы Лоренца. И второе – это большое количество джоулевого тепла, выделяющегося в проводе и приводящее к увеличению его температуры. Мы изучим оба этих фактора, используя простые модели.
В приложении в конце задачи приведены некоторые полезные математические формулы и физические константы, которые Вы можете использовать при необходимости.
Часть A. Магнитное поле на оси катушки (1.4 балла)
Пусть \(b\ll D\), так что провод можно рассматривать как тонкую полоску шириной \(a\). Пусть \(O\) совпадает с началом координатной оси \(x\). Направление текущего тока показано на рисунке.
A1. Найдите \(x\)-компоненту \(B(x)\) магнитного поля на оси катушки как функцию \(x\), если через катушку течет постоянный ток \(I\).
A2. Найдите величину тока \(I_0\), проходящего через катушку, если \(B(0)\) равно \(10.0~Тл\). Для вычисления используйте данные, приведенные в таблице.
Часть B. Верхний предел тока (3 балла)
В части B мы предположим, что длина \(l\) катушки бесконечна и \(b\ll D\). Рассмотрим виток катушки, расположенный вблизи точки \(x=0\). Магнитное поле действует с некоторой силой Лоренца на ток, проходящий через виток. На рисунке ниже показан сегмент окружности длины \(\Delta s\), подверженный воздействию нормальной силы \(\Delta F_\mathrm n\), стремящийся расширить виток.
B1. Предположим, что ток равен \(I\), и средний диаметр катушки после расширения остается постоянным и равным \(D'\) (больше чем \(D\)), как показано на рис. Найдите направленную наружу нормальную силу на единицу длины \(\Delta F_\mathrm n/\Delta s\).
B2. Найдите механическое напряжение \(F_\mathrm t\), действующее вдоль провода.
B3. Пренебрегите ускорением катушки во время расширения. Предположим, что виток разрывается, когда относительное удлинение провода составляет \(60\,\%\), и механическое напряжение (то есть сила на единицу поперечного сечения не натянутого провода) равна \(\sigma_\mathrm b=455~МПа\). Пусть \(I_\mathrm b\) – это ток, при котором виток разрывается, и \(B_\mathrm b\) – соответствующая величина магнитного поля в центре \(O\). Найдите выражение для \(I_\mathrm b\) и вычислите его.
B4. Найдите выражение для \(B_\mathrm b\) и вычислите его.
Часть C. Скорость повышения температуры (1 балл)
Пусть в катушке протекает ток \(I\), равный \(10.0~ кА\). Удельное сопротивление, удельная теплоемкость при постоянном давлении и плотность провода катушки равны соответственно \(\rho_\mathrm e=1.72\cdot 10^{-8}~Ом\cdot м\), \(c_\mathrm p=3.85\cdot 10^2~Дж/(кг\cdot К)\) и \(\rho_\mathrm m=8.98\cdot 10^3~кг\cdot м^{-3}\).
C1. Найдите выражение для мощности тепла, выделяющегося в единице объема провода катушки, и вычислите ее. Используйте данные из таблицы.
C2. Пусть \(\dot T\) – скорость изменения температуры проволоки в катушке. Найдите выражение для \(\dot T\) и вычислите ее.
Часть D. Импульсный электромагнит (4.6 баллов)
Если большой электрический ток, используемый для создания магнитного поля, протекает за короткий период времени, то это позволяет значительно уменьшить повышение температуры проволоки, вызванной выделением джоулевой теплоты. Это идея используется в импульсных электромагнитах.
Как показано на рисунке ниже, конденсатор емкостью \(C\), заряженный до напряжения \(V_0\), используется для создания тока \(I\) через катушку. Цепь снабжена переключателем \(K\). Индуктивность \(L\) и сопротивление \(R\) можно считать сосредоточенными только в катушке. Конструкция и размеры катушки – те же самые, как на первом рисунке. Пусть \(R\), \(L\), и \(C\) не зависят от температуры и магнитное поле соответствует бесконечному соленоиду с \(l\to \infty\).
