APhO 2018, теоретический тур

Если луч лазера сфокусировать на группе нейтральных атомов, то их можно «захватить» и охладить до практически нулевой абсолютной температуры. При околонулевых температурах можно получить особое состояние вещества, называемое бозе-конденсатом.

Нейтральный атом натрия можно представить в виде ядра с положительным зарядом \(e\), которое окружено однородным электронным облаком с отрицательным зарядом \(-e\). Масса облака пренебрежимо мала по сравнению с массой ядра. В отсутствие внешнего электрического поля центры электронного облака и ядра совпадают.

Если атом поместить в электрическое поле, он поляризуется, т.е. у атома появляется дипольный момент. Этот диполь взаимодействует с тем же электрическим полем. Поле определяется распределением интенсивности \(I(\vec{r})\) в лазерном пучке и частотой. Если специально подобрать частоту и интенсивность, можно создать потенциальную яму, размерами которой будут ограничены атомы.

Атом, помещенный в однородное электрическое поле \(\vec{E_0}=E_0 \hat{u}\) (\(\hat{u}\) — единичный вектор), приобретает дипольный момент \(\vec{p_0}=el\hat{u}=\alpha E_0 \hat{u}\) (\(\alpha\) — поляризуемость).

Рис. 1. Модель электронного облака атома

1) Сферически-симметричное распределение электронного облака вокруг ядра

2) Смещение электронного облака во внешнем электрическом поле

Пусть в начальный момент времени поле выключено. Затем напряженность поля очень медленно повышают до \(E_0\). В произвольный момент времени напряженность поля \(\vec{E}=E\hat{u}\).

A1. Найдите в этом случае мгновенную поглощаемую атомом мощность. Ответ выразите через векторы \(\vec{E}\) и \(\dot{\vec{p}}\) (\(\dot{\vec{p}}\) — скорость изменения дипольного момента).

A2. Найдите полную работу, совершенную полем к моменту, когда его напряженность достигла \(E_0\), и отсюда получите выражение для потенциальной энергии диполя \(U_{induced}\) через векторы \(\vec{E_0}\) и \(\vec{p_0}\).

Если поле выключить, то электронное облако в атоме колеблется с собственной частотой \(\omega_0\).

Рассмотрим атом в переменном электрическом поле \(\vec{E}(\vec{r},t) =\hat{u}\ E_0(\vec{r})\cos\omega t\). Индуцированный дипольный момент \(\vec{p}\) будет осциллировать с той же частотой \(\omega\). Колеблющийся диполь, как известно, излучает. Это приводит к тому, что дипольный момент и внешнее поле сдвинуты по фазе: \(\vec{p}(\vec{r},t)=\hat{u}\ E_0(\vec{r})\alpha(\omega)\cos[\omega t+\varphi(\omega)]\), причем и поляризуемость \(\alpha\), и сдвиг фаз \(\varphi\) зависят от частоты \(\omega\). Т.к. эти процессы происходят с высокой частотой, мы можем наблюдать и измерять лишь усредненные по периоду \(2\pi/\omega\) величины.

По определению усреднение некой величины по периоду значит \(\left\langle {f\left( t \right)} \right\rangle = \omega/2\pi \int\limits_0^{2\pi /\omega } {f\left( t \right)\mathrm{d}t}\). Здесь и далее запись \(\langle ... \rangle\) означает усреднение величины в скобках по времени.

Интенсивность \(I(\vec{r})\) лазерного пучка связана с амплитудой \(E_0\) электрического поля следующим образом: \[I(\vec{r})=\cfrac{\varepsilon_0c\ E_0^2(\vec{r})}{2},\] где \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная и \(c\) — скорость света.

B1. Найдите потенциальную энергию диполя \({U_{dip}}\left( {\vec r} \right) = \left\langle {{U_{induced}}\left( {\vec r,t} \right)} \right\rangle\).

Ответ выразите через \(\alpha\), \(\varphi\), \(\varepsilon_0\), \(c\) и \(I(\vec{r})\).

Когда атомы находятся в лазерном пучке, на них рассеиваются фотоны. Это можно описать поглощением и испусканием света. Эти процессы характеризуются скоростью рассеяния \[\Gamma_{sc}(\overrightarrow{r})={\langle P_{abs}(\overrightarrow{r})\rangle}/{\hslash\omega},\]

где \(\langle P_{abs}(\overrightarrow{r})\rangle\) — усредненная по времени мощность, поглощаемая из лазерного пучка, а \(\hbar\omega\) — энергия фотона \((\hbar=h/2\pi)\).

C1. Выразите \(\Gamma_{sc}(\vec{r})\) через \(\alpha\), \(\varphi\), \(\varepsilon_0\), \(c\), \(I(\vec{r})\), \(\hslash\) и \(\omega\).

Обе величины \(U_{dip}\) и \(\Gamma_{sc}(\vec{r})\) зависят от поляризуемости \(\alpha\). Чтобы ее рассчитать, рассмотрим одномерный осциллятор в поле \(\vec{E}(t)=\hat{u}E_0\cos\omega t\). Ось \(Ox\) параллельна единичному вектору \(\hat{u}\). Координатой \(x\) обозначим смещение электронного облака, полагая ядро неподвижным. В уравнение колебаний входят три слагаемых:

• \(-m_e\omega_0^2x\cdot\hat{u}\) — возвращающая сила, соответствующая свободным колебаниям с собственной частотой \(\omega_0\);

• \(-eE_0 \cos\omega t\cdot\hat{u}\) — вынуждающая сила;

• \(-m_{e}\gamma_{\omega}\dot{x} \cdot \hat{u}\) — затухание, связанное с излучением. Оно характеризуется коэффициентом затухания \(\gamma_{\omega}\), зависящим от частоты.

Итак, уравнение колебаний выглядит следующим образом: \(\ddot x + {\gamma_\omega }\dot x + \omega _0^2x =- eE_0 \cos \omega t/m_e\), и его решение может быть найдено в виде \(x=x_0\cos(\omega t+\varphi)\). Здесь \(x_0\) и \(\varphi\) нужно определять.

D1. Выразите поляризуемость \(\alpha\) через \(\gamma_{\omega}\), \(e\), \(m_e\), \(\omega_0\) и \(\omega\).

Рассмотрим еще одну упрощенную модель, в которой в отсутствие внешнего поля центр электронного облака движется по круговой орбите с частотой \(\omega\) и скоростью \(v\). Когда электрон движется с ускорением, мощность излучения задается формулой: \[{P_L} = \cfrac{1}{{6\pi {\varepsilon _0}}}\cfrac{{{e^2}{a^2}}}{{{c^3}}},\] где \(a\) — ускорение. Силу, соответствующую затуханию, можно записать как \({F_d} = - {m_e}{\gamma _\omega }v\). Считайте, что энергия, теряемая электроном за один оборот, много меньше его полной энергии.

E1. Выразите коэффициент затухания \(\gamma_{\omega}\) через \(e\), \(\varepsilon_0\), \(c\), \(m_e\) и \(\omega\).

