зад 1 Цилиндры в проводящей жидкости
В этой задаче мы будем исследовать систему, состоящую из двух проводящих тел, погруженных в однородную слабопроводящую жидкость. Если между этими телами приложить постоянную разность потенциалов, то в системе возникнут электрическое и магнитное поля.
A1. Сначала рассмотрим находящуюся в вакууме длинную равномерно заряженную прямую нить (с линейной плотностью заряда \(\lambda\)). Вычислите электрическое поле \(\vec{E} (\vec{r})\) этой нити.
A2. Потенциал \(V(r)\) поля заряженной нити можно представить в виде
\[V(r) = f(r) + K,\]где \(K\) — постоянный коэффициент. Получите явный вид функции \(f(r)\).
A3. Пусть две бесконечные прямые нити, равномерно заряженные с линейными плотностями \(\lambda\) и \(- \lambda\), параллельны оси \(z\), имеют координаты на оси \(y = 0\), а на оси \(x\): \(x = -b\) и \(x = b\), соответственно.
Вычислите для всего пространства потенциал \(V(x, y,z)\) поля этих нитей. Считайте, что в начале координат потенциал \(V = 0\) . Изобразите на рисунке эквипотенциальные поверхности этого поля.
Примечание: При ответе на следующие вопросы не учитывайте краевые эффекты.
A4. Теперь рассмотрим два одинаковых проводящих цилиндра радиуса \(R = 3a\), находящихся в вакууме. Считайте, что длины \(l\) обоих цилиндров одинаковы и \(l \gg R\). Оси обоих цилиндров параллельны оси \(z\), лежат в плоскости \((x,z)\) и на оси \(x\) имеют координаты \(x = -5a\) и \(x = 5a\) соответственно. Между цилиндрами с помощью батареи создана разность потенциалов \(V_0\) (примите, что цилиндр с координатой \(x = -5a\) имеет больший потенциал). Вычислите, пренебрегая краевыми эффектами, потенциал \(V\) во всех точках пространства. Считайте, что в начале координат потенциал \(V = 0\).
A5. Вычислите емкость \(C\) системы цилиндров.
A6. Пусть теперь пространство между цилиндрами заполнено слабо проводящей жидкостью с удельной проводимостью \(\sigma\). Вычислите силу тока, протекающего между цилиндрами. Считайте, что диэлектрическая проницаемость жидкости равна диэлектрической проницаемости вакуума \(\varepsilon = 1\).
A7. Вычислите сопротивление \(R\) системы. Вычислите \(RC\) системы.
A8. Вычислите магнитное поле \(\vec{B}\), созданное электрическим током (смотрите пункт A6). Считайте, что магнитная проницаемость жидкости равна магнитной проницаемости вакуума \(\mu = 1\).
Примечание: \(\int \frac{a \, dx}{a^2 + x^2} = \arctan \left(\frac{x}{a} \right) + \text{const}\).
▶ОтветСкрыть
A1: \[\vec E(r) = \cfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \cdot \cfrac{1}{r}\cdot\hat r\]; A2: \[f(r) = - \cfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln r\]; A3: \[V=\cfrac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0} \ln \cfrac{{(b-x)^2+y^2}}{{(b+x)^2+y^2}}\]; A4: \[V=\frac{V_0}{4\ln3}\ln\frac{(4a-x)^2+y^2}{(4a+x)^2+y^2}\text{ вне цилиндров}\\V=\pm V_0/2\text{ внутри левого и правого цилиндров соответственно}\]; A5: \[C=\frac{q}{V_0}=\frac{l\pi\varepsilon_0}{\ln3}\]; A6: \[I=\frac{V_0\pi\sigma l}{\ln3}\]; A7: \[R=\frac{V_0}{I}=\frac{\ln3}{\pi\sigma l}\] \[RC=\frac{\varepsilon_0}{\sigma}\]
▶РешениеСкрыть
A1. Теорема Гаусса:\[\oint\vec E\cdot\mathrm d\vec S=q/\varepsilon_0.\]Из соображений симметрии ясно, что у электрического поля есть только радиальная составляющая. Записав теорему Гаусса для цилиндра, ось которого совпадает с заряженной нитью, получим:\[E\cdot 2\pi r\lambda l/\varepsilon_0,\]откуда:
Ответ:
\[\vec E(r) = \cfrac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \cdot \cfrac{1}{r}\cdot\hat r\]
A2. Потенциал задаётся выражением:\[V=-\int\limits_{\mathrm{ref}}^r\vec E\cdot\mathrm d\vec l=-\int\limits_{\mathrm{ref}}^rE\,\mathrm dr=- \cfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln r+\operatorname{const}.\]
Ответ:
\[f(r) = - \cfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln r\]
A3.
