APhO 2012, теоретический тур

Небольшой магнит с магнитным дипольным моментом \(p\) и массой \(m\) падает в длинной вертикальной немагнитной металлической трубке, как показано на рисунке (масштаб не соблюден). Процесс падения магнита описывается уравнением: \[m\ddot z=mg-k\dot z\] Здесь \(g\) - ускорение свободного падения, а коэффициент \(k\) обусловлен возникающими в трубке вихревыми токами.

1. Найдите установившуюся скорость \((v_T)\) падения магнита.

2. Найдите зависимость координаты магнита \(z(t)\) от времени \(t\) при начальных условиях \(v(t= 0) = 0\) и \(z(t = 0) = 0\).

Изучим подробнее динамику падения магнита. В пунктах (I.3) — (I.8) рассматривается упрощенная задача о падении магнита вдоль оси неподвижного немагнитного металлического кольца радиуса \(a\), электрическим сопротивлением \(R\) и индуктивностью \(L\), как показано на рис. В дальнейшем полностью пренебрегайте излучением электромагнитных волн.

В нашем случае удобно использовать цилиндрическую систему координат \((\rho, \varphi, z)\), изображенную на рисунке выше и выбранную таким образом, что ось \(z\) совпадает с осью кольца. В начальный момент времени магнит покоится в начале координат, а центр кольца имеет координату \(z_0\). На том же рисунке показаны оси обычной декартовой системы координат (\(x,y,z\)). Считайте, что дипольный момент магнита \(\vec p\) всегда направлен вдоль оси \(z\) в ее положительном направлении (\(\hat p = p\hat k\)), где \(\hat k\) — единичный вектор вдоль оси \(z\).

Осевая (\(B_z\)) и радиальная (\(B_{\rho}\)) компоненты индукции магнитного поля, вычисленные в некоторой точке \((\rho, \varphi, z)\), имеют вид:

\[B_z=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{p}{(\rho^2+z^2)^{\frac32}}\left[\frac{3z^2}{\rho^2+z^2}-1\right]\] \[B_{\rho}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3pz\rho}{(\rho^2+z^2)^{5/2}}\]где \(\mu_0\) — магнитная постоянная.

3. Пусть в некоторый момент времени скорость падения магнита равна \(v\). Найдите величину ЭДС \(e_i\), индуцируемой магнитом в кольце.

4. Пусть эта ЭДС вызывает в кольце ток \(i\). Найдите модуль магнитной силы \(f_{em}\), действующей на кольцо, и выразите ее через \(i\).

5. Чему равна величина модуля силы, действующей на магнит со стороны кольца?

6. Выразите ЭДС индукции \(e_i\) в кольце через \(L, R\) и \(i\), но не решайте полученное уравнение!

7. В процессе падения магнита его потенциальная энергия в гравитационном поле уменьшается. Не проводя вычислений, укажите в виде формул три основных вида энергии, в которые переходит потенциальная энергия магнита.

8. Совершает ли механическую работу магнитное поле магнита в данном процессе?

Теперь рассчитаем коэффициент пропорциональности \(k\) в уравнении \(m\ddot z=mg-k\dot z\), обусловленный трубкой. Для этого рассмотрим бесконечную трубку радиусом \(a\) со стенками малой толщины \(w\) и проводимостью \(\sigma\). Здесь и ниже считайте, что индуктивность трубки пренебрежимо мала, а ее концы имеют координаты \(z=-\infty\) и \(z=\infty\) соответственно.

Разобьем трубку на большое число колец, каждое высотой \(\Delta z'\), радиусом \(a\), малой толщиной \(w\) и проводимостью \(\sigma\) (см. рис).

9. Найдите сопротивления отдельного кольца.

10. Найдите коэффициент \(k\) для бесконечно длинной трубки и выразите его через \(p,\sigma\), а также геометрические размеры кольца. Так как кольца очень тонкие, то можно считать магнитное поле внутри каждого кольца однородным и равным \(B_{\rho}(\rho = a)\). Пусть в момент времени \(t\) магнит имеет координату \(z(t)\) и скорость \(\dot z(t)\). Представьте коэффициент \(k\) в виде выражения, содержащего некоторый интеграл по безразмерному параметру \(u=(z-z')/a\).

11. Предположим, что коэффициент пропорциональности \(k\) зависит от следующих величин: \[k=f(\mu_0,p,R_0,a)\] где \(R_0\) - эффективное сопротивление трубки. С помощью анализа размерностей получите выражение для \(k\), считая численный коэффициент в полученной формуле равным единице.

Приложение

\[\int\frac{udu}{(u^2+a^2)^n}=\frac12\frac{(u^2+a^2)^{1-n}}{(1-n)}+Constant (n>1)\]

Рассмотрим установку, схема которой показана на рисунке. Два когерентных монохроматических световых луча (обозначены 1 и 2), распространяющихся в направлении \(z\), падают на две узкие щели, расположенные друг от друга на расстоянии \(d(S_1S_2=d)\). После прохождения щели они интерферируют, и картина интерференции наблюдается на экране \(S\). Расстояние между щелями и экраном \(D\), причем \(D\gg d\). При решении этой задачи не учитывайте дифракционные эффекты на отдельных щелях.

Beam — луч

1. Пусть при \(z=0\) лучи 1 и 2 линейно поляризованы. Соответствующие векторы напряженности электрического поля равны: \[\vec E_1=\hat iE_0\cos(\omega t)\] \[\vec E_2=\hat iE_0\cos(\omega t)\] где \(\hat i\) — единичный вектор, направленный вдоль оси \(x,\omega\) — угловая частота световой волны и \(E_0\) — амплитуда световой волны. Получите выражение для интенсивности света \(I(\theta)\), которая будет наблюдаться на экране, где \(\theta\) — угол, показанный на рис. Выразите ответ через \(\theta, d,E_0, c\) и \(\omega\), где \(c\) — скорость света. Интенсивность пропорциональна усредненному квадрату напряженности электрического поля. Коэффициент пропорциональности считайте равным единице. Уменьшением напряженности электрического поля вследствие удаления от щели до любой точки на экране можно пренебречь.