Когда частота вынуждающей силы \(\omega\) близка к собственной частоте осциллятора \(\omega_0,\) поляризуемость возрастает. Это приводит как к росту потенциальной энергии диполя, так и к увеличению скорости рассеяния. В экспериментах стараются снизить рассеяние, аглубину потенциальной ямы поддержать на достаточном уровне. Для оптимизации этого удобно использовать величину \({{U_{dip}}\left( {\vec r} \right)}/{\hbar {\Gamma _{sc}}\left( {\vec r} \right)}\).

F1. Определим при \(\omega=\omega_0\) коэффициент затухания \(\gamma \equiv {\gamma _{{\omega _0}}}\).

Выразите \({{U_{dip}}\left( {\vec r} \right)}/{\hbar {\Gamma _{sc}}\left( {\vec r} \right)}\) через \(\omega\), \(\omega_0\) и \(\gamma\).

В предыдущем пункте было получено, что \({\Gamma _{sc}}\left( {\vec r} \right)\) — величина положительная, а при \(\omega<\omega_0\) отношение \({{U_{dip}}\left( {\vec r} \right)}/{\hbar {\Gamma _{sc}}\left( {\vec r} \right)}\) отрицательно. Это означает, что потенциальная энергия отрицательна, и атомы удерживаются в той области пучка, где интенсивность максимальна (в оптической ловушке). Если начать уменьшать глубину потенциальной ямы, то высокоэнергетичные атомы покинут область. Это значит, что удерживаемый газ атомов можно охладить до сверхнизких температур и получить бозе-конденсат.

Рассмотрим известный эксперимент с разреженным газом атомов натрия, которые могут образовывать бозе-конденсат. Атомы удерживаются оптической ловушкой. Лазер излучает на длине волны \(\lambda\), которой соответствует \(\omega < \omega_0\). Распределение интенсивности в пучке задается гауссовой функцией \[I\left( {\rho ,z} \right) = \cfrac{{2P}}{{\pi D^2{{\left( z \right)}}}}\ \exp \left( { - \cfrac{{2{\rho ^2}}}{{D^2{{\left( z \right)}}}}} \right),\] где \(\rho = \sqrt {{x^2} + {y^2}}\), а ширина пучка \(D\left( z \right) = {D_0}\sqrt {1 + {z^2}/z_R^2}\) и \({z_R} = \pi D_0^2/\lambda\) (рис. 2а). Полная мощность излучения \(P\) и минимальная ширина пучка \(D_0\) определяют параметры потенциальной ямы (оптической ловушки). Один из них — ее глубина \(U_{depth}\), которая определяется как абсолютное значение потенциальной энергии в ее локальном минимуме (рис. 2b). На бесконечности потенциальную энергию принимают нулевой.

Рис. 2.

a) Гауссов пучок и его параметры

b) Модель потенциальной ямы (оптической ловушки), созданной в направлении оси \(x\) гауссовым пучком (\(\omega<\omega_0\)). Пунктиром показано гармоническое приближение потенциальной ямы в окрестности ее дна

G1. Выразите глубину потенциальной ямы \(U_{depth}\) через \(c\), \(\omega\), \(\omega_0\), \(\gamma\), \(P\) и \(D_0\).

G2. Пусть мощность лазера \(P=4~мВт\), длина волны излучения \(\lambda=985~нм\), \(D_0=6~мкм\), длина волны D-линии натрия \(\lambda_0=589~нм\). Получите выражение, а также численно рассчитайте глубину потенциальной ямы \(U_{depth}\). Ответ приведите в Кельвинах эквивалентной температуры \(T_0\), при которой тепловая энергия атомов равна глубине потенциальной ямы.

При температуре электронного облака \(T\), много меньшей, чем определенная выше температура \(T_0\), потенциальную энергию у дна ямы можно приближенно считать гармонической \[U_{dip}(\rho,z)=- U_{depth}+1/2\ m\ \Omega_{\rho}^2\rho^2+1/2\ m\ \Omega_z^2z^2,\] где \(m\) — масса атома натрия, а \(\Omega_{\rho}\), \(\Omega_z\) — частоты колебаний в соответствующих направлениях.

H1. Выразите \(\Omega_{\rho}\) и \(\Omega_z\) через \(T_0\), \(m\), \(D_0\), \(z_R\) и постоянную Больцмана \(k_B\).

При низких температурах газ атомов натрия состоит из атомов бозе-конденсата и тепловых атомов. Атомы бозе-конденсата подчиняются соотношению неопределенностей, таким образом можно оценить размер области, занимаемой газом, и распределение скоростей в ней. С другой стороны, тепловые атомы описываются уравнениями классической физики и подчиняются распределению Максвелла-Больцмана.

Среднее расстояние от атомов натрия до центра ловушки — это характерный размер области, занимаемой газом. Потенциальная энергия монотонно возрастает с ростом размера области, атом пытается ее уменьшить, стараясь занять уровень с минимальной энергией. С другой стороны, по мере уменьшения размера области, соотношение неопределенностей приводит к увеличению скорости атомов, т.е. к увеличению кинетической энергии. Поэтому существует некий оптимальный размер этой области, когда описанные эффекты скомпенсированы.

Рассмотрим одномерную потенциальную яму \(U(z)=\mathrm{const}+1/2\ m\Omega_z^2z^2\).

I1. Оцените размер области \(z_0\), занимаемой газом в состоянии бозе-конденсата. Ответ выразите через \(m\), \(\hbar\), \(\Omega_z\).

I2. Выразите энергию \(E_{\mathrm{min}}\) низшего энергетического уровня через \(\hbar\) и \(\Omega_z\).

I3. Выразите среднюю скорость \(v_0\) атомов через \(m\), \(\hbar\), \(\Omega_z\).

Рассмотрим, как будут вести себя атомы газа из бозе-конденсата и тепловые атомы, если отключить ловушку. Распределение скоростей тепловых атомов — максвелловское, даже если ловушка анизотропна. Напротив, распределение скоростей в бозе-консате анизотропно. А именно, бозе-конденсат расширяется быстрее вдоль осей, где он удерживался сильнее, по сравнению со скоростью расширения вдоль оси, где он удерживался слабо. Если представить, что удерживаемый бозе-конденсат имел сигарооразную форму, то после отключения ловушки он примет форму, более похожую на блинчик.

Рис. 3. Разлет бозе-конденсата

1) Бозе-конденсат в ловушке (сигарообразная форма)

2) Бозе-конденсат через большое время после выключения ловушки (блинчик)

J1. Выразите отношение \({z_0}/{\rho_0}\) через \(\Omega_{\rho}\) и \(\Omega_z\), где \(z_0\) и \(\rho_0\) — начальные размеры области, занимаемой бозе-конденсатом.

J2. Если выключить ловушку, то бозе-конденсат будет разлетаться с различными скоростями \(v_{\rho}\) и \(v_z\) в разных направлениях. Выразите отношение \({v_{\rho}}/{v_z}\) через \(\Omega_{\rho}\) и \(\Omega_z\).

J3. Найдите отношение \({z_L}/{\rho_L}\) размеров области расширяющегося бозе-конденсата, когда они намного больше первоначальных (\({z_L} \gg {z_0}\) и \({\rho _L} \gg {\rho _0}\)). Скорости расширения бозе-конденсата считайте неизменными.