Рис. 1. Система из двух заряженных нитей
Потенциал находим как суперпозицию потенциалов нитей:\[V=- \cfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln r_1+\cfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln r_2= \cfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln \cfrac{\sqrt{(b-x)^2+y^2}}{\sqrt{(b+x)^2+y^2}}=\cfrac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0} \ln \cfrac{{(b-x)^2+y^2}}{{(b+x)^2+y^2}}.\]
Ответ:
\[V=\cfrac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0} \ln \cfrac{{(b-x)^2+y^2}}{{(b+x)^2+y^2}}\]
Условие постоянства потенциала можно представить в виде:\[\left(x-\left(\frac{1+\beta}{1-\beta}\right)\right)^2+y^2=b^2\left(\left(\frac{1+\beta}{1-\beta}\right)^2-1\right),\]где \(\beta=\exp(4\pi\varepsilon_0V/\lambda)\).
Рис. 2. Эквипотенциальные поверхность для \(b=1\) и \(\beta=12.35\) (слева) и \(\beta=1/12.35\) (справа)
A4. Полученное выше уравнение очень удобно задаёт цилиндр. Таким образом, распределение потенциала можно воссоздать, если соответствующим образом выбрать положения заряженных нитей. Рассмотрим рисунок:
Рис. 3. Две заряженные нити и их эквипотенциальная поверхность
Подберём расстояния \(l_{1,2}\) так, чтобы цилиндрическая поверхность радиуса \(R\) была эквипотенциальной. Потенциал задаётся выражением:\[V=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r_1+\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r_2=-\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\left(l_1^2+R^2-2l_1R\cos\varphi\right)+\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\left(l_2^2+R^2-2l_2R\cos\varphi\right),\]где угол \(\varphi\) задаёт точку в сечении цилиндра. Условие постоянства потенциала принимает вид:\[\frac{\partial V}{\partial \varphi}=0\implies- \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2l_1R\sin\varphi}{l_1^2+R^2-2l_1R\cos\varphi}+\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2l_2R\sin\varphi}{l_2^2+R^2-2l_2R\cos\varphi}=0\\\frac{l_1}{l_1^2+R^2-2l_1R\cos\varphi}=\frac{l_2}{l_2^2+R^2-2l_2R\cos\varphi}\\l_1^2l_2+R^2l_2-2l_1l_2R\cos\varphi=l_1l_2^2+R^2l_1-2l_1l_2R\cos\varphi\\l_1l_2(l_1-l_2)=R^2(l_1-l_2)\implies l_1l_2=R^2.\]Из условия задачи можно заключить:\[l_1+l_2=10a,\qquad l_1l_2=9a^2,\]откуда:\[l_{1,2}=5a\pm 4a.\]Знаки выбраны так, чтобы \(l_1 > l_2\). Таким образом, потенциал всюду за пределами цилиндров задаётся выражением:\[V=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{(4a-x)^2+y^2}{(4a+x)^2+y^2}.\]Сами цилиндры (правый и левый соответственно) при этом имеют потенциалы:\[V(x=\pm 2a,y=0)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{(4a\mp2a)^2+0^2}{(4a\pm2a)^2+0^2}=\mp\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln3.\]Таким образом, разность потенциалов между цилиндрами равна:\[\Delta V=\frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0}\ln3\equiv V_0.\]Подставляя это в выражение для потенциала во всём пространстве, получим ответ:
Ответ:
\[V=\frac{V_0}{4\ln3}\ln\frac{(4a-x)^2+y^2}{(4a+x)^2+y^2}\text{ вне цилиндров}\\V=\pm V_0/2\text{ внутри левого и правого цилиндров соответственно}\]
A5. Связь напряжения и заряда:\[V_0=\frac{q}{l\pi\varepsilon_0}\ln3,\]откуда:
Ответ:
\[C=\frac{q}{V_0}=\frac{l\pi\varepsilon_0}{\ln3}\]