2. Полностью прозрачная стеклянная пластина толщиной \(h\) и показателем преломления \(\mu\) помещается на пути луча 1, перед щелями. Найдите выражение для интенсивности света \(I(\theta)\), которая будет наблюдаться на экране. Выразите ответ через \(\theta, d,E_0, c, \omega,\mu, h\).

3. Оптическое устройство, известное как пластинка в Четверть Длины Волны (ЧДВ), помещается на пути луча 1 перед щелями, вместо стеклянной пластинки. Это устройство изменяет поляризацию луча из линейной поляризации \(\vec E_1=\hat iE_0\cos(\omega t)\) на круговую поляризацию: \[\vec E_1=\frac{1}{\sqrt2}[\hat iE_0\cos(\omega t)+\hat jE_0\sin(\omega t)]\] где \(\hat j\) — единичный вектор, направленный вдоль оси \(y\).

Считайте, что пластинка ЧДВ не вносит дополнительной разности хода и что она абсолютно прозрачна. Конец вектора напряженности электрического поля описывает окружность с течением времени. Поэтому говорят, что луч имеет круговую поляризацию.

Найдите выражение для интенсивности света \(I(\theta)\), которая будет наблюдаться на экране. Выразите ответ через \(\theta, d,E_0, c\) и \(\omega\).

Чему равна максимальная интенсивность \((I_{max})\)?

Чему равна минимальная интенсивность\((I_{min})\)?

Optical device – оптическое устройство, polarisers - поляризаторы.

4. Теперь рассмотрим экспериментальную установку, показанную на рисунке выше, в которой на пути луча 1 помещены:

— пластинка (ЧТВ) описанная выше,

— линейный поляризатор (обозначен как \(\mathrm I\)), между \(z=a\) и \(z=b\), который пропускает только компоненту напряженности электрического поля, параллельную вектору \((\hat i')\). Единичный вектор \(\hat i'\) определяется как \[\hat i'=\hat i \cos \gamma+\hat j\sin\gamma\]

— еще один линейный поляризатор (обозначен как \(\mathrm {II}\)) между \(z=b\) и \(z=c\), который возвращает поляризацию луча в прежнее состояние (вдоль \(\hat i\)).

Считайте, что поляризаторы не вносят разности хода, и что они полностью прозрачны.

Запишите выражение для напряженности электрического поля луча 1 после первого поляризатора в точке \(b\) \([\vec E_1(z=b)]\).

Запишите выражение для напряженности электрического поля луча 1 после второго поляризатора в точке \(c\) \([\vec E_1(z=c)]\).

Чему равна разность фаз (\(\alpha\)) между двумя лучами на щелях?

Наиболее общим видом поляризации является эллиптическая поляризация. Обычно эллиптическую поляризацию описывают в виде суперпозиции двух ортогональных линейных поляризаций, то есть \[\vec E=\hat i 'E_0\cos e \cos (\omega t)+\hat j 'E_0\sin e \sin (\omega t)\] где \(\hat i',\hat j'\) и данная поляризация показаны на риcунке ниже.

Конец вектора напряженности электрического поля с течением времени описывает эллипс. Величина \(e\) называется эллиптичностью и определяется как: \[\tan e=\frac{\text{Меньшая полуось эллипса}}{\text{Большая полуось эллипса}}\] Линейная поляризация и круговая поляризация являются частными случаями эллиптической поляризации. Два параметра: \(\gamma(\in[0,\pi])\) и \(e\left(\in \left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\right)\) полностью определяют состояние поляризации.

Состояние поляризации также может быть представлено точкой на сфере единичного радиуса, которая называется сферой Пуанкаре. Поляризация представлена точкой \(P\) на сфере Пуанкаре (см. рис. ниже), широта \(\angle PCD=2e\) и долгота \(\angle ACD=2\gamma\). Здесь \(C\) — центр сферы.

Экватор – Equator

5. Рассмотрим точку на экваторе сферы Пуанкаре.

Запишите выражение для напряженности электрического поля (\(\vec E_{\mathrm {Eq}}\)) в этой точке.

Какова поляризация в этой точке?

6. Рассмотри точку на северном полюсе сферы Пуанкаре.

Запишите выражение для напряженности электрического поля (\(\vec E_{\mathrm{NP}}\)) в этой точке.

Какова поляризация в этой точке?

7. Теперь рассмотрим три состояния поляризации луча 1. Пусть начальная поляризация (при \(z=0\)) представлена точкой \(A_1\) на сфере Пуанкаре; после пластинки ЧДВ, состояние (при \(z=a\)) представлено точкой \(A_2\). После первого поляризатора (при \(z=b\)), состояние поляризации представлено точкой \(A_3\). При \(z=c\) поляризация возвращается в начальное состояние, которая представлена точкой \(A_1\). Укажите эти точки (\(A_1, A_2, A_3\)) на сфере Пуанкаре.

8. Если эти три точки (\(A_1, A_2, A_3\)) соединить на сфере дугами больших кругов, на поверхности сферы получится треугольник. (Большим кругом называется круг, центр которого совпадает с центром сферы). Разность фаз \(\alpha\) и площадь \(S\) треугольника на сфере связаны друг с другом. Выразите \(S\) через \(\alpha\). Эта зависимость была получена Панчаратнамом и разность фаз называется фазой Панчаратнама.

Источник: Азиатская физическая олимпиада (APhO) 2012, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.