D1. Найдите выражение для индуктивности \(L\) и сопротивления \(R\) катушки.
D2. Вычислите величины \(L\) и \(R\). Используйте данные из таблицы во введении.
В момент времени \(t=0\) переключатель \(K\) ставят в положение 1, и начинает течь электрический ток. В момент времени \(t\ge 0\) электрический заряд \(Q(t)\) положительной пластины конденсатора и электрический ток \(I(t)\) задаются выражениями:\[Q(t)=\frac{CV_0}{\sin\theta_0}e^{-\alpha t}\sin(\omega t+\theta_0),\qquad I(t)\equiv \frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}=\left(\frac{-\alpha}{\cos\theta_0}\right)\frac{CV_0}{\sin\theta_0}e^{-\alpha t}\sin\omega t,\] в которых \(\alpha\) и \(\omega\) – это положительные константы, а \(\theta_0\) задается выражением:\[\operatorname{tg} \theta_0=\frac\omega\alpha, 0<\theta_0<\frac\pi 2.\]Если \(Q(t)\) выражена как функция от новой переменной \(t'\equiv (t+\theta_0/\omega)\), тогда \(Q(t')\) и ее производная по времени \(I(t)\) идентичны с точностью до постоянного множителя. Таким образом, производная по времени \(I(t)\) может быть найдена без дальнейшего дифференцирования.
D3. Выразите \(\alpha\) и \(\omega\) через \(R\), \(L\), и \(C\).
D4. Вычислите величины \(\alpha\) и \(\omega\), если \(C\) равна \(10.0~ мФ\).
D5. Пусть \(I_\mathrm m\) – максимальная величина \(|I(t)|\) при \(t>0\). Найдите выражение для \(I_\mathrm m\).
D6. Пусть \(C=10.0~мФ\). Какова максимальная величина \(V_\mathrm {0b}\) начального напряжения на конденсаторе \(V_0\), при котором ток \(I_\mathrm m\) не превысит \(I_\mathrm b\), найденный в пункте B3?
D7. Пусть теперь переключатель \(K\) мгновенно перевели из положения 1 в положение 2, когда абсолютная величина тока \(|I(t)|\) достигла \(I_\mathrm m\). Обозначим через \(\Delta E\) полное количество тепла, выделенного в катушке с момента времени \(t=0\) до \(\infty\), а через \(\Delta T\) – соответствующее увеличение температуры проволоки. Пусть начальное напряжение \(V_0\) равно максимальному значению \(V_\mathrm {0b}\), полученному в пункте D6, а потеря электромагнитной энергии происходит только за счет выделения тепла в катушке. Найдите выражение для \(\Delta E\) и вычислите его.
D8. Найдите выражение для \(\Delta T\) и вычислите его.
Приложение:
\(\displaystyle\int\limits^l_0 \dfrac{\mathrm dx}{(D^2+x^2)^{3/2}}=\dfrac{1}{D^2}\cdot\dfrac{L}{(D^2+L^2)^{1/2}}\)
\(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)
Магнитная постоянная \(\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}~Гн/м\)
▶ОтветСкрыть
