зад 1 Механика деформируемой структуры
В этой задаче мы исследуем деформируемую структуру в поле тяжести. Структуру можно считать физическим маятником, у которого только одна степень свободы (т.е. существует только один способ деформировать его, и его положение полностью определяется углом \(\alpha\)). Джеймс Максвелл исследовал подобные структуры в XIX веке, а недавно было открыто их необычное поведение.
На рисунке 1 показаны \(N^2\) одинаковых равносторонних треугольных пластинок (красные треугольники), которые шарнирно соединены друг с другом одинаковыми стержнями. Таким образом, система представляет собой решетку размером \(N \times N\) (\(N > 1\)). Шарниры в вершинах треугольников обозначены маленькими кружками. Длина стороны треугольника равна длине стержня и равна \(l\).
Пунктирными линиями обозначены четыре трубки. Вдоль каждой из трубок могут скользить \(N\) вершин (серые кружки), т.е. трубку можно рассматривать, как направляющий стержень. Четыре трубки шарнирно соединены в ромб так, что его углы зафиксированы: два из них \(60^{\circ}\), а два других – \(120^{\circ}\) (см. Рис. 1).
Все пластинки однородны, и масса каждой из них равна \(M\). Остальные части системы невесомы. Положение системы однозначно определяется углом \(\alpha\), где \(0 ^{\circ} \leq \alpha \leq 60 ^{\circ}\). На рисунке 1 приведены примеры положений для различных углов \(\alpha\).
Система расположена вертикально (как занавес), а верхняя трубка может двигаться только в горизонтальном направлении.
Система координат приведена на рисунке 2. Нулевой уровень потенциальной энергии выбран при \(y = 0\). Треугольная пластинка обозначается парой индексов (\(m\), \(n\)), где \(m\), \(n\) = 0, 1, 2, ... , \(N\) - 1, что задает их нумерацию в направлениях \(x\) и \(y\) соответственно. \(A\)(\(m\), \(n\)), \(B\)(\(m\), \(n\)) и \(C\)(\(m\), \(n\)) обозначают положения трех вершин треугольника (\(m\), \(n\)). Верхняя левая вершина \(A\)(0, 0) неподвижна.
Движение системы происходит только в плоскости \(x y\) . Момент инерции однородной равносторонней треугольной пластинки относительно ее центра масс равен \(I = M l^2 / 12\). Ускорение свободного падения – \(g\).
Для кинетической и потенциальной энергии используйте обозначения \(E_k\) и \(E_p\) соответственно.
Часть A (4 балла)
Рассмотрите случай \(N = 2\) (см. Рис. 3).
A1. Чему равна потенциальная энергия системы \(E_p\) для произвольного угла \(\alpha\) при \(N = 2\)?
A2. Чему равен угол \(\alpha\), при котором система находится в равновесии в поле тяжести (при \(N = 2\))?
A3. Система может совершать малые гармонические колебания вблизи положения равновесия. Рассчитайте кинетическую энергию этой системы. Рассчитайте частоту малых колебаний \(f_E\) при \(N = 2\).
Часть B (3 балла)
Рассмотрите систему при произвольном \(N\).
B1. Чему равен угол \(\alpha'_E\), при котором система находится в равновесии в поле тяжести (при произвольном \(N\))?
B2. Рассмотрите случай \(N \to \infty\). При небольшом изменении угла \(\alpha\) изменение потенциальной энергии системы может быть представлено как \(\Delta E_p \propto N^{\gamma_1}\), кинетическая энергия системы – \(E_k \propto N^{\gamma_2}\) и частота малых колебаний – \(f'_E \propto N^{\gamma_3}\). Найдите значения \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) и \(\gamma_3\).
Часть C (3 балла)
Систему удерживают в положении с \(\alpha_m = 60^{\circ}\). Для этого на одну из \(3 N^2\) вершин действуют некоторой силой.