J4. Найдите отношение \({{{z_{T,L}}}}/{{{\rho _{T,L}}}}\) размеров области расширяющегося газа тепловых атомов, когда размеры намного больше первоначальных (\({z_{T,L}} \gg {z_0}\) и \({\rho _{T,L}} \gg {\rho _0}\)).

Полезный факт:

\[{e^x} = 1 + \frac{x}{{1!}} + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \ldots\]

Ракеты — не самый эффективный способ вывода грузов на орбиту. Космический лифт, если его построить, будет гораздо более эффективной технологией (рис. 1). Основой элемент космического лифта — трос, один конец которого закреплен на поверхности Земли, на экваторе, а другой конец расположен на высоте, большей, чем высота геостационарной орбиты. Геостационарная орбита имеет радиус примерно \(42300~км\) и период обращения такой же, как собственное вращение Земли. Для реализации идеи космического лифта потребуются материалы намного прочнее и легче, чем сталь. Одним из таких материалов могут стать углеродные нанотрубки. В этой задаче мы рассмотрим две конструкции космического лифта, механические свойства углеродных нанотрубок, а также некоторые применения лифта.

Рис. 1. Космический лифт

1) Земля

2) Северный полюс

3) Закрепление на экваторе

4) Кабина

5) Противовес

6) Вращение Земли

7) Трос

8) Геостационарная орбита

Масса Земли \(M=5.98\cdot 10^{24}~кг\), радиус Земли \(R=6370~км\), радиус геостационарной орбиты \(R_G=42300~км\), масса Солнца \(M_S=2\cdot10^{30}~ кг\), радиус орбиты Земли \(R_E=1.5\cdot10^8 = 1~ а.е.\) (а.е. — астрономическая единица), скорость орбитального движения Земли \(30.9~ км/с\), угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси \(\omega=7.27\cdot10^{-5}~рад/с\).

Космический лифт с цилиндрическим тросом постоянного сечения

В этой части рассматривается конструкция лифта с цилиндрическим тросом постоянного сечения площадью \(A\). Плотность материала троса \(\rho\). Трос представляет собой вертикальный цилиндр на экваторе Земли. Высота цилиндра больше, чем высота геостационарной орбиты. Длина троса такая, что механическое напряжение троса в точке на поверхности Земли равно нулю. Механическое напряжение — сила натяжения на единицу площади поперечного сечения. Трос находится в натяжении по всей своей длине. Механические напряжения троса такие, что каждый элемент троса находится в равновесии под действием сил натяжения, гравитационных сил и центробежных.

A1. Вычислите высоту верхнего конца троса над поверхностью Земли \(L\).

A2. Найдите расстояние \(r\) между центром Земли и точкой, в которой механическое напряжение троса максимально.

A3. Выразите максимальное механическое напряжение троса \(\sigma_{max}\) через \(\rho\), \(R_G\), \(R\) и ускорение свободного падения \(g\). Вычислите отношение максимального механического напряжения троса \(\sigma_{max}\) к пределу прочности стали \(\sigma_{steel}\). Считайте, что трос изготовлен из стали плотностью \(7900~кг/м^3\) с пределом прочности \(5.0~ГПа\).

Углеродные нанотрубки

Вычисления прошлой части показывают, что для реализации проекта необходим очень легкий, но прочный материал. Материал из углеродных нанотрубок удовлетворяет этим требованиям из-за наличия прочных химических связей между относительно легкими атомами.

В природе существует две аллотропных модификации углерода: алмаз и графит. В алмазе каждый атом углерода окружен четырьмя ближайшими соседними атомами, которые являются вершинами тетраэдра. Графит имеет слоистую структуру. В каждом слое атомы углерода выстроены в шестиугольную плоскую структуру. Каждый атом в этой плоскости имеет трёх ближайших соседей. Ковалентные связи между такими атомами в слое графита оказываются даже прочнее, чем связи между атомами в алмазе. Мягкость графита объясняется слабыми Ван-дер-Ваальсовыми силами между атомами разных слоёв.

Рис. 2. Структура графита

Рис. 3. Графен (a) и углеродная нанотрубка (b)

Одноатомный слой графита называется графеном (рис. 3a). Отдельный лист графена нестабилен и склонен сворачиваться в сферы или нанотрубки (рис. 3b).

Шестиугольная кристаллическая решетка графена изображена на рис. 4. Расстояние между двумя соседними атомами углерода \(a=0.142~нм\). Расстояние между двумя ближайшими параллельными связями равно \(b=0.246~нм\). Из-за очень сильных ковалентных связей углеродные нанотрубки обладают чрезвычайно большим модулем Юнга, большим пределом прочности и очень маленькой плотностью. Модуль Юнга есть отношение механического напряжения к относительному удлинению.

Рис. 4. Графен

Рис. 5. Углеродная нанотрубка с 9 углерод-углеродными параллельными связями. В условии вашей задачи таких связей 27

1) Параллельные связи

2) Наклоненная связь

3) Ось нанотрубки

Далее мы вычислим механические свойства углеродной нанотрубки, которая имеет 27 углерод-углеродных параллельных связей вдоль своей оси (рис. 5).

Энергия связи между двумя атомами углерода описывается потенциалом Морзе \[V(x)=V_0(e^{-4{x}/{a}}-2e^{-2{x}/{a}}).\] Здесь:

• \(a=0.142~нм\) — расстояние между двумя соседними атомами углерода в равновесии;

• \(V_0=4.93~эВ\) — энергия связи;

• \(x\) — смещение атомов от положения равновесия.

Далее мы аппроксимируем потенциал Морзе в виде квадратичного потенциала \(V(x) = P + Qx^2\). Взаимодействуют только соседние атомы. В данном приближении можно считать, что атомы скрепляются «пружинками» с некоторой жесткостью \(k\). Изменения углов между связями пренебрежимо малы и не рассматриваются.

B1. Выразите коэффициенты \(P\) и \(Q\) через \(a\) и \(V_0\).

B2. Вычислите характерную жесткость «пружинки» \(k\).

B3. Вычислите модуль Юнга углеродной нанотрубки \(E\).

При максимально возможном удлинении «пружинки» \(x_{\max}\) её потенциальная энергия равна энергии связи. Это позволяет оценить предел прочности углеродной нанотрубки.

B4. Вычислите максимальное удлинение \(x_{\max}\) «пружинки».

B5. Оцените предел прочности \(\sigma_0\) углеродной нанотрубки.

B6. Оцените плотность углеродной нанотрубки \(\rho\). Молярная масса углерода \(12~г/моль\).

Космический лифт с коническим тросом постоянного механического напряжения

В данной части мы рассматриваем трос космического лифта с переменной площадью сечения, но с постоянным механическим напряжением \(\sigma\) и постоянной плотностью \(\rho\) по всей длине. Трос имеет осевую симметрию и расположен вертикально на экваторе. Высота троса больше, чем высота геостационарной орбиты. Обозначим площадь поперечного сечения троса на поверхности Земли как \(A_S\), на высоте геостационарной орбиты как \(A_G\).

C1. Найдите зависимость площади поперечного троса \(A(h)\) от высоты \(h\). Высота \(h\) отсчитывается от поверхности Земли.

