APhO 2014, теоретический тур

На первом рисунке схематично показан процесс циркуляции Хадли, который происходит в тропической части атмосферы Земли во время весеннего равноденствия. В этом процессе воздух поднимается от экватора и двигается по направлению к полюсам, опускаясь в субтропиках на широтах \(\pm \varphi_d\), где положительные и отрицательные знаки соответствуют северному и южному полушариям. В верхних зонах циркуляции (в пределах пунктирной линии) сохраняется момент импульса относительно оси вращения Земли. Заметьте, что на приведенном рисунке масштаб не соблюден.

A1. Получите выражение для скорости ветра \(u_Y\) вблизи точек \(Y\) в направлении восток-запад, полагая, что вблизи точки \(X\) в направлении восток-запад ветер отсутствует. В данной задаче положительный знак для скорости соответствует движению с запада на восток. (Угловая скорость вращения Земли вокруг ее оси равна \(\Omega\), радиус Земли равен \(a\), в то время как толщина атмосферы много меньше \(a\).)

A2. Какая из приведенных ниже фраз правильно объясняет, почему в нижних частях циркуляции Хадли не сохраняется момент импульса? Здесь может быть несколько правильных вариантов. Отметьте их галочками на листе ответов.

I) Из-за трения о поверхность Земли.

II) Из-за турбулентности в нижней части атмосферы, где смешиваются различные слои воздуха.

III) Воздух в нижних слоях атмосферы более плотный, так что благодаря инерции движение вокруг оси Земли замедляется.

IV) В нижних слоях атмосферы воздух более влажен, что вызывает замедление скорости ветра.

Во время зимнего (для северного полушария) солнцестояния, потоки воздуха циркуляции Хадли поднимаются на широте \(\varphi_r\), а опускаются на широтах \(\varphi_n\) и \(\varphi_s\) для северного и южного полушарий соответственно, как показано на рисунке ниже. Обращайтесь к этому рисунку во время решения пунктов A3, A4, и A5.

A3. Получите выражения и вычислите скорость ветра \(u_P\), \(u_Q\) и \(u_R\) в направлении восток-запад в точках \(P\), \(Q\) и \(R\). Для этого считайте, что ветер в направлении восток-запад вблизи точки \(Z\) отсутствует. Широты имеют следующие числовые значения \(\varphi_r = -8^{\circ}\), \(\varphi_n = 28^{\circ}\) и \(\varphi_s = -20^{\circ}\), радиус Земли \(a = 6370\) км. В каком полушарии Земли наблюдаются более сильные атмосферные потоки?

I) В полушарии, где зима

II) В полушарии, где лето

III) Потоки одинаковы по мощности в обоих полушариях.

A4. Поток в части циркуляции Хадли близкой к земной поверхности движется в южном направлении, пересекая экватор. На приведенном ниже рисунке укажите стрелочками направления сил Кориолиса, действующих на поток тропического воздуха к северу и к югу от экватора.

A5. Учитывая ответ из части A4 и тот факт, что потери на трение вблизи поверхности практически компенсируются силой Кориолиса в направлении восток-запад, покажите схематически стрелками структуру ветра (линии потока) в тропиках во время зимнего солнцестояния (для северного полушария).

Предположим, что циркуляция Хадли может быть смоделирована, как тепловая машина показанная на рисунке ниже. Рассмотрим лишь циркуляцию Хадли, проникающую в полушарие, где наблюдается зима. На рисунке ниже, воздушные массы перемещаются от точек \(A\) к \(B\) и от \(D\) к \(E\), подчиняясь адиабатическому закону, в то время как перемещения от \(B\) к \(C\), от \(C\) к \(D\) и от \(E\) к \(A\) изотермические. Воздух нагревается от контакта с земной поверхностью, а также во время конденсации воды в атмосфере, в то время как потери энергии воздушного потока происходят благодаря излучению в верхних частях.

A6. Учитывая, что атмосферное давление по вертикали возникает из-за веса столба воздуха, находящегося сверху, свяжите давления \(p_A\), \(p_B\), \(p_C\), \(p_D\), \(p_E\), в точках \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) системой неравенств. (Считайте, что \(p_A = 1000\) гПа и \(p_D = 225\) гПа, где \(1\) гПа = \(100\) Па).

A7. Пусть \(T_H\) и \(T_C\) - температуры воздуха вблизи поверхности и вверху атмосферы, соответственно. Учитывая, что разница давлений между точками \(A\) и \(E\) равна \(20\) гПа, вычислите температуру \(T_C\), если \(T_H = 300\) K. Используйте факт, что \(\kappa\) – отношение молярной газовой постоянной (\(R\)) к молярной удельной теплоемкости воздуха при постоянном давлении (\(C_p\)), равно \(2/7\).