A6. Цилиндры создают электрическое поле:\[E_x=\frac{V_0}{2\ln3}\left(\frac{4a+x}{(4a+x)^2+y^2}+\frac{4a-x}{(4a-x)^2+y^2}\right),\\E_y=\frac{V_0}{2\ln3}\left(\frac{y}{(4a+x)^2+y^2}-\frac{y}{(4a-x)^2+y^2}\right).\]Объёмная плотность тока:\[\vec j=\sigma\vec E.\]Чтобы найти полную силу тока, удобно посчитать поток объёмной плотности через плоскость \(x=0\), поскольку там равна нулю её \(y\)-компонента. Итого:\[I=\int\vec j\cdot\mathrm d\vec S=\int\sigma E_xl\,\mathrm dy=\sigma l\frac{8aV_0}{2\ln3}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm dy}{(4a)^2+y^2}=\frac{V_0\pi\sigma l}{\ln3}.\]
Ответ:
\[I=\frac{V_0\pi\sigma l}{\ln3}\]
A7. Сопротивление определяется как:
Ответ:
\[R=\frac{V_0}{I}=\frac{\ln3}{\pi\sigma l}\]
Отсюда:
Ответ:
\[RC=\frac{\varepsilon_0}{\sigma}\]
A8. Поскольку система довольно симметрична, воспользуемся теоремой о циркуляции. Также, поскольку у тока нет \(z\)-компоненты, то и у магнитного поля её не будет.
Рис. 4. Теорема о циркуляции
На рисунке 4 показаны токи, текущие от одного цилиндра к другому. Для теоремы о циркуляции выберем симметричный относительно оси \(x\) контур в плоскости \(x=\operatorname{const}\), стороны которого параллельны осям \(y\) и \(z\). Поток плотности тока через контур:\[I=\int\vec j\cdot\mathrm d\vec S=\int J_xl\,\mathrm dy=\frac{V_0\sigma l}{2\ln3}\int\limits_{-y}^{y}\left(\frac{4a+x}{(4a+x)^2+y^2}+\frac{4a-x}{(4a-x)^2+y^2}\right)\,\mathrm dy=\\=\frac{V_0\sigma l}{\ln3}\left(\operatorname{arctg}\frac{y}{4a+x}+\operatorname{arctg}\frac{y}{4a-x}\right).\]Теорема о циркуляции:\[\oint\vec B\cdot\mathrm d\vec l=\mu_0I\\2B_zl=\frac{\mu_0V_0\sigma l}{\ln3}\left(\operatorname{arctg}\frac{y}{4a+x}+\operatorname{arctg}\frac{y}{4a-x}\right)\\B_z=\frac{\mu_0V_0\sigma}{2\ln3}\left(\operatorname{arctg}\frac{y}{4a+x}+\operatorname{arctg}\frac{y}{4a-x}\right)\implies\]
Ответ:
\[\vec B=\hat z\frac{\mu_0V_0\sigma}{2\ln3}\left(\operatorname{arctg}\frac{y}{4a+x}+\operatorname{arctg}\frac{y}{4a-x}\right)\]
Перевод: pho.rs.
зад 2 Физика спина
Все вещества во Вселенной обладают, помимо массы и заряда, такой фундаментальной характеристикой, как спин. Спин — это внутренний момент количества движения, которым обладают частицы. Хотя для полного описания спина необходимо привлечение аппарата квантовой механики, физику спина можно понять, используя обычный классический формализм. В данной задаче изучается влияние магнитного поля на спин с использованием его классической аналогии.
Классическое уравнение моментов для спина выглядит так: \[\vec M=\frac{d\vec L}{dt}=\vec\mu \times \vec B\] В этом уравнении момент импульса \(\vec L\) представляет собой спин частицы, \(\vec \mu\) — магнитный момент частицы, \(\vec B\) — индукция магнитного поля. Спин частицы связан с ее магнитным моментом уравнением \[\vec \mu=-\gamma\vec L\] где \(\gamma\) — гиромагнитное отношение.
Часть А. Ларморовская прецессия
Докажите, что величина магнитного момента \(\mu\) под действием магнитного поля \(\vec B\) всегда остается постоянной. Также покажите, что в частном случае постоянного магнитного поля угол между \(\vec \mu\) и \(\vec B\) постоянен.
(Подсказка: Вы можете использовать свойства векторных произведений).