C2. Трос устроен так, что площади поперечного сечения его концов равны. Найдите расстояние \(H\) от центра Земли до верхнего конца троса.

C3. Найдите отношение \(A_G/A_S\), если трос изготовлен из углеродных нанотрубок с пределом прочности \(130~ГПа\) и плотностью \(1300~кг/м^3\).

C4. Можно значительно сократить длину троса, если его часть сверху убрать и прикрепить противовес соответсвующей массы. Пусть \(h_C\) — высота троса, отсчитываемая от геостационарной орбиты до противовеса. Найдите массу противовеса \(m_C\).

Применение: вывод нагрузки на орбиту и запуск космических кораблей к другим планетам

Основная идея применения космического лифта — выводить с помощью него полезную нагрузку на орбиту и запускать космические корабли к другим планетам. Способ запуска объектов довольно прост: объект поднимается на высоту \(r\) и отпускается без начальной скорости. Считайте, что движение троса происходит в плоскости орбиты Земли.

D1. Если с некоторой точки троса отпустить объект, то он сможет покинуть гравитационное поле Земли. Найдите критический радиус \(r_C\), измеряемый от центра Земли, для которого это произойдет.

Использование троса высотой больше \(r_C\) необходимо, если мы хотим запускать объекты к другим планетам. Пусть конец троса находится на расстоянии \(107000~км\) от центра Земли.

D2. Найдите, каких минимального \(r_{min}\) и максимального \(r_{max}\) расстояний от Солнца может достичь объект, отпущенный с конца троса. Выразите ваш ответ в астрономических единицах (а.е.). Притяжением Земли на такой высоте можно принебречь.

В этой задаче мы рассмотрим три основных термоэлектрических эффекта: закон Джоуля-Ленца, эффекты Зеебека и Пельтье.

Закон Джоуля-Ленца. При направленном движении носителей заряда они передают часть энергии в колебательное движение кристаллической решетки, поэтому кристалл нагревается. Этот процесс — необратимый.

Эффект Зеебека наблюдается в термопаре, состоящей из двух разных проводников \(A\) и \(B\), спаянных друг с другом (рис. 1а) либо соединенных через промежуточный материал \(C\) (рис. 1b). Когда спаи термопары поддерживаются при разных температурах \(T_1\) и \(T_2\) (рис. 1), в системе возникает ЭДС\[\epsilon=\alpha(T_1-T_2),\]где \(\alpha\) — коэффициент Зеебека термопары и считается, что он не зависит от температуры.

Рис. 1

a) Два спая термопары

b) Соединение проводников через промежуточный материал:

1) Нагреватель (\(T_1\))

2) Холодильник (\(T_2\))

Эффект Пельтье. Если через термопару пропустить ток, то, в зависимости от направления, куда он течет, на спае может выделяться или поглощаться тепло. Соединение проводников термопары может быть как прямым (рис. 2а), так и через промежуточный материал (рис. 2b). Выделяемая (или поглощаемая) на спаях мощность \(q\) записывается следующим образом:\[q=\pi I,\]где \(\pi\) — коэффициент Пельтье. Эффекты Зеебека и Пельтье — обратимые. Цепь, показанная на рисунке 2b, может использоваться как холодильник, причем тепло отбирается у одного из спаев и выделяется на другом. Излучением, конвекцией и теплопроводностью можно пренебречь. Вся теплопередача происходит внутри тепловых резервуаров и термопары.

Рис. 2

a) Два спая термопары

b) Соединение проводников через промежуточный материал

Для численных расчетов в Таблицах 1 и 2 приведены значения тепловых и электрических характеристик материалов.

Термопара AB

Теплопроводность и термоэлектрический генератор

Часть A. Теплопроводность в однородном проводнике (1.75 баллов)

Вдоль однородного проводника течет ток силой \(I\) (рис. 3). Удельное сопротивление материала \(\rho\), коэффициент теплопроводности \(k\). Координаты концов проводника: \(x=0\) и \(x=L\). Температуры концов проводника поддерживаются постоянными и равными \(T_1\) при \(x=0\) и \(T_2\) при \(x=L\) (\(T_1>T_2\)).

Рис. 3

Тепловой поток \(q(x)\), т.е. количество теплоты, проходящее по нормали к площадке \(S\) в единицу времени, описывается законом Фурье (одномерный случай):\[q(x)=-kS\frac{\mathrm dT(x)}{\mathrm dx},\]где \(k\) — коэффициент теплопроводности, а \(S\) — площадь поперечного сечения.

A1. Найдите распределение температуры \(T(x)\) вдоль стержня. Считайте, что распределение стационарно, а также что нет потерь тепла в окружающую среду.

Примечание. Уравнение вида \({\mathrm d^2T(x)}/{\mathrm dx^2}=a\) имеет решение вида:\[T(x)=\frac{1}{2}ax^2+C_1x+C_2,\]где \(C_1\) и \(C_2\) — постоянные, определяемые из граничных условий.

A2. Найдите тепловой поток \(q(x)\) в произвольной точке \(x\), а также рассчитайте его на концах: \(q(0)\) и \(q(L)\).

Часть B. Связь коэффициентов Зеебека и Пельтье (1.5 балла)

Рассмотрим термопару (рис. 1b), у которой коэффициент Зеебека равен \(\alpha\). Ее коэффициенты Пельтье равны \(\pi_1\) и \(\pi_2\) на горячем (\(T_1\)) и холодном (\(T_2\)) спаях термопары соответственно. Выделением джоулева тепла можно пренебречь. Считайте, что электронный газ в проводниках термопары совершает идеальный цикл.

B1. Какую тепловую мощность \(q_1\) получает газ от нагревателя температурой \(T_1\)?

B2. Какую тепловую мощность \(q_2\) газ отдает холодильнику температурой \(T_2\)?

B3. Какая полная электрическая полезная мощность \(P\) производится электронным газом, если коэффициент Зеебека равен \(\alpha\)?

B4. Выразите коэффициент Пельтье \(\pi\) на спае термопары через коэффициент Зеебека \(\alpha\) и температуру спая \(T\).

Часть C. Термоэлектрический генератор (1.5 балла)

Рис. 4. Термоэлектрический генератор

1) Нагреватель (\(T_1\))

2) холодильник (\(T_2\))

Внимание! Здесь и далее коэффициент Пельтье \(\pi\) примите равным \(\alpha T\). Также везде нужно будет учитывать выделяющееся джоулево тепло.

Термопара состоит из двух проводников \(A\) и \(B\) одинаковой длины \(L\) (рис. 4). Параметры проводников, соответственно, равны: площади поперечного сечения \(S_A\) и \(S_B\), удельные сопротивления \(\rho_A\) и \(\rho_B\), коэффициенты теплопроводности \(k_A\) и \(k_B\). Нижние концы стержней подключены к нагрузке \(R_L\). Параметры термопары таковы:

• \(\alpha\) — коэффициент Зеебека,

• \(R={\rho_AL}/{S_A}+{\rho_BL}/{S_B}\) — ее внутреннее сопротивление,

• \(K={k_AS_A}/{L}+{k_BS_B}/{L}\) — ее коэффициент теплопроводности.