A8. Вычислите давление \(p_B\).

Продолжая рассматривать циркуляцию Хадли для воздуха в полушарии, где зимнее время года и используя газовую постоянную \(R\), а также выражения, полученные ранее, выполните следующие два пункта:

B1. Запишите выражение для суммарной работы, совершенной одним молем воздуха \(W_{\text{net}}\), пренебрегая потерями на трение о земную поверхность.

B2. Запишите выражение для потерь \(Q_{\text{loss}}\) тепла в верней части атмосферы в пересчете на один моль воздуха.

B3. Каково значение идеального КПД цикла \(\varepsilon_i\) для рассматриваемого (зимнего) случая циркуляции Хадли?

B4. Приведите математические выкладки, показывающие, что в реальности КПД \(\varepsilon\) для рассматриваемой модели циркуляции Хадли всегда меньше \(\varepsilon_i\) для идеального случая.

B5. Какое из утверждений, приведенных ниже, лучшим образом объясняет, почему \(\varepsilon\) меньше идеального значения \(\varepsilon_i\)? Отметьте галочками правильные ответы. Учтите, что правильных ответов может быть несколько.

I) Потому, что мы не учитывали работу, совершенную против сил трения у поверхности.

II) Потому, что конденсация происходит при температуре, которая ниже чем температура источника тепла.

III) Из-за необратимого испарения воды вблизи поверхности.

IV) Формула для идеального КПД применима только в случае, когда нет смены фаз состояния воды.

Двухлучевую дифракцию электронов впервые наблюдали Мерли-Миссироли с Пози в 1974 году и Тономура с сотрудниками в 1989 году. В эксперименте по дифракции электронов точечный источник \(S\) испускает монохроматические электроны, которые сначала проходят через электронную «бипризму», а затем попадают в плоскость наблюдения. Электронная «бипризма» состоит из заземлённой цилиндрической проволочной сетки и очень тонкой проволочки \(F\) в её центре.

Пусть \(l\) — расстояние между проволочкой \(F\) и источником \(S\); \(d\) — расстояние между мнимыми источниками \(S_1\) и \(S_2\); \(L\) — расстояние между проволочкой \(F\) и плоскостью наблюдения (экраном).

Пусть начало координат \(O\) находится на оси проволочки. Получите выражение для потенциала в произвольной точке плоскости \((x, z)\), выразив его через \(V_a\), \(a\) и \(b\), где \(V_a\) — потенциал поверхности проволочки, \(a\) — радиус проволочки, \(b\) — радиус цилиндрической сетки.

Плоская волна приходящих электронов с волновым вектором \(k_z\) отклоняется «бипризмой» вследствие \(x\)-компоненты силы, действующей на электроны. Запишите выражение для \(k_x-x\) — компоненты волнового вектора отклонённой волны. Выразите \(k_x\) через \(e, v_z, V_a, k_z, a\) и \(b\), где \(e\) и \(v_z\) — заряд и \(z\)-компонента скорости электронов \((k_x\ll k_z)\). Напомним, что \(\vec k =\frac{2\pi\vec p}{h}\) где \(h\) — постоянная Планка.

На пути к точке \(S\) электроны испускаются источником и ускоряются разностью потенциалов \(V_0\). Определите длину волны электрона, выразив её через его массу \(m\), заряд \(e_0\) и \(V_0\).

пренебрегая релятивистскими эффектами;

учитывая релятивистские эффекты.

В эксперименте Тономуры с сотрудниками

\(v_z=c/2\),

\(V_a=10~В\),

\(V_0=50~кВ\),

\(a=0.5~мкм\),

\(b=5~мм\),

\(l=25~см\),

\(L=1.5~м\),

\(h=6.6\times 10^{-34}~Дж \cdot с\),

заряд электрона \(-e_0=-1.6\times 10^{-19}~Кл\),

масса электрона, \(m=9.1\times 10^{-31}~кг\),

скорость света в вакууме \(c=3\times 10^8~м/с\).

вычислите величину \(k_x\).

определите расстояние между интерференционными полосами на экране.

Увеличится или уменьшится расстояние между интерференционными полосами, если распространяющаяся волна будет не плоской, а сферической?

Какую относительную погрешность в определении длины волны даёт использование нерелятивистского приближения в части (c)? Выразите ответ в процентах.

Вычислите расстояние \(d\) между мнимыми источниками.