Индукция магнитного поля \(\vec B\) образует угол \(\phi\) с магнитным моментом частицы \(\vec \mu\). Из-за момента сил, создаваемого магнитным полем, магнитный момент \(\vec \mu\) вращается вокруг поля \(\vec B\), что известно, как ларморовская прецессия. Определите частоту \(\omega_0\) ларморовской прецессии магнитного момента вокруг вектора \(\vec B=B_0\vec k\), где \(\vec k\) — единичный вектор.
Часть B. Вращающаяся система координат
В данной части задачи выберем систему координат \(S'=(x',y',z')\), которая вращается с угловой скоростью \(\omega \vec k\), как это видно наблюдателю, находящемуся в лабораторной системе координат \(S=(x,y,z)\), где оси \(x',y',z'\) совпадают с осями \(x, y, z\) в момент времени \(t = 0\). Любой вектор \(\vec A=A_x\vec i+A_y\vec j+A_z\vec k\) в лабораторной системе координат может быть представлен во вращающейся системе координат \(S'\) как \(\vec A=A'_x\vec i'+A'_y\vec j'+A'_z\vec k'\). Производная этого вектора по времени
\[\frac{d\vec A}{dt}= \left(\frac{dA'_x}{dt}\vec i'+\frac{dA'_y}{dt}\vec j'+\frac{dA'_z}{dt}\vec k'\right)+\left(A_x'\frac{d\vec i'}{dt}+A_y'\frac{d\vec j'}{dt}+A_z'\frac{d\vec k'}{dt}\right)\]\[\left(\frac{d\vec A}{dt}\right)_{lab}=\left(\frac{d\vec A}{dt}\right)_{rot}+\left(\omega\vec k \times \vec A\right)\]где \(\left(\frac{d\vec A}{dt}\right)_{lab}\) — производная по времени вектора \(\vec A\) в лабораторной системе координат и \(\left(\frac{d\vec A}{dt}\right)_{rot}\) — производная этого вектора по времени во вращающейся системе координат.
Для всех вопросов из данной части, ответы относятся к вращающейся системе координат \(S'\).
Покажите, что изменение магнитного момента со временем описывается уравнением \[\left(\frac{d\vec \mu} {dt}\right)_{rot}=\left(\gamma\vec\mu\times\vec B_{eff}\right)\] где \(\vec B_{eff}= \vec B - \frac\omega \gamma \vec k'\) — эффективная индукция магнитного поля.
Чему равна новая частота прецессии \(\Delta\), выраженная через \(\omega_0\) и \(\omega\), для \(\vec B=B_0\vec k\)?
Теперь рассмотрим случай магнитного поля, изменяющегося со временем. Для этого помимо постоянного магнитного поля мы также приложим вращающееся магнитное поле \(\vec b(t)=b(\vec i \cos \omega t+\vec j \sin \omega t)\), так что \(\vec B=B_0\vec k + \vec b(t)\). Покажите, что новая ларморовская частота прецессии магнитного момента равна
\[\Omega= \gamma\sqrt{\left(B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right)^2}+b^2\]
Вместо того, чтобы прикладывать поле \(\vec b(t)=b(\vec i \cos \omega t+\vec j \sin \omega t)\) теперь приложим поле \(\vec b(t)=b(\vec i \cos \omega t-\vec j \sin \omega t)\) которое вращается в противоположном направлении. В этом случае
\[\vec B=B_0\vec k+b(\vec i \cos \omega t-\vec j \sin \omega t)\] Чему теперь равно эффективное магнитное поле \(\vec B_{eff}\) (выраженное через единичные вектора \(\vec i', \vec j', \vec k')\)? Чему равно среднее по времени поле \(\overline{\vec B_{eff}}\), (вспомните, что \(\overline{\cos2\pi t/T}=\overline{\sin2\pi t/T}=0\)?