C1. Какую вершину нужно выбрать, чтобы эта сила была минимальной?
C2. Чему равен модуль этой минимальной силы, и каково ее направление? Укажите это направление с помощью угла \(\theta_F\), который определен так, как показано на рисунке 4.
▶РешениеСкрыть
зад 2 Расширяющаяся Вселенная
Самый выдающийся факт в космологии состоит в том, что Вселенная расширяется. Пространство непрерывно создается. Расширение пространства означает, что при расширении Вселенной расстояние между объектами увеличивается. Удобно пользоваться т.н. «расширяющейся» системой координат \(\vec{r}=(x, y, z)\) в которой расстояние
\[\Delta r= | {\vec r_2} - \vec r_1|= \sqrt{{(x_2-x_1})^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2}\] между объектами \(1\) и \(2\) не изменяется. (Мы полагаем, что объекты не участвуют в других движениях, помимо движения, связанного с расширением Вселенной). Сказанное проиллюстрировано на рисунках внизу (изображения, разумеется, двухмерные, хотя Вселенная имеет три измерения).
Расширение пространства
Современная космологическая теория базируется на общей теории относительности Эйнштейна. Однако, при соответствующих допущениях, также возможно упрощенное рассмотрение на основе Ньютоновской теории гравитации. В последующих заданиях мы будем работать в рамках Ньютоновской теории.
Для измерения физического (реального) расстояния введем «масштабный коэффициент» \(a(t)\) так, чтобы физическое расстояние \(\Delta r_{р}\) между точками \(\vec r_1\) и \(\vec r_2\) составляло: \[\Delta r_{\mathrm{p}}=a(t) \Delta r\]Расширение Вселенной подразумевает, что \(a(t)\) есть возрастающая функция времени.
На больших масштабах — гораздо больших, чем галактики и их скопления — наша Вселенная является примерно однородной и изотропной. Поэтому рассмотрим «игрушечную» модель Вселенной, в которой Вселенная заполнена однородно распределенными частицами. Частиц так много, что мы можем считать их сплошной средой. Также предположим, что число частиц не изменяется.
В настоящее время во Вселенной преобладает нерелятивистское вещество, кинетическая энергия которого пренебрежимо мала по сравнению с энергией его массы. Обозначим за \(\rho_{\mathrm{m}}(t)\) физическую плотность энергии (т.е. энергию в единице физического объема) в момент времени \(t\), в которой преобладает энергия массы нерелятивистского вещества, а гравитационная потенциальная энергия, как часть «плотности физической энергии» не учитывается. Обозначим за \(t_0\) текущее время.
Получите выражение для \(\rho_{\mathrm{m}}(t)\) в момент времени \(t\), выразив ее через \(a(t), a(t_0)\) и \(\rho_{\mathrm{m}}(t_0)\).
Помимо нерелятивистского вещества, во Вселенной также присутствует небольшое количество излучения, которое состоит из частиц с нулевыми массами, например, фотонов. Физическая длина волны частиц с нулевыми массами растет по мере расширения Вселенной как \(\lambda_p \propto a(t)\). Пусть физическая плотность энергии излучения будет \(\rho_r (t)\).
Получите выражение для плотности физической энергии излучения \(\rho_r (t)\) в момент времени \(t\), выразив ее через \(a(t), a\left(t_0\right)\) и \(\rho_{\mathrm{r}}\left(t_0\right)\).
Рассмотрим газ, состоящий из невзаимодействующих фотонов, находящийся в состоянии термодинамического равновесия. В этом случае температура фотонов зависит от времени как \(T(t)\propto [a(t)]^\gamma\).
Вычислите численное значение \(\gamma\).
Рассмотрим термодинамику невзаимодействующих частиц одного типа \(X\). Считайте расширение пространства достаточно медленным и термически изолированным, так, что энтропия \(X\) не изменяется со временем. Пусть физическая плотность энергии частиц \(X\) будет \(\rho_X(t)\). Она включает энергию массы и внутреннюю энергию. Пусть физическое давление будет \(p_X(t)\).