Гравитационным линзированием называется явление, в котором вследствие кривизны пространства-времени свет, распространяющийся от удаленного источника, может отклоняться массивным линзирующим объектом, расположенным на прямой между удаленным объектом и наблюдателем или близко к этой прямой. Это явление впервые наблюдалось во время солнечного затмения в 1919 году, когда было обнаружено, что наблюдаемое положение звезд, находящихся за Солнцем, отличается от их астрономических положений. Ранее это было предсказано Эйнштейном.

В случае, когда наблюдатель, линзирующий объект массы \(M\), и источник находятся на одной прямой, свет источника отклоняется на угол \(\alpha\) (в радианах) согласно формуле

\[\alpha= \frac{4GM}{r_E c^2}\]где \(G\) – гравитационная постоянная \((6.67 \times 10^{-11}Nm^2kg^{-2})\), \(c\) — скорость света \((3.00\times10^{-8}ms^{-1})\), \(r_E\) — эйнштейновский радиус — наименьшее расстояние между линзирующим объектом и траекторией луча света.

Схематично изобразите идеальную линзирующую систему (наблюдатель, линза и источник находятся на одной прямой). Покажите ход луча и укажите на схеме \(\alpha\) и \(r_E\). Также укажите угловой эйнштейновский радиус \(\theta_E\) (угловое отклонение изображения источника при его наблюдении с Земли), а также другие величины, которые может измерить наблюдатель, находящийся на Земле.

Схематично покажите изображение источника (например, звезды), как это видно наблюдателю, находящемуся на Земле в случае, когда наблюдатель, линза и источник находятся на одной прямой.

Схематично покажите изображение источника (например, звезды), как это видно наблюдателю, находящемуся на Земле в случае, когда наблюдатель, линза и источник находятся не на одной прямой. На эскизе изобразите источник и линзирующую систему, чтобы пояснить, почему это так.

Гравитационное линзирование было предложено в качестве метода обнаружения массивных компактных объектов в нашей галактике, которые могут быть кандидатами на темную материю. Обычно этими объектами являются остатки потухших звезд, такие как нейтронные звезды и черные дыры. Так как звезды и данные объекты движутся по орбитам в пределах галактики, существует вероятность того, что линзирующий объект может образоваться если нейтронная звезда или черная дыра находится на линии наблюдения перед далеко расположенной звездой.

Радиусом Шварцшильда черной дыры определяет точку невозврата. Выражение для радиуса Шварцшильда может быть получено если его считать радиусом для которого вторая космическая скорость равна скорости света. Это означает, что ничто, находящееся внутри радиуса Шварцшильда не может покинуть черную дыру.

Используя механику Ньютона, выведите формулу для второй космической скорости (скорости ухода от точечной массы \(M\) с расстояния \(r\)). Из этого выведите выражение для радиуса Шварцшильда для точечного объекта массой \(M\). Выразите его через гравитационную постоянную \(G\) и скорость света \(c\). Четко укажите последовательность ваших действий (при этом получается точное выражение для радиуса Шварцшильда, как это следует из общей теории относительности).

В случае, когда источник, «линза» и наблюдатель находятся на одной прямой, и измерены значения \(\alpha\) и \(r_E\), получите выражение для радиуса Шварцшильда линзирующего объекта.

Рассмотрим случай, когда масса линзирующего объекта равна нескольким массам Солнца (\(M\sim 10^{30}~кг\)) и объект находится в пределах нашей галактики (расстояние до него \(D_L \sim 10^{18}~м\)), а источник находится немного подальше (\(D_S \sim\) несколько \(D_L\)). Какое из приведенных ниже утверждений верно? Выберите условия, которые подходят для случая, описанного выше:

Используя условия, полученные в пункте (f), перепишите полученное вами выражение из пункта (e), выразив его через измеряемые величины (\(\theta_E, D_S, D_L\)) для линзирующего объекта массой \(M \sim 10^{30}~кг\); расстояние до объекта \(D_L \sim 10^{18}~м\); расстояние до источника \(D_S\) (\(D_S \sim\) несколько \(D_L\)). Приведите последовательность ваших выкладок.

Предположим, что линзирующий объект массой \(6.0\times 10^{30}~кг\) (3.0 массы Солнца), находящийся на расстоянии \(2.6\times 10^{18}~м\) от Земли, проходит перед звездой, находящейся на расстоянии \(9.2 \times 10^{18}~м\) от Земли. Чему равен радиус \(\theta_E\) (с точки зрения земного наблюдателя), когда источник, линзирующий объект и наблюдатель находятся на одной прямой.

Источник: Азиатская физическая олимпиада (APhO) 2014, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.