Часть C. Осцилляции Раби
Для ансамбля из \(N\) частиц, находящегося под действием сильного магнитного поля, спин может иметь два квантовых состояния: «вверх» и «вниз». Следовательно, полная заселенность состояний «спин вверх» \(N_{\uparrow}\) и «спин вниз» \(N_{\downarrow}\) описывается уравнением \[N_{\uparrow} +N_{\downarrow} = N\]Разность заселенностей состояний «спин вверх» и «спин вниз» приводит к макроскопическому намагничиванию вдоль оси: \[M=(N_{\uparrow} -N_{\downarrow})\mu=N\mu_z\]В реальном эксперименте обычно используются два магнитных поля: сильное смещающее магнитное поле \(B_0\vec k\) и поле, колеблющееся с амплитудой \(2b\) и перпендикулярное смещающему полю (\(b\ll B_0\)). Изначально прилагается только сильное смещающее поле, вынуждающее все частицы перейти в состояние «спин вверх» (при \(t = 0\) вектор \(\mu\) ориентирован в направлении \(z\)). Затем включается поле, колеблющееся с частотой ларморовской прецессии \(\omega_0\), т.е. \(\omega=\omega_0\). Другими словами, после момента времени \(t = 0\) суммарное поле описывается уравнением \[\vec B(t)= B_0\vec k + 2b\vec i \cos \omega t\]
Покажите, что во вращающейся системе координат \(S'\) эффективное поле может быть аппроксимировано как \[\vec B_{eff} \approx b\vec i'\] что известно как аппроксимация вращающейся волной. Чему равна частота прецессии \(\Omega\) в системе координат \(S'\)?
Определите угол \(\alpha\), который вектор \(\vec \mu\) образует с полем \(\vec B_{eff}\). Также докажите, что намагниченность изменяется со временем как \[M(t)= N\mu(\cos \Omega t)\]
При воздействии магнитного поля, описанного выше, определите относительную заселенность состояний «спин вверх» \(P _{\uparrow}=N_{\uparrow}/N\) и «спин вниз» \(P _{\downarrow}=N_{\downarrow}/N\) как функции времени. Нанесите на один график \(P _{\uparrow}\) и \(P _{\downarrow}\) в зависимости от времени \(t\). Изменяющаяся со временем заселенность состояний «спин вверх» и «спин вниз» называется осцилляциями Раби.
Часть D. Несовместимость измерений
Спин является векторной величиной. Из-за его квантовых свойств мы не можем измерить все его компоненты одновременно (т.е. мы можем знать \(|\vec \mu|\) и \(\mu_z\), как в случаях, приведенных выше; но не можем знать одновременно \(|\vec \mu|\), \(\mu_x\), \(\mu_y\) и \(\mu_z\)). В данной задаче мы произведем вычисления на основе принципа неопределенности Гейзенберга (используя соотношение \(\Delta p_q \Delta q\ge \hbar\)) для того, чтобы показать, как эти измерения несовместимы друг с другом.
Рассмотрим горячий тигель — источник атомов серебра, имеющий небольшое отверстие. Атомы вылетают из отверстия вдоль направления «\(-y\)» (см. рисунок внизу) и попадают в неоднородное в пространстве поле \(\vec B_1\). Поле \(\vec B_1\) имеет сильную компоненту в направлении оси \(z\). В нем атомы с различными магнитными моментами \(\mu_z=\pm\gamma\hbar\) расщепляются вдоль направления \(z\). На расстоянии \(D\) от тигля расположен экран \(SC_1\), который пропускает только атомы со спином вверх (не пропускаются атомы со спином вниз). Поэтому сразу за экраном атомы имеют спин, направленный вверх. За экраном атомы входят в область неоднородного поля \(\vec B_2\), где на них действует сила \[F_x=\mu_x C\]Поле \(\vec B_2\) имеет сильную компоненту в направлении оси \(x\), вдоль которой атомы имеют магнитные моменты \(\mu_x=\pm\gamma \hbar\).
Покажите, что для того, чтобы определить \(\mu_x\), наблюдая расщепление в направлении оси \(x\), должно выполняться следующее условие: \[\frac{1}{\hbar}|\mu_x|\Delta x C t\gg 1\] где \(t\) — время после прохождения экрана \(SC_1\) и \(\Delta x\) — расхождение пучков на экране \(SC_1\) .
Сразу после экрана атомы имеют спины, направленные вверх, где \(\mu_z=\gamma\hbar =|\mu_x|\). Это означает, что атомы будут прецессировать с угловыми частотами, покрывающими диапазон значений \(\Delta \omega\) по отношению к компоненте \(x\) поля \(\vec B_2\), конкретно \(B_{2x}= B_0+Cx\). Докажите, что разброс угла прецессии \(\Delta \omega t\) велик и мы не можем измерять одновременно \(\mu_x\) и \(\mu_z\). Другими словами, измерение \(\mu_x\) разрушает информацию о \(\mu_z\).