Верхний спай термопары поддерживается при температуре \(T_1\), нижний — при \(T_2\), причем \(T_1>T_2\). Обозначим \(q_1\) полную тепловую мощность, забираемую у нагревателя (\(T_1\)), а \(q_2\) — полную тепловую мощность, получаемую холодильником (\(T_2\)).

C1. Выразите \(q_1\) и \(q_2\) через параметры термопары \(\alpha, K, R\), температуры \(T_1, T_2\) и силу тока \(I\).

КПД термоэлектрического генератора определяется как \(\eta={P_L}/{q_1}\), где \(P_L\) — мощность, выделяющаяся на нагрузке. Отношение сопротивлений нагрузки и термопары обозначается \(m={R_L}/{R}\).

C2. Выразите КПД \(\eta\) генератора через параметры термопары \(\alpha\), \(K\), \(R\), температуры \(T_1\), \(T_2\) и отношение сопротивлений \(m\).

При производстве термоэлектрических генераторов необходимо удовлетворить следующим условиям:

1. минимизировать сопротивление, чтобы уменьшить выделение джоулева тепла;

2. обеспечить низкую теплопроводность, чтобы уменьшить теплопередачу между спаями, и

3. сохранять большую разность температур.

Совместно это характеризуется показателем качества термопары \(Z={\alpha^2}/{KR}\).

C3. Выразите КПД \(\eta\) генератора через \(Z\), КПД идеального цикла Карно \(\eta_c={(T_1-T_2)}/{T_1}\), температуру \(T_1\) и \(m\).

Часть D. Максимальный КПД генератора (1.25 балла)

D1. Обозначим \(\eta_P\) КПД генератора, когда на нагрузке выделяется максимальная мощность \(P_L=P_{\mathrm{max}}\). Выразите \(\eta_P\) через \(Z\), \(T_1\), \(T_2\).

D2. КПД генератора достигает максимума \(\eta=\eta_{\mathrm{max}}\) при некотором значении отношения сопротивлений \(m=M\). Выразите это \(M\) через \(Z\), \(T_1\), \(T_2\).

D3. Выразите максимальный КПД \(\eta_{\mathrm{max}}\) через \(Z\), \(M\), \(T_1\), \(T_2\).

Часть E. Максимальный показатель качества термопары (0.75 балла)

Увеличение показателя качества термопары приводит к увеличению КПД генератора. При производстве термопар площади поперечного сечения \(S_A\) и \(S_B\) проводников подбираются так, что показатель качества получается максимальным \(Z=Z_m\).

E1. Найдите отношение площадей поперечного сечения \(S_A/S_B\) проводников, когда показатель качества термопары максимален. Ответ выразите через \(\rho_A\), \(\rho_B\), \(k_A\), \(k_B\).

E2. Выразите максимальный показатель качества термопары \(Z_m\) через \(\alpha\), \(\rho_A\), \(\rho_B\), \(k_A\), \(k_B\).

Часть F. Оптимальный КПД генератора (0.75 балла)

Если показатель качества термопары и электрическая мощность, выделяющаяся на нагрузке, максимальны одновременно, то такой режим работы генератора называется оптимальным. Обозначим \(\eta_{opt}\) КПД такого генератора.

Пусть нагреватель имеет температуру \(T_1=423~К\), а холодильник — \(T_2=303~К\).

F1. Вычислите значение \(\eta_{opt}\) термоэлектрического генератора, который изготовлен из материалов, характеристики которых приведены в Таблице 1.

Сравните вычисленное значение с КПД идеальной тепловой машины \(\eta_c\).

F2. Вычислите значение максимального КПД \(\eta_{\mathrm{max}}\) термоэлектрического генератора, изготовленного из указанных материалов.

Термоэлектрический холодильник

Часть G (0.75 балла)

Термопара с параметрами \(\alpha\), \(K\), \(R\), определенными в части C. Термоэлектрический генератор , используется как холодильник (рис. 5).

Верхний спай термопары соприкасается с теплым резервуаром начальной температуры \(T_1\). Резервуар теплоизолирован от окружающей среды, и его хотят охлаждать. Нижние концы проводников всегда поддерживаются при температуре \(T_2\) и подключены к источнику тока. Направление тока, текущего через спай термопары, такое, что у верхнего, теплого, резервуара теплота поглощается, а выделяется внизу.

Рис. 5. Термоэлектрический холодильник.

1) Изолированный теплый резервуар (\(T_1\))

2) Холодный резервуар (\(T_2\))

G1. \(q_C\) — это полная тепловая мощность, которая отбирается от теплого резервуара. Выразите \(q_C\) через параметры термопары \(\alpha\), \(K\), \(R\) и \(T_1\), \(T_2\), \(I\).

G2. Найдите максимальную разность температур \(\Delta T_{\max}=T_2-T_{1\min}\), которой можно достичь, используя термоэлектрический холодильник. Ответ выразите через показатель качества термопары \(Z\) и наинизшую температуру \(T_{1\min}\) верхнего резервуара, до которой его можно охладить.

Часть H (0.75 балла)

Термопара изготовлена из материалов \(A\) и \(B\) с наилучшим показателем качества \(Z_m\) (найденным в части А). Эта термопара используется в качестве холодильника.

H1. Найдите и рассчитайте численное значение минимальной температуры \(T_{1\min}\) верхнего резервуара, если нижние концы поддерживаются при температуре \(T_2=300~К\).

H2. Найдите и рассчитайте численное значение рабочей силы тока \(I_w\) холодильника, когда верхний резервуар можно охладить до минимальной температуры \(T_{1\min}\). Нижние концы поддерживаются при температуре \(T_2=300~ К\). Считайте, что площади поперечного сечения равны \(S_A=S_B=10^{-4}~м^2\).

Часть I. Холодильный коэффициент (1 балл)

Когда разность температур меньше своего возможного максимального значения \(\Delta{T_{\max}}\), вводится холодильный коэффициент. Он определяется как \(\beta={q_C}/{P}\), где \(P\) — подводимая электрическая мощность.

I1. Выразите холодильный коэффициент \(\beta\) через параметры термопары \(\alpha\), \(K\), \(R\) и \(T_1\), \(T_2\), \(I\).

I2. Когда холодильный коэффициент достигает максимального значения \(\beta_{\mathrm{max}}\), сила тока, текущего через термопару, равна \(I_{\beta}\). Выразите \(I_{\beta}\) через параметры термопары \(\alpha\), \(k\), \(R\) и \(T_1\), \(T_2\).

I3. Найдите максимальное значение холодильного коэффициента \(\beta_{\mathrm{max}}\).

Для разделения материалов различных магнитных свойств используется метод магнитного разделения. Например, месторождения титановых руд содержат такие минералы, как циркон (\(\rm ZrSiO_4\)), монацит (\(\rm \left[Ce{,}La{,}Th\right]PO_4\)), ильменит (\(\rm FeTiO_3\)), рутил (\(\rm TiO_2\)), среди которых экономическое значение титансодержащих минералов сложно переоценить. Рутил и ильменит используются в производстве нетоксичных пигментов, применяемых в чернилах, пластиках, керамике и многом другом. Поэтому, рутил и ильменит должны быть отделены из титановых руд. Магнитное разделение использует магнитные силы для разделения магнитных материалов.