Получите выражение для \(d\rho_X(t)/dt\), выразив его через \(a(t)\), \(da(t)/dt\), \(\rho_X(t)\), \(p_X(t)\).
Рассмотрим звезду \(S\). В настоящее время \(t_0\) звезда находится от нас на физическом расстоянии \(r_р = a(t_0)r\), где \(r\) — координата в расширяющейся системе координат. Мы не учитываем дополнительного движения, т.е. считаем, что как звезда, так и наблюдатель следуют расширению Вселенной без дополнительного движения.
Звезда испускает энергию в виде света с мощностью \(P_e\), которая изотропна по всем направлениям. Для наблюдения звезды используем телескоп. Для простоты предположим, что телескоп воспринимает свет всех частот с к.п.д. \(100\%\). Площадь линзы телескопа равна \(A\).
Получите выражение для мощности \(P_r\), получаемой телескопом от звезды \(S\) как функцию \(r,A,P_e\) масштабного коэффициента \(a(t_e)\) в момент испускания света звездой \(t_e\), и масштабный коэффициент в настоящее время \(t\) (т.е. во время наблюдения) \(a(t_0)\).
В отсутствие гравитации скорость расширения вселенной должна быть постоянной. В рамках Ньютоновской теории это следует понимать так, что в отсутствие силы частицы вещества удаляются друг от друга с постоянной скоростью, и поэтому \(\frac{da(t)}{dt}\) является постоянной, зависящей от начальных условий.
Теперь рассмотрим, как Ньютоновская гравитация влияет на масштабный коэффициент \(a(t)\) во Вселенной, заполненной нерелятивистским однородным и изотропным веществом.
Как показано на рисунке выше, предположим, что \(\mathrm C\) является центром нашей Вселенной (данное предположение может быть снято в общей теории относительности Эйнштейна, которая находится за пределами нашего рассмотрения). Разобьем вещество на тонкие оболочки вокруг \(\mathrm C\). Рассмотрим одну из таких оболочек (сфера на рисунке выше). Расстояние от этой оболочки до центра в «расширяющейся» системе координат равно \(r\) (помните, что это расстояние не зависит от времени).
Используйте движение оболочки для нахождения соотношения между \(da(t)/dt\), \(a(t)\) и плотностью энергии массы \(\rho(t)\). (Если Вы получите в окончательном выражении постоянную, зависящую от начальных условий, можете не вычислять ее).
На основе модели, описанной в разделе (F), сделайте вывод, ускоряется (a) или замедляется (b) расширение Вселенной? Выберите (a) или (b).
К сведению, в \(1998\) году открыт новый вид энергии в нашей Вселенной. Это открытие существенно изменяет вывод, полученный в разделе (G).
зад 3 Действие магнитного поля на сверхпроводники
Электрон – элементарная частица, у которой есть электрический заряд и внутренний магнитный момент, связанный с ее спином (моментом импульса). Из-за кулоновского взаимодействия электроны в вакууме отталкиваются. Однако, в некоторых металлах суммарная сила, действующая на электроны, может стать силой притяжения из-за колебаний решетки. Когда температура металла достаточно низкая (ниже некоторой критической температуры \(T_c\)), электроны с противоположными импульсами и противоположными спинами могу образовывать куперовские пары. Образуя куперовскую пару, каждый из электронов уменьшает свою энергию на величину \(\Delta\) по сравнению с электроном, свободно движущемся в металле. Энергия свободно движущегося электрона равна \(p^2/2m_e\), где \(p\) – импульс электрона, а \(m_e\) – его масса. Куперовские пары могут перемещаться без сопротивления, и металл при этом становится сверхпроводником.
Однако, даже при температурах ниже \(T_c\) сверхпроводимость можно разрушить, если к сверхпроводнику приложить внешнее магнитное поле. В этой задаче мы исследуем разрушение куперовских пар посредством двух эффектов.