A1: \[B(x)=\frac{\mu_0I}{2a}\left\{\frac{l-2x}{\sqrt{D^2+(l-2x)^2}}+\frac{l+2x}{\sqrt{D^2+(l+2x)^2}}\right\}\]; A2: \[I_0=B(0)\frac a{l\mu_0}\sqrt{D^2+l^2}\approx1.8\cdot10^4~\text{А}\]; B1: \[\frac{\Delta F_\mathrm n}{\Delta s}=\frac{\mu_0I^2}{2a}\]; B2: \[F_\mathrm t=\frac{\mu_0I^2D'}{4a}\]; B3: \[I_\mathrm b=2a\sqrt\frac{b\sigma_\mathrm b}{1.6\mu_0D}\approx1.7\cdot10^4~\text{А}\]; B4: \[B_\mathrm b=2\sqrt\frac{\mu_0b\sigma_\mathrm b}{1.6D}\approx1.1\cdot10^1~\text{Тл}\]; C1: \[\dot w=\rho_\mathrm e\left[\frac I{ab}\right]^2=1.7\cdot10^{10}~\frac{\text{Вт}}{\text{м}^3}\]; C2: \[\dot T=\frac{\rho_\mathrm e}{\rho_\mathrm mc_p}\left[\frac I{ab}\right]^2=5.0\cdot10^3~\frac{\text{м}}{\text{с}}\]; D1: Тогда индуктивность катушки равна \[L=\frac{N\Phi}I=\frac{\pi\mu_0lD^2}{4a^2}.\] Сопротивление же катушки равно \[R=\frac{\pi\rho_\mathrm elD}{a^2b}.\]; D2: \[L=1.1\cdot10^{-4}~\text{Гн}\] \[R=1.9\cdot10^{-2}~\text{Ом}\]; D3: \[\omega=\sqrt{\frac1{LC}-\dfrac{R^2}{4L^2}}\]; D4: \[\alpha=\frac{2\rho_\mathrm e}{\mu_0bD}=9.1\cdot10^1~\text{с}^{-1}\qquad \omega=9.6\cdot10^2~\frac{\text{рад}}{\text{с}}\]; D5: \[I_\mathrm m=\frac{\alpha CV_0}{\cos\theta_0}e^{-\frac\alpha\omega\theta_0}\]; D6: \[V_{0\mathrm b}=\frac{I_\mathrm b}{\alpha C}e^{\frac{\alpha}{\omega}\theta_0}\cos\theta_0\approx2.1\cdot10^3~\text{В}\]; D7: \[\Delta E=\frac12CV_{0\mathrm b}^2\left\{1-4e^{-\frac{2\alpha}\omega\theta_0}\cos^2\theta_0\right\}\approx2.1\cdot10^4~\text{Дж}\]
▶РешениеСкрыть
A1. Найдем магнитное поле от витка \([s;s+\mathrm ds]\) как поле кольца (количество витков катушки в \(ds\) равно \(ds/a\)): \[\mathrm d\vec B=\frac{\mu_0ID^2}{a\left[D^2+4(s-x)^2\right]^{3/2}}\hat x~\mathrm ds.\] Интегрируя это выражение по всей катушке, получаем \[B(x)=\frac{\mu_0ID^2}{a}\int\limits_{-l/2}^{l/2}\frac{\mathrm ds}{\left[D^2+4(s-x)^2\right]^{3/2}}=\frac{\mu_0ID^2}{2a}\int\limits_{-l-2x}^{l-2x}\frac{\mathrm ds'}{\left[D^2+s'^2\right]^{3/2}}.\]
Ответ:
\[B(x)=\frac{\mu_0I}{2a}\left\{\frac{l-2x}{\sqrt{D^2+(l-2x)^2}}+\frac{l+2x}{\sqrt{D^2+(l+2x)^2}}\right\}\]
A2. Из пункта \(\text A2\) магнитное поле в точке \(x=0\) равно \[B(0)=\dfrac{\mu_0I}{a}\dfrac{1}{\sqrt{1+(D/l)^2}}.\] Если \(B(0)=10~\text{Тл}\), то ток должен быть равен
Ответ:
\[I_0=B(0)\frac a{l\mu_0}\sqrt{D^2+l^2}\approx1.8\cdot10^4~\text{А}\]
B1. Для бесконечно длинной катушки (\(l\rightarrow\infty\) и \(b\ll D\)) магнитное поле, действующее на ток, равно среднему полей снаружи и внутри катушки. Поле снаружи равно 0, а поле внутри такое же, как в точке \(\text O\). Таким образом, \[\vec B=\overline B\widehat x=\dfrac{1}{2}\left(0+\dfrac{\mu_0I}{a}\right)\widehat x=\dfrac{\mu_0 I}{2a}\widehat x.\] Тогда сила, действующая на сегмент провода длиной \(\Delta s\) наружу, равна \[\Delta F_\mathrm n=I\overline B\Delta s\]