Принцип работы магнитного сепаратора показан на рис. 1.

Рис. 1: (1) ящик; (2) немагнитный ролик \(L_1\); (3) магнитный ролик \(L_2\); (4) конвейерная лента; (5) магнитные частицы; (6) сборные лотки.

Основная часть магнитного сепаратора состоит из двух роликов \(L_1\) и \(L_2\) (диаметр \(D\)), соединённых с помощью конвейерной ленты (рис. 1). Толщиной ленты по сравнению с радиусом роликов можно пренебречь. Ролик \(L_1\) немагнитный. Ролик \(L_2\) является магнитным, и магнитное поле вокруг меняется по следующему закону

\[B(r)=\left|\vec{B}\right|=B_0e^{-r/a}\]где \(r\) – расстояние от поверхности ролика в радиальном направлении, \(a\) – некоторая константа. Магнитный ролик вращается с угловой скоростью \(\omega\), которая поддерживается электромотор. Частицы минералов поступают из ящика на ленту конвейера, а по ней – к магнитному ролику. Трение между лентой и магнитным роликом достаточно велико, чтобы предотвратить проскальзывание между ними

Следующие математические формулы могут быть полезны:

\[\coth{x}=\cfrac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}= \begin{cases} 1+e^{-2x}\quad\text{для}\quad x\to{\infty}\\ \cfrac{1}{x}+\cfrac{x}{3}-\cfrac{x^3}{45}\quad\text{для}\quad x\to{0} \end{cases},\]\[e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\cfrac{x^n}{n!}\approx{1+\cfrac{x}{1!}+\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^3}{3!}+{...}}\]

В данной части мы обсудим модель этого магнитного сепаратора, учитывая только магнитные и гравитационные силы.

Часть А. Магнитная восприимчивость материалов

Изучим свойства парамагнитных материалов.

Рассмотрим минерал, состоящий из магнитных атомов \(X\) концентрацией \(n\), каждый атом обладает магнитным моментом \(p\) . Концентрация мала, поэтому можно пренебречь взаимодействием магнитных моментов атомов друг с другом. В отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты атомов направлены случайным образом, в результате намагниченность \(\vec{M}\) равна нулю. Намагниченность вещества – магнитный момент единицы объёма вещества. Во внешнем магнитном поле атомы упорядочиваются вдоль направления внешнего магнитного поля \(\vec{B}\), у материала появляется магнитный момент, получается ненулевая намагниченность.

Согласно квантовой механике, проекция магнитного момента атома на направление поля (выберем ось \(z\) вдоль него) равна:

\[p_z=g_j\mu_Bm\]где \(m\) – число, принимает значения из множества \(\{j,j-1,j-2,\dots,-j\}\) где \(j\) – неотрицательное целое или полуцелое число, характеризующее атом \(X\), \(\mu_B=0{,}93\cdot{10^{-23}}~\text{А}\cdot{\text{м}^2}\) – магнетон Бора, и \(g_j\) – так называемый фактор Ланде. Вероятность \(W(p_z)\) проекции магнитного момента на направление магнитного поля принять значение \(p_z\) равна

\[W(p_z)=Ae^{-\frac{U_B}{kT}}\]где \(A\) – нормировочная константа, \(U_B\) – энергия магнитного момента в магнитном поле, \(T\) – температура, \(k\) – постоянная Больцмана. Можно показать, что средние значения проекции магнитного момента на оси \(x\) и \(y\) равны нулю.

A1. Найдите среднее значение \(\langle p_z\rangle\) компоненты магнитного момента атома \(X\) на ось \(z\), находящегося в магнитном поле \(\vec{B}\) при температуре \(T\), как функцию параметра \(\alpha=\frac{g_j\mu_BB}{kT}\).

A2. Укажите выражение для \(\langle p_z\rangle\) в предельном случае \(\alpha\to{0}\) (то есть для случаев, когда магнитная энергия намного меньше тепловой энергии). Рассмотрите так же случай \(\alpha\to{\infty}\). Приведите схематический график зависимости \(\langle p_z\rangle\) от параметра \(\alpha\).

Магнитная восприимчивость \(\chi\) характеризует магнитные свойства вещества. В слабом магнитном поле \(\vec{B}\) восприимчивость определяется как \(\chi=\frac{\mu_0M}{B}\), где \(M\) намагниченность, \(\mu_0\) – магнитная проницаемость вакуума. Считайте магнитное поле слабым, то есть параметр \(\alpha\ll{1}\).

A3. Вычислите магнитную восприимчивость \(\chi\). Ответ выразите через концентрацию атомов \(n\), температуру \(T\), фактор Ланде \(g_j\), параметр \(j\), и фундаментальные константы.

Часть B. Магнитный сепаратор

Давайте рассмотрим описанную выше модель магнитных сепараторов.

Зависимость индукции магнитного поля \(B\) в точке от расстояния \(r\) от этой точки до поверхности магнитного ролика вдоль радиального направления представлена в таблице:

B1. Используя данные в таблице, определите численные значения параметров \(B_0\) и \(a\) из уравнения (1). Запишите формулы, по которым вы их определили.

Здесь и далее для расчётов используйте следующие численные значения параметров задачи:

Рассмотрим частицы из одного парамагнитного минерала со средней магнитной восприимчивостью \(\chi_1\) и плотностью \(\rho_1\). Считайте частицы сферическими. Также считайте, что магнитные моменты частиц, помещённых в магнитное поле ролика, находятся в их центре.

Радиус частиц – \(R_0\). Сборный лоток располагается под магнитным роликом на расстоянии \(d\) от него (рис. 1). Угловая скорость ролика равна \(\omega_0\). Взаимодействием между магнитными моментами частиц можно пренебречь. Магнитной силой, действующей на частицы, которые покинули ролик, также можно пренебречь.

Когда индукция магнитного поля меняется на малую величину \(dB\) изменение энергии частицы записывается как \(dE=-\vec{P} \cdot d\vec{B}\), где \(\vec{P}\) – магнитный момент частицы.

B2. Чему равна энергия частицы в поле \(\vec{B}\)? Выразите ответ через индукцию магнитного поля \(B\), магнитную восприимчивость материала частицы \(\chi_1\) и её объём \(V\).

B3. Найдите выражение для положения лотка \(x\), в котором он собирает минеральные частицы. Найдите численное значение для \(x\).

Предположим, что минеральные частицы являются сферами разных радиусов. Относительное отклонение радиуса от среднего не превышает \(10\%\), то есть \(\left|\frac{R_0-R}{R_0}\right|\leq{0.1}\), где \(R\) и \(R_0\) – радиус конкретной частицы и средний радиус всех частиц соответственно. Угловая скорость ролика \(\omega_0\).

B4. Найдите выражение и численное значение для ширины пучка частиц \(\Delta_0\) в направлении оси \(x\) около лотка.

Смесь из частиц состоящих из двух разных минералов с магнитными проницаемостями \(\chi_1\) и \(\chi_2\) и плотностями \(\rho_1\) и \(\rho_2\) соответственно. Считайте средние радиусы частиц двух разных минералов равными \(R_0\).