Первый эффект – парамагнитный. В нем электроны вместо создания куперовской пары с противоположными спинами, уменьшают свою энергию, выстраивая свой магнитный момент параллельно магнитному полю.
Второй эффект – диамагнитный. В нем магнитное поле изменяет орбитальное движение куперовских пар и увеличивает их энергию. Когда приложенное магнитное поле превысит некоторое критическое значение \(B_c\), увеличение энергии становится больше чем \(2 \Delta\). В результате, электронам становится невыгодно образовывать куперовские пары.
Недавно был открыт новый тип сверхпроводников – сверхпроводники Изинга. Они не утрачивают свойство сверхпроводимости даже когда к ним приложено поле в 60 Тесла. А это сравнимо с максимальной силой полей, которые создаются сегодня в лабораториях. Мы исследуем, как сверхпроводники Изинга могут преодолеть парамагнитный и диамагнитный эффекты.
Часть А. Электрон в магнитном поле
Рассмотрим виток радиуса \(r\), полный заряд которого \(-e\), а масса – \(m\). Масса и заряд распределены по витку равномерно (рис. 1).
A1. Чему равен момент импульса \(\vec{L}\) этого витка (величина и направление), если он вращается с угловой скоростью \(\vec{\omega}\)?
A2. Величина магнитного момента определяется как \(|\vec{M}| = I A\), где \(I\) – это ток, а \(A\) – площадь витка. Найдите соотношение между магнитным моментом \(\vec{M}\) и моментом импульса \(\vec{L}\) витка.
Пусть \(\vec{n}\) – нормаль к витку, и она составляет угол \(\theta\) с приложенным магнитным полем (рис. 2).
A3. Рассмотрим кольцо, описанное в пункте А1, помещенное в однородное магнитное поле индукцией \(B_z\), которое направлено вдоль оси \(z\). Чему равна потенциальная энергия такой системы? Потенциальная энергия равна нулю при \(\theta = \pi/2\).
A4. У электрона есть собственный момент импульса (спин). Его величина в определенном направлении равна \(\hbar/2\), где \(\hbar = h/2\pi\), а \(h\) – постоянная Планка. \newline
Электроны помещены в магнитное поле. Чему равна потенциальная энергия электронов \(U_{\text{up}}\) и \(U_{\text{down}}\), чьи спины параллельны полю и антипараллельны, соответственно. Выразите свой ответ через магнетон Бора
\[\mu_B = \frac{e \hbar}{2 m_e} = 5.788 \cdot 10^{-5} \text{эВ}\cdot\text{Т}^{-1}\]и индукцию поля \(B\).
A5. Из квантовой механики известно, что потенциальные энергии \(\tilde{U}_{\text{up}}\) и \(\tilde{U}_{\text{down}}\) в два раза больше значений \(U_{\text{up}}\) и \(U_{\text{down}}\), найденных в пункте А4. Пусть приложено магнитное поле индукцией 1 Тесла. Чему тогда равны потенциальные энергии электрона \(\tilde{U}_{\text{up}}\) и \(\tilde{U}_{\text{down}}\), чей спин параллелен и антипараллелен приложенному полю соответственно? В дальнейшем в задаче используйте в своих вычислениях выражения для \(\tilde{U}_{\text{up}}\) и \(\tilde{U}_{\text{down}}\).
Часть B. Парамагнитный эффект магнитного поля на куперовские пары
В этой части задачи мы исследуем парамагнитный эффект приложенного внешнего магнитного поля на куперовские пары (рис. 3).
Теоретические расчеты показывают, что в сверхпроводниках два электрона могут образовывать куперовскую пару, при этом общая энергия системы уменьшается. Энергия куперовской пары может быть записана как
\[\frac{p_1^2}{2m_e} + \frac{p_2^2}{2 m_e} - 2 \Delta,\]где первые два члена соответствуют кинетической энергии куперовской пары, а последний – уменьшению энергии из-за создания куперовской пары. Здесь \(\Delta\) – положительная постоянная.