Ответ:
\[\frac{\Delta F_\mathrm n}{\Delta s}=\frac{\mu_0I^2}{2a}\]
B2. Как можно видеть из рисунка, сумма пары сил натяжения на концах сегмента \(\Delta s\) направлена внутрь катушки и равна \(-F_\mathrm t\Delta\theta=-F_\mathrm t\frac{2\Delta s}{D'}\). Тогда условие равновесия \[\Delta F_\mathrm n=F_\mathrm t\frac{2\Delta s}{D'}.\] Отсюда с учетом результата пункта \(\text B1\) получаем ответ
Ответ:
\[F_\mathrm t=\frac{\mu_0I^2D'}{4a}\]
B3. В момент разрыва механическое напряжение равно \(\sigma_b\). То-есть в момент разрыва \[\sigma_\mathrm b=\frac{F_\mathrm t}{ab}=\frac{\mu_0I_b^2D'}{4a^2b}.\] Также в момент разрыва \(D'=1.60D\). Из последних двух уравнений найдем ток \(I_b\), при котором произойдет разрыв:
Ответ:
\[I_\mathrm b=2a\sqrt\frac{b\sigma_\mathrm b}{1.6\mu_0D}\approx1.7\cdot10^4~\text{А}\]
B4. Используя ток из пункта \(\text B3\), найдем магнитное поле в точке \(\text O\):
Ответ:
\[B_\mathrm b=2\sqrt\frac{\mu_0b\sigma_\mathrm b}{1.6D}\approx1.1\cdot10^1~\text{Тл}\]
C1. Когда ток \(I=10.0~\text{кА}\), плотность тока \[J=\dfrac{I}{ab}.\] Мощность, выделяющаяся в единице объема катушки, равна \(\dot w=\rho_\mathrm e\left[\frac I{ab}\right]^2\)
Ответ:
\[\dot w=\rho_\mathrm e\left[\frac I{ab}\right]^2=1.7\cdot10^{10}~\frac{\text{Вт}}{\text{м}^3}\]
C2. Учитывая, что теплоемкость на единицу объема равна \(\rho_\mathrm mc_p\), находим скорость изменения температуры:
Ответ:
\[\dot T=\frac{\rho_\mathrm e}{\rho_\mathrm mc_p}\left[\frac I{ab}\right]^2=5.0\cdot10^3~\frac{\text{м}}{\text{с}}\]
D1. В предположениях задачи поток магнитного поля через каждый виток равен \[\Phi=\frac{\pi\mu_0ID^2}{4a}.\]
Ответ:
Тогда индуктивность катушки равна \[L=\frac{N\Phi}I=\frac{\pi\mu_0lD^2}{4a^2}.\] Сопротивление же катушки равно \[R=\frac{\pi\rho_\mathrm elD}{a^2b}.\]
D2. Ответ:
\[L=1.1\cdot10^{-4}~\text{Гн}\] \[R=1.9\cdot10^{-2}~\text{Ом}\]
D3. Запишем закон Кирхгофа для цепи: \[L\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}+RI+\frac1CQ=0.\] В этом пункте нам даны \[Q(t)=\frac{CV_0}{\sin\theta_0}e^{-\alpha t}\sin(\omega t+\theta_0)=e^{\alpha\theta_0/\omega}\frac{CV_0}{\sin\theta_0}e^{-\alpha (t+\theta_0/\omega)}\sin(\omega( t+\theta_0/\omega))\] \[I(t)\equiv \frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}=\left(\frac{-\alpha}{\cos\theta_0}\right)\frac{CV_0}{\sin\theta_0}e^{-\alpha t}\sin\omega t\] \[\tan \theta_0=\frac\omega\alpha.