B5. Найдите выражение для угловой скорости магнитного ролика \(\omega\), при которой можно отдельно получить частицы двух типов. Найдите численное значение \(\omega\). Считайте известной ширину обоих лотков \(\Delta\).

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Энергия магнитного диполя \(\vec{p}\) в магнитном поле \(\vec{B}\) равна \(-\vec{p} \cdot \vec{B}\) поэтому \(U_B = -p_z B\).

Вероятность того, что \(m\) конкретного атома принимает хоть какое-то значение должна быть равна 1, поэтому

\[\sum_{m=-j}^{j} A e^{\frac{g_j\mu_BB}{kT}m}=A \sum_{m=-j}^{j} e^{\alpha m} = A e^{-\alpha j} \frac{e^{(2j+1)\alpha} - 1}{e^{\alpha} - 1} = A\frac{\sinh \left(j+\frac{1}{2}\right)\alpha}{\sinh \frac{\alpha}{2}} = 1.\]Среднее значение \(\langle p_z \rangle\) найдем по определению:

\[\langle p_z \rangle = \sum p_z W(p_z) = A g_j \mu_B \sum_{m=-j}^{j} m e^{\alpha m}.\]Сумму \(\sum\limits_{m=-j}^{j} m e^{\alpha m}\) можно найти, как

\[\sum\limits_{m=-j}^{j} m e^{\alpha m} = \frac{d}{d\alpha} \left( \sum\limits_{m=-j}^{j} e^{\alpha m} \right) = \frac{\left( j + \frac{1}{2} \right) \cosh \left[ \left( j + \frac{1}{2} \right) \alpha \right] \sinh \frac{\alpha}{2} - \frac{1}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \sinh \left[ \left( j + \frac{1}{2} \right)\alpha \right]}{\sinh^2 \frac{\alpha}{2}}.\]

Итого

\[\langle p_z \rangle = g_j \mu_B \left( \left(j+\frac{1}{2} \right) \coth \left[ \left(j + \frac{1} {2} \right) \alpha \right] - \frac{1}{2} \coth \frac{\alpha}{2}\right)\]

Ответ:

\[\langle p_z \rangle = g_j \mu_B \left( \left(j+\frac{1}{2} \right) \coth \left[ \left(j + \frac{1} {2} \right) \alpha \right] - \frac{1}{2} \coth \frac{\alpha}{2}\right)\]

A2. Для \(\alpha \to 0\) воспользуемся формулой \(\coth x \simeq 1/x+x/3\) и получим

\[\left(j+\frac{1}{2} \right) \coth \left[ \left(j + \frac{1} {2} \right) \alpha \right] - \frac{1}{2} \coth \frac{\alpha}{2} \simeq \frac{\alpha}{3}j(j+1)\]то есть при \(\alpha \to 0\)

\[\langle p_z \rangle \simeq \frac{j(j+1)}{3} \alpha g_j \mu_B.\]

Для \(\alpha \to \infty\) воспользуемся формулой \(\coth x \simeq 1 + e^{-2x}\) и получим (при \(j \neq 0\))

\[\left(j+\frac{1}{2} \right) \coth \left[ \left(j + \frac{1} {2} \right) \alpha \right] - \frac{1}{2} \coth \frac{\alpha}{2} \simeq j - \frac{1}{2} e^{-\alpha}\]то есть при \(\alpha \to \infty\)

\[\langle p_z \rangle \simeq g_j \mu_B \left( j - \frac{1}{2} e^{-\alpha} \right).\]

Ответ:

\[\langle p_z \rangle \simeq \begin{cases} \frac{j(j+1)}{3} \alpha g_j \mu_B, \quad &\alpha \to 0\\ jg_j \mu_B, \quad &\alpha \to \infty \end{cases}\]

A3. По определению \(M\) - объемная намагниченность, то есть \(M = n \langle p_z \rangle\). Таким образом

\[\chi \simeq \frac{j(j+1)}{3} \frac{n \mu_0 g_j^2 \mu^2_B}{kT}\]

Ответ:

\[\chi \simeq \frac{j(j+1)}{3} \frac{n \mu_0 g_j^2 \mu^2_B}{kT}\]

B1. Зависимость \(\ln (B/\text{Тл})\) от \(r\) должна быть линейной:

\[\ln \frac{B}{\text{Тл}} = \ln \frac{B_0}{\text{Тл}} - \frac{r}{a}.\]Пересчет точек и нахождение коэффициентов с помощью МНК приводит к таким результатам:

\[B_0 = 1.0~\text{Тл}, \quad a=2.25~\text{мм}\]

B2. Магнитный момент частицы:

\[P = VM = V \frac{\chi_1 B}{\mu_0}.\]Изменение энергии частицы при увеличении внешнего поля:

\[dE = -V \frac{\chi_1}{\mu_0} B dB,\]поэтому

\[E = -\frac{V \chi_1 B^2}{2\mu_0}\]

Ответ:

\[E = -\frac{V \chi_1 B^2}{2\mu_0}\]

B3. Найдем силу \(F\) с которой частица взаимодействует с роликом:

\[F = -\frac{dE}{dr} = -\frac{dE}{dB} \frac{dB}{dr} \bigg|_{r=R_0} = -V \frac{\chi_1 B_0^2}{\mu_0 a} e^{-2R_0/a},\]где знак минус указывает на притяжение.

В момент отрыва сила нормальной реакции равна нулю, поэтому условие отрыва:

\[F = mg \cos \alpha + m \omega^2\frac{D}{2}.\]

Тогда угол \(\alpha\), которому соответствует отрыв:

\[\cos \alpha = \frac{\chi_1B_0^2}{\mu_0 a \rho_1 g} e^{-2R_0/a} - \frac{\omega^2D}{2g} > 1, \qquad(1)\]значит отрыв происходит при \(\alpha=0\).

Будем пренебрегать \(D\) по сравнению с \(d\). Тогда частица при любых \(\alpha\) в масштабах \(d\) вылетает из одной точки под углом \(\alpha\) к горизонтали в момент отрыва. Найдем время полета \(t\):

\[d = \frac{\omega D}{2} \sin \alpha t + \frac{gt^2}{2} \quad \Rightarrow \quad t = -\frac{\omega D}{2g} \sin \alpha + \sqrt{\frac{\omega^2 D^2}{4g^2} \sin^2 \alpha + \frac{2d}{g}} \qquad(2)\]Воспользуемся тем, что \((\omega D / g)^2 \ll d/g\): \(t=\sqrt{2d/g}\). Тогда с учетом \(\alpha = 0\)

\[x = \frac{D}{2} \sin \alpha - \frac{\omega D}{2} \cos \alpha \sqrt{\frac{2d}{g}} =-\frac{\omega D}{2} \sqrt{\frac{2d}{g}}\]

Ответ:

\[x =-\frac{\omega D}{2} \sqrt{\frac{2d}{g}}=-22.7~\text{см}\]

B4. Для частиц разного размера может отличаться \(\cos \alpha\) и эффективный диаметр \(D\). Для указанного диапазона размеров все частицы отрываются в нижней точке, а \(D\) меняется в диапазоне \([D+1.8R_0,D+2.2R_0]\). Также в ширину пучка вносит вклад размер самих частицы

\[\Delta_0 = \left|\frac{dx}{dD}\right| \cdot 0.4R_0 + 2R_0 = 2.1~\text{мм}\]

Ответ:

\[\Delta_0 = \left|\frac{dx}{dD}\right| \cdot 0.4R_0 + 2R_0 = 2.1~\text{мм}\]

B5. Согласно уравнению (1) максимально значение \(\cos \alpha\), то есть минимальный угол \(\alpha_\text{min}\), когда происходит отрыв, задается выражением

\[\cos \alpha_\text{min}= \frac{\chi B_0^2}{\mu_0 a \rho g} e^{-2R_0/a} \quad \Rightarrow \quad \cos \alpha_\text{min,1}=2.44, \quad \cos \alpha_\text{min,2}=0.29,\]таким образом частицы 1-го типа могут отрываться в любом месте диска, а частицы 2-го типа при \(\alpha \geq \alpha_\text{min,2}=\arccos 0.29\).