B1. Считайте, что магнитное поле действует только на спин электронов, а не на их орбитальное движение. Чему равна энергия \(E_S\) куперовской пары, помещенной в однородное магнитное поле \(\vec{B} = (B_x, 0, 0)\)? Напомним, что у электронов, образующих куперовскую пару, противоположные спины.
B2. В нормальном (не сверхпроводящем) состоянии электроны не образуют куперовские пары. Поле \(\vec{B} = (B_x, 0, 0)\) однородно и направлено вдоль плоскости в направлении оси \(x\). Чему равна минимальная энергия двух электронов \(E_N\) в этом поле? Используйте в своих вычислениях \(\tilde{U}_{\text{up}}\) и \(\tilde{U}_{\text{down}}\) из пункта A5. Действием магнитного поля на орбитальное движение электронов можно пренебречь.
B3. Когда температура равна нулю, система займет состояние с минимальной энергией. Сверхпроводимость исчезает, если индукция поля превысит критическое значение \(B_P\) (т.е. при \(|\vec{B}| > B_P\)). Чему равно это критическое значение \(B_P\)? Выразите ответ через \(\Delta\).
Часть С. Диамагнитный эффект магнитного поля на куперовские пары
В этой части задачи можно пренебречь действием магнитного поля на спины электронов. Мы рассмотрим действие внешнего магнитного поля на орбитальное движение куперовских пар.
Когда температура равна нулю, а сверхпроводник находится в магнитном поле \(\vec{B} = (0,0,B_z)\), то разность энергий между сверхпроводящим состоянием и нормальным состоянием может быть записана
\[F = \int_{-\infty}^{\infty} \psi \left( - \alpha \psi - \frac{\hbar^2}{4 m_e} \frac{d^2 \psi}{dx^2} + \frac{e^2 B_z^2 x^2}{m_e} \psi \right) dx\]
Здесь \(\psi(x)\) — функция, зависящая от \(x\) и не зависящая от \(y\). \(\psi(x)^2\) задает вероятность найти куперовскую пару вблизи положения \(x\). Здесь \(\alpha\) – постоянная, и она связана с уменьшением энергии при образовании куперовской пары. Второй и третий члены в \(F\) связаны с кинетической энергией куперовской пары, учитывая действие магнитного поля. Когда температура равна нулю, система минимизирует свою энергию \(F\). В этом случае функция \(\psi(x)\) может быть записана в виде
\[\psi(x) = \left( \frac{2\lambda}{\pi} \right)^{1/4} e^{-\lambda x^2},\]где \(\lambda > 0\).
C1. Найдите \(\lambda\) и выразите ответ через \(e\), \(B_z\) и \(\hbar\).
Примечание:
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{- a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}},\]
\[\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{- a x^2} dx = \frac{1}{2 a} \sqrt{\frac{\pi}{a}},\]
где \(a\) – постоянная.
C2. Найдите критическое значение индукции поля \(B_z\), когда сверхпроводящее состояние перестает быть энергетически выгодным. Выразите ответ через \(\alpha\).
Часть D. Сверхпроводники Изинга
В веществах со спин-орбитальным взаимодействием (спин-спиновым взаимодействием можно пренебречь) на электрон, обладающий импульсом \(\vec{p}\), действует внутреннее магнитное поле \(B_{1\perp} = (0,0,-B_z)\). С другой стороны, на электрон, обладающий импульсом \(-\vec{p}\), действует противоположно направленное магнитное поле \(B_{2\perp} = (0, 0, B_z)\). Эти внутренние магнитные поля действуют только на спины электронов (рис. 4). Такие сверхпроводники называются сверхпроводниками Изинга.