▶ОтветСкрыть
\[\omega_0=\dot\theta=\gamma B_0\]; \[\vec \Delta=(\omega_0-\omega)\vec k',\quad\Delta=\gamma B_0-\omega\]; \[=\left(B_0-\frac\omega\gamma\right)+b(\vec i'\cos2\omega t-\vec j'\sin\omega t),\] \[\left\langle\vec B_{eff}\right\rangle=\left(B_0-\frac\omega\gamma\right)\vec k'\]; \[\Omega=\gamma b\]; \[\operatorname{tg}\alpha=\frac b{B_0-\omega/\gamma}.\]; \[P_\downarrow=\sin^2\frac{\Omega t}2,\quad P_\uparrow=\cos^2\frac{\Omega t}2\]
▶РешениеСкрыть
Комбинируем выражения из условия:\[\dot{\vec\mu}=-\gamma[\vec\mu,\vec B].\]Умножив на \(\vec \mu\), получим:\[(\vec \mu,\dot{\vec\mu})=-\gamma(\vec\mu,[\vec\mu,\vec B])\implies\mathrm d\mu^2/\mathrm dt=0\implies\mu=\operatorname{const}.\]Умножив на \(\vec B\), получим:\[(\vec B,\dot{\vec\mu})=-\gamma(\vec B,[\vec\mu,\vec B])\implies(\vec B,\dot{\vec\mu})=0\implies(\vec B,\vec\mu)=\operatorname{const}.\]
Спроецируем уравнение\[\dot{\vec\mu}=-\gamma[\vec\mu,\vec B]\]на плоскость, перпендикулярную магнитному полю. Получим:\[\mu\sin\phi\dot\theta=\gamma\mu B_0\sin\phi\implies\]
Ответ:
\[\omega_0=\dot\theta=\gamma B_0\]
Используя соотношение из условия:\[\left(\frac{\mathrm d\vec\mu}{\mathrm dt}\right)_{rot}=\left(\frac{\mathrm d\vec\mu}{\mathrm dt}\right)_{lab}-[\vec\omega,\vec\mu]=-\gamma[\vec\mu,\vec B]-\omega[\vec k',\vec \mu]=-\gamma\left[\vec\mu,\left(\vec B-\frac\omega\gamma\vec k'\right)\right]=-\gamma[\vec\mu,\vec B_{eff}].\]
Новая частота прецессии во вращающейся системе отсчёта \(S'\) равна:
Ответ:
\[\vec \Delta=(\omega_0-\omega)\vec k',\quad\Delta=\gamma B_0-\omega\]
Поскольку во вращающейся системе отсчёта магнитное поле \(\vec B=B_0\vec k'+b\vec i'\), то\[\vec B_{eff}=\vec B-\frac\omega\gamma\vec k'=\left(B_0-\frac\omega\gamma\right)\vec k'+b\vec i',\]поэтому\[\Omega=\gamma B_{eff}=\gamma\sqrt{\left(B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right)^2}+b^2.\]
В этом случае эффективное магнитное поле\[\vec B_{eff}=\vec B-\frac\omega\gamma\vec k'=\]
Ответ:
\[=\left(B_0-\frac\omega\gamma\right)+b(\vec i'\cos2\omega t-\vec j'\sin\omega t),\]
что усредняется по времени в выражение
Ответ:
\[\left\langle\vec B_{eff}\right\rangle=\left(B_0-\frac\omega\gamma\right)\vec k'\]
Колеблющееся поля можно рассматривать как суперпозицию двух вращающихся полей:\[2b\vec i\cos\omega_0 t=b(\vec i\cos\omega_0t+\vec j\sin\omega_0t)+b(\vec i\cos\omega_0t-\vec j\sin\omega_0t),\]поэтому эффективное поле будет равно (\(\omega=\omega_0=\gamma B_0\))\[\vec B_{eff}=\left(B_0-\frac\omega\gamma\right)\vec k'+b\vec i'+b(\vec i'\cos2\omega_0t-\vec j'\sin2\omega_0t).\]Поскольку \(\omega_0\gg\gamma b\), последний член осциллирует очень быстро, намного быстрее \(\gamma b\). Таким образом, можно приближённо записать\[\vec B_{eff}\approx\left(B_0-\frac\omega\gamma\right)\vec k'+b\vec i'=b\vec i',\]поэтому магнитный момент прецессирует с частотой
Ответ:
\[\Omega=\gamma b\]