\] Сравнивая правые части выражений для \(Q\) и \(I\), можно заметить, что ток \(I(t)=dQ/dt\) получен из \(Q(t)\) заменой переменной времени с \(t+\theta_0/\omega\) на \(t\) и умножением на константу \((-\alpha e^{-\alpha\theta_0/\omega}/\cos\theta_0)\). Используя полученную связь между \(Q\) и \(I\) найдем производную \[dI/dt=\left(\frac{\alpha}{\cos\theta_0}\right)^2\frac{CV_0}{\sin\theta_0}e^{-\alpha t}\sin(\omega t-\theta_0).\] Подставляем все в закон Кирхгофа, раскрывая синус суммы/разности. Получаем \[L\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}+RI+\frac1CQ=\left(\frac{CV_0}{\sin\theta_0}\right)e^{-\alpha t}(A\cos\theta_0\sin\omega t+B\sin\theta_0\cos\omega t)=0,\] где \[A=L\left( \dfrac{\alpha}{\cos\theta_0} \right)^2-R\left(\dfrac{\alpha}{\cos^2\theta_0}\right)+\dfrac1C\] \[B=-L\left(\dfrac{\alpha}{\cos\theta_0}\right)^2+\dfrac1C.\] Для выполнения закона Кирхгофа \(A=0\) и \(B=0\). Вычитая эти уравнения друг из друга получаем
\[\alpha=\dfrac{R}{2L}\]
Складывая уравнения, получаем \[\dfrac1{LC}=\dfrac{\alpha^2}{\cos^2\theta_0}=\alpha^2+\omega^2.\] Следовательно,
Ответ:
\[\omega=\sqrt{\frac1{LC}-\dfrac{R^2}{4L^2}}\]
D4. Ответ:
\[\alpha=\frac{2\rho_\mathrm e}{\mu_0bD}=9.1\cdot10^1~\text{с}^{-1}\qquad \omega=9.6\cdot10^2~\frac{\text{рад}}{\text{с}}\]
D5. \(|I|\rightarrow\mathrm{max}\), когда \(dI/dt=0\). Это происходит при \[t_m=\dfrac{\theta_0}{\omega}.\] Тогда
Ответ:
\[I_\mathrm m=\frac{\alpha CV_0}{\cos\theta_0}e^{-\frac\alpha\omega\theta_0}\]
D6. Если \(I_\mathrm m< I_b\), то должно быть выполнено условие \[\frac{\alpha CV_0}{\cos\theta_0}e^{-\frac\alpha\omega\theta_0}< I_b.\] Это определяет \(V_{0\mathrm b}\):
Ответ:
\[V_{0\mathrm b}=\frac{I_\mathrm b}{\alpha C}e^{\frac{\alpha}{\omega}\theta_0}\cos\theta_0\approx2.1\cdot10^3~\text{В}\]
D7. Когда \(|I(t)|\) достигает своего максимума, напряжение конденсатора упало с начального \(V_0=V_{0\mathrm b}\) до \[V(t_\mathrm m)=\dfrac{V_{0\mathrm b}}{\sin\theta_0}e^{-\alpha\theta_0/\omega}\sin(2\theta_0).\] В период с \(t=0\) до \(t=t_\mathrm m\) конденсатор передал в цепь (в виде Джоулева тепла и магнитной энергии) количество энергии, равное \[E_C=\dfrac12C(V_{0\mathrm b}^2-V(t_\mathrm m)^2)=\frac12CV_{0\mathrm b}^2\left\{1-4e^{-\frac{2\alpha}\omega\theta_0}\cos^2\theta_0\right\}.\] По закону сохранения энергии вся эта энергия перейдет в тепло, поэтому \[\Delta E=E_C\]
Ответ:
\[\Delta E=\frac12CV_{0\mathrm b}^2\left\{1-4e^{-\frac{2\alpha}\omega\theta_0}\cos^2\theta_0\right\}\approx2.1\cdot10^4~\text{Дж}\]
D8. Если теплоемкость не зависит от температуры, то увеличение температуры равно
Ответ:
\[\Delta T=\dfrac{\Delta E}{Mc_p}=\frac{\Delta E}{\pi\rho_\mathrm mc_plbD}=53~\text{К}\]
Перевод: pho.rs.
Источник: Азиатская физическая олимпиада (APhO) 2010, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.