Рис. 4: Два электрона образуют куперовскую пару. На электрон 1, обладающий импульсом \(\vec{p}\), действует магнитное поле \(B_{1\perp} = (0,0,-B_z)\), а на электрон 2, обладающий импульсом \(-\vec{p}\), действует противоположно направленное магнитное поле \(B_{2\perp} = (0, 0, B_z)\). Внутренние магнитные поля обозначены штриховыми стрелками
D1. Чему равна энергия \(E_I\) куперовской пары в сверхпроводнике Изинга?
D2. К веществу, где есть спин-орбитальное взаимодействие, вдоль плоскости приложено однородное магнитное поле \(\vec{B}_{\parallel} = (B_x,0,0)\). Чему при этом равна энергия \(E_{\parallel}\) двух электронов? (Внутренние магнитные поля по-прежнему действуют и направлены перпендикулярно \(\vec{B}_{\parallel}\). Также можно пренебречь действием поля, направленного вдоль плоскости, на орбитальное движение куперовских пар.)
D3. Чему равно критическое значение индукции \(B_I\), когда при \(|\vec{B}_{\parallel}| > B_I\), \(E_{\parallel} < E_I\)?
▶ОтветСкрыть
A1: Момент импульса\[\vec L=r[\hat r,\vec p]=r[\hat r,\hat\varphi]\int_0^{2\pi}\frac{mvr}{2\pi r}\mathrm d\varphi\overset{v=\omega r}=m\omega r^2\hat z,\quad где\quad \hat z=[\hat r,\hat\varphi].\]; A2: \[\vec M=-\frac e{2m}\vec L\]; A3: \[U=-(\vec M,\vec B)=\frac12e\omega r^2 B_z\cos\theta\]; A4: \[U_\mathrm{up,down}=\pm\frac12\mu_BB\]; A5: \[\tilde{U}_\mathrm{up,down}=\pm5.788\cdot10^{-5}~эВ\]; B1: Поскольку спины электронов в куперовской паре направлены противоположно, магнитное поле не должно влиять на энергию пары.; B2: \[E_N=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-2\mu_BB_x=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-\frac{e\hbar}{m_e}B_x\]; B3: \[B_P=\frac{2m_e\Delta}{e\hbar}\]; C1: \[\lambda=eB_z/\hbar\] \[\lambda=eB_z/\hbar\]; C2: \[B_z=\frac{2m_e\alpha}{e\hbar}\]; D1: \[E_I=\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\Delta-\frac{e\hbar}{m_e}B_{z}\]; D2: \[E_\|=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-2\mu_B\sqrt{B_x^2+B_z^2}=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-\frac{e\hbar}{m_e}\sqrt{B_x^2+B_z^2}\]
▶РешениеСкрыть
A1. Ответ:
Момент импульса\[\vec L=r[\hat r,\vec p]=r[\hat r,\hat\varphi]\int_0^{2\pi}\frac{mvr}{2\pi r}\mathrm d\varphi\overset{v=\omega r}=m\omega r^2\hat z,\quad где\quad \hat z=[\hat r,\hat\varphi].\]
A2. Ток равен \(I=-ef=-e\frac\omega{2\pi}\), откуда \(\vec M=-e\frac\omega{2\pi}\pi r^2\hat z\implies\)
Ответ:
\[\vec M=-\frac e{2m}\vec L\]
A3. На виток с током действует магнитный момент\[\vec\tau=[\vec M,\vec B].\]Работа магнитного поля будет при этом равна\[W=\int_{\pi/2}^\theta(\vec \tau,\mathrm d\vec \theta')=\int_{\pi/2}^\theta-|\vec \tau|~\mathrm d\theta'=\int_{\pi/2}^\theta|\vec M||\vec B|\sin\theta'~\mathrm d\theta'=(\vec M,\vec B).\]Поскольку \(U=-W\), то
Ответ:
\[U=-(\vec M,\vec B)=\frac12e\omega r^2 B_z\cos\theta\]
A4. Направим ось \(z\) вдоль магнитного поля, тогда\[U=- M_zB.\]Магнитный момент электрона\[M_z=-\frac e{2m_e}S_z.\]Итак,\[U=\frac e{2m_e}S_zB=\frac{\mu_B}\hbar S_zB=\frac12\mu_B B\implies\]
Ответ:
\[U_\mathrm{up,down}=\pm\frac12\mu_BB\]
A5. Ответ:
\[\tilde{U}_\mathrm{up,down}=\pm5.788\cdot10^{-5}~эВ\]
B1. Ответ:
Поскольку спины электронов в куперовской паре направлены противоположно, магнитное поле не должно влиять на энергию пары.