Поскольку угол \(\alpha\) между \(\vec\mu\) и \(\vec B_{eff}\) остаётся постоянным, а \(\vec\mu\) исходно направлен вдоль оси \(z\), то угол между \(\vec B_{eff}\) и осью \(z\) также равен \(\alpha\), поэтому
Ответ:
\[\operatorname{tg}\alpha=\frac b{B_0-\omega/\gamma}.\]
Из геометрии системы находим (\(\cos\theta=\mu_z/\mu\)):
\[2 \mu \sin \frac{\theta}{2} =2 \mu \sin \alpha \sin \frac{\Omega t}{2}, \\ \sin ^2 \frac{\theta}{2} =\sin ^2 \alpha \sin ^2 \frac{\Omega t}{2}, \\ \frac{1-\cos \theta}{2} =\sin ^2 \alpha \frac{1-\cos \Omega t}{2}, \\ \cos \theta =1-\sin ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha \cos \Omega t, \\ \cos \theta =\cos ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha \cos \Omega t .\]
Проекция магнитного момента на ось \(z\) равна \(\mu_z(t)=\mu\cos\theta\), поэтому намагниченность\[M=N \mu_2=N \mu\left(\cos ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha \cos \Omega t\right) .\]Стоит отметить, что намагниченность не зависит от системы отсчёта, поскольку величина \(\mu_z\) одинакова в \(S\) и \(S'\). Поскольку \(\omega=\omega_0=\gamma B_0\), \(\alpha=90^\circ\) и \(M=N\mu\cos\Omega t\).
Из соотношений\[P_{\uparrow}-P_{\downarrow}=\frac{\mu_z}{\mu}=\cos \theta, \quad P_{\uparrow}+P_{\downarrow}=1,\]получим (\(\omega=\omega_0\)):\[P_{\downarrow} =\frac{1-\cos \theta}{2} =\frac{1-\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \alpha \cos \Omega t}{2} =\sin ^2 \alpha \frac{1-\cos \Omega t}{2} =\frac{b^2}{\left(B_0-\frac{\omega}{\gamma}\right)^2+b^2} \sin ^2 \frac{\Omega t}{2} =\sin ^2 \frac{\Omega t}{2}, \\ \text{и}\quad P_{\uparrow}= \frac{b^2}{\left(B_0-\frac{\omega}{\gamma}\right)^2+b^2} \cos ^2 \frac{\Omega t}{2}=\cos ^2 \frac{\Omega t}{2} .\]
Ответ:
\[P_\downarrow=\sin^2\frac{\Omega t}2,\quad P_\uparrow=\cos^2\frac{\Omega t}2\]
Ответ:
Вдоль оси \(x\) из-за ширины щели возникнет неопределённость \(\Delta x\). Согласно принципу неопределённости, это приведёт к неопределённости импульса\[\Delta p_x\approx\frac\hbar{\Delta x}\implies v_x\approx\frac\hbar{m\Delta x}.\]Следовательно, за время полёта атомов \(t\) ширина пучка вырастет на величину\[\delta x=\Delta v_xt\approx\frac\hbar{m\Delta x}t,\]т.е. ширина пучка растёт линейно со временем. Между тем, пучки разделяются за счёт силы \(F_x\) на расстояние\[d_x=2\cdot\frac12\frac{F_x}mt^2=\frac1m|\mu_x|Ct^2.\]Чтобы различить пучки, расстояние между ними должно быть больше ширины, т.е.\[d_x\gg\delta x\implies \frac1m|\mu_x|Ct^2\gg\frac\hbar{m\Delta x}t\implies\frac1\hbar|\mu_x|\Delta xCt\gg1.\]
После пересечения экрана разброс магнитного поля на масштабах ширины пучка будет равен\[\Delta B=\Delta x\frac{\mathrm dB}{\mathrm dx}=C\Delta x.\]Таким образом, разброс угловых частот прецессии\[\Delta\omega=\gamma\Delta B=\frac{\mu_z}\hbar\Delta B=\frac{|\mu_x|}\hbar C\Delta x.\]Если удовлетворяется условие из предыдущего пункта, то\[\Delta\omega\gg1.\]
Перевод: pho.rs.
Источник: Азиатская физическая олимпиада (APhO) 2013, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.