B2. Минимальная энергия достигается, когда спины обоих электронов направлены против поля. Учитывая квантовомеханические эффекты (энергия \(\times2\)), получим:
Ответ:
\[E_N=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-2\mu_BB_x=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-\frac{e\hbar}{m_e}B_x\]
B3. Сверхпроводимость исчезнет, если\[E_N < E_S\implies 2B_x\mu_B > 2\Delta \implies B_x > \frac{\Delta}{\mu_B}\implies\]
Ответ:
\[B_P=\frac{2m_e\Delta}{e\hbar}\]
Примечание: изложение в задаче заметно упрощено. «Честный» вывод критического поля с учётом магнетизма Паули и энергии конденсации в сверхпроводящее состояние приводит к результату в \(\sqrt2\) раз меньше.
C1. Решение 1
Подставляя \(\psi(x)=\sqrt[4]{\frac{2\lambda}{\pi}}\exp(-\lambda x^2)\) в выражение для \(F(\psi)\), получим:
\[F(\psi)=\sqrt{\frac{2\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\lambda x^{2}}\left[-\alpha e^{-\lambda x^{2}}-\frac{\hbar}{4m_e}\left(-2\lambda e^{-\lambda x^{2}}+4\lambda^{2}x^{2}e^{-\lambda x^{2}}\right)+\frac{e^{2}B_{z}^{2}x^{2}}{m_e}e^{-\lambda x^{2}}\right]~\mathrm dx=\\=\sqrt{\frac{2\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\left(-\alpha+\frac{\hbar^{2}\lambda}{2m_{e}}\right)e^{-2\lambda x^{2}}+\left(\frac{e^{2}{B_{z}^{2}}}{m_{e}}-\frac{\hbar^{2}\lambda^{2}}{m_{e}}\right)x^{2}\mathrm{e}^{-2\lambda x^{2}}\right]~{\mathrm{d}}x=\\=-\alpha+\frac{\hbar^{2}\lambda}{2m_{e}}+\left(\frac{e^{2}B_{z}^{2}}{m_{e}}-\frac{\hbar^{2}\lambda^{2}}{m_{e}}\right).\frac1{4\lambda}=-\alpha+\frac{\hbar^{2}\lambda}{4m_{e}}+\frac{e^{2}B_{z}^{2}}{4\lambda m_{e}}.\]
Если рассматривать \(F(\psi)\) как функцию \(\lambda\), получим\[\frac{\mathrm dF}{\mathrm d\lambda}=\frac{\hbar^2}{4m_e}-\frac{e^2B_z^2}{4}.\]Условие минимума – это \(\frac{\mathrm dF}{\mathrm d\lambda}=0\) и \(\frac{\mathrm d^2F}{\mathrm d\lambda^2} > 0\), откуда\[\frac{\hbar^2}{4m_e}-\frac{e^2B_z^2}{4m_e\lambda^2}=0.\]Итого,
Ответ:
\[\lambda=eB_z/\hbar\]
Несложно проверить, что при этом значении \(\lambda\) действительно выполняется \(\frac{\mathrm d^2F}{\mathrm d\lambda^2} > 0\).
Решение 2
\[F(\psi)=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi\left(-\alpha\psi-\frac{\hbar^{2}}{4m_{e}}\frac{\mathrm{d}^{2}\psi}{\mathrm{d}x^{2}}+\frac{e^{2}B_{z}^{2}x^{2}}{m_{e}}\psi\right)~\mathrm{d}x=\\=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi\left(-\alpha-\frac{\hbar^{2}}{4m_{e}}\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}+\frac{e^{2}B_{z}^{2}x^{2}}{m_{e}}\right)\psi~\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi\tilde H\psi~\mathrm{d}x\]
Таким образом, для нормированной волновой функции \(\psi\) величина \(F(\psi)\) будет равна математическому ожиданию энергии системы \(\langle\tilde H\rangle\) – собственному значению Гамильтониана\[\tilde H=-\frac{\hbar^2}{4m_e}\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}+\frac{e^2B_z^2}{m_e}x^2-\alpha.\]Первые два слагаемых описывают обычный квантовый гармонический осциллятор. Таким образом, энергия основного состояния будет равна\[F_{\min}=\frac12\hbar\omega-\alpha,\]где \(\omega=eB_z/m_e\). Волновая функция основного состояния\[\psi=\sqrt[4]{\frac{2m_e\omega}{\pi\hbar}}\exp(-m_e\omega x^2/\hbar)=\sqrt[4]{\frac{2eB_z}{\pi\hbar}}\exp(-eB_z x^2/\hbar),\]откуда
Ответ:
\[\lambda=eB_z/\hbar\]
C2. Как следует из предыдущего пункта, \(F_{\min}=\frac{\hbar eB_z}{2m_e}-\alpha\). Критическому значению \(B_z\) соответствует нулевая разность энергий, т.е. \(F_{\min}=0\implies\)
Ответ:
\[B_z=\frac{2m_e\alpha}{e\hbar}\]
D1. \[E_{I}=\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\Delta-\frac{2\mu_{B}S_{1z}B_{z}}{\hbar}+\frac{2\mu_{B}S_{2z}B_{z}}{\hbar}.\]Т.к. \(S_z=\pm\hbar/2\), из условия минимальности энергии получим:\[E_{I}=\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\Delta-\frac{2\mu_{B}B_{z}}{2}-\frac{2\mu_{B}B_{z}}{2}=\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\Delta-2\mu_{B}B_{z}\implies\]
Ответ:
\[E_I=\frac{p_{1}^{2}}{2m}+\frac{p_{2}^{2}}{2m}-2\Delta-\frac{e\hbar}{m_e}B_{z}\]
D2. В нормальном состоянии магнитные моменты электронов будут выстраиваться параллельно магнитному полю, поэтому:\[E_\|=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}+\frac{2\mu_B(\vec S_1,\vec B_1)}\hbar+\frac{2\mu_B(\vec S_2,\vec B_2)}\hbar=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-2\mu_B\sqrt{B_x^2+B_z^2},\]где использовалось \(\vec B_{1,2}=\left(\begin{array}{c}B_x\\0\\\mp B_z\end{array}\right)\), \(|\vec S_{1,2}|=\hbar/2\). Итого:
Ответ:
\[E_\|=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-2\mu_B\sqrt{B_x^2+B_z^2}=\frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}-\frac{e\hbar}{m_e}\sqrt{B_x^2+B_z^2}\]
D3. \[E_{\parallel} < E_{\mathrm{Ising}}\implies2\mu_{\mathrm{ig}}\sqrt{B_{x}^{2}+B_{z}^{2}}>2\Delta+2\mu_{\mathrm{B}}B_{z}\implies\]
Ответ:
\[B_I = \frac{\sqrt{\Delta^{2}+2\Delta\mu_{\mathrm{B}}B_{z}}}{\mu_{\mathrm{B}}}\]
Перевод: pho.rs.
Источник: Азиатская физическая олимпиада (APhO) 2016, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.