Нижнее ограничение на угловую скорость мы получаем в том случае, когда частицы первого типа отрываются в самом низу, а частицы второго типа отрываются при каком-то \(\alpha_2\).

Верхнее ограничение на угловую скорость мы получаем в том случае, когда частицы первого типа отрываются при каком-то \(\alpha_1\), а частицы второго типа отрываются немного ниже.

Расстояние \(\Delta x\) между частицами двух типов приравняем к \(\Delta\), считая это критерием разделения.

Для первого случая найдем угол \(\alpha_1\), когда частицы 2-го типа должны отрываться (частицы 1-го типа отрываются при \(\alpha=0\)):

\[\left( \frac{D}{2} \sin \alpha - \frac{\omega D}{2} \cos \alpha \sqrt{\frac{2d}{g}} \right) - \left(-\frac{\omega D}{2} \sqrt{\frac{2d}{g}}\right) = \Delta\]для анализа удобнее выразить \(\omega\) из уравнения (1) и подставить:

\[\sin \alpha + \left(1 - \cos \alpha \right) \sqrt{\frac{d}{D}} \sqrt{ \frac{\chi_2 B_0^2}{\mu_0 a \rho_2 g}e^{-2R_0/a}-\cos \alpha} = 1.\]Это уравнение не имеет решений, поэтому нижняя граница реализуется в случае, когда \(\alpha_2=\pi/2\):

\[\frac{D}{2} + \frac{\omega D}{2} \sqrt{\frac{2d}{g}}=\Delta, \quad \omega_\text{min} = \left( \frac{2 \Delta}{D} - 1 \right) \sqrt{\frac{g}{2d}}=2\pi \cdot 190 ~ \text{мин}^{-1}\]Для второго случая

\[\frac{D}{2} - \left( \frac{D}{2} \sin \alpha - \frac{\omega D}{2} \cos \alpha \sqrt{\frac{2d}{g}} \right) = \Delta.\]Также выразим \(\omega\) через \(\alpha\) с помощью уравнения (1), описывающего отрыв:

\[\sin \alpha - \cos \alpha \sqrt{\frac{d}{D}} \sqrt{ \frac{\chi_2 B_0^2}{\mu_0 a \rho_2 g}e^{-2R_0/a}-\cos \alpha} = 1 - \frac{2\Delta}{D}.\]Это уравнение также не имеет решений, значит нужно перестать работать в приближении \((\omega D/g)^2 \ll d/g\) то есть заменить \(\sqrt{2d/g}\) на \(\frac{\omega D}{2g} \sin \alpha + \sqrt{\frac{\omega^2 D^2}{4g^2} \sin^2 \alpha + \frac{2d}{g}}\) согласно (2). Тогда численное решение дает \(\alpha_1=0.629\) и \(\omega_\text{max}=2\pi \cdot 270~\text{мин}^{-1}\).

Ответ:

\[\omega_\text{min} = \left( \frac{2 \Delta}{D} - 1 \right) \sqrt{\frac{g}{2d}}=2\pi \cdot 190 ~ \text{мин}^{-1}\]\[\omega_\text{max}=2\pi \cdot 270~\text{мин}^{-1}\]

Перевод: pho.rs.

Воздушная подушка часто используется чтобы перемещать тяжелые грузы. В этой задаче мы исследуем принцип ее работы, который схематично изображен на рисунке ниже.

Рассмотрим следующую конфигурацию системы. Под платформой расположено цилиндрическое пространство диаметром \(D=40~\text{см}\) и высотой \(h=10~\text{см}\), в которое нагнетается воздух. Температура окружающего воздуха равна \(T_0=300~\text{К}\), атмосферное давление \(P_{atm}=1.01\cdot 10^5~\text{Па}\). Вес платформы и окружающих конструкций составляет \(W=78.48~\text{кН}\). Когда сила давления воздуха превышает эту величину, платформа приподнимается, образуя с поверхностью зазор ширины \(\varepsilon\). Считайте, что компрессор поддерживает постоянный поток воздуха.

В задаче воздух можно считать идеальным газом. Течение газа считать адиабатическим и равновесным. Нас в основном будут интересовать стационарные режимы работы.

Для численных расчетов в задаче используйте значения молярной массы воздуха \(\mu=29.0~\text{г/моль}\) и \(\gamma=c_P/c_V=1.4\). Также для удельных теплоемкостей при постоянном давлении и объеме справедливо соотношение \(c_P-c_V=r\), где \(r=287~\text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}\), и уравнение состояния можно записать в виде \(P=\rho rT\).

Часть A. Равновесие платформы (1 балл)

A1. Выразите \(c_V\) и \(c_P\) через \(r\) и \(\gamma\). Найдите их значения.

A2. Как зависит отношение давления в цилиндрической полости к атмосферному \(P_0/P_{atm}\) от веса платформы и геометрических параметров системы?

Часть B. Основы работы воздушной подушки (5.5 балла)

Массовый расход газа при истечении через зазор у поверхности. задается выражением \(dm/dt=\rho vA\), где \(v\) и \(\rho\) — скорость и плотность вытекающего газа.

Рассмотрим некоторый скачок плотности и давления газа, распространяющийся со скоростью \(c\) в трубке единичного сечения. Возмущённая область газа движется со скоростью \(v\), а невозмущённая покоится. Пусть давление и плотность в возмущенной области газа равны \(P\) и \(\rho\) соответственно, а в невозмущенной — \(P_0\) и \(\rho_0\) соответственно. Температура в невозмущённой области газа равна \(T\).

Некоторые из дальнейших рассуждений удобно проводить в системе отсчёта, в которой волновой фронт (граница невозмущенной области) покоится.

B1. Выразите скорость движения возмущенной области газа \(v\) через \(c\), \(\rho\) и \(\rho_0\).

B2. Выразите разность давлений \(P-P_0\) через \(\rho\), \(\rho_0\), и \(c\).

B3. Выразите \(c\) через \(\gamma, r, T\).

B4. Рассчитайте скорость звука в воздухе при заданной температуре \(T_0\) окружающей среды.

Когда газ вытекает из-под платформы, он адиабатически расширяется, и его температура \(T\) будет отличной от \(T_0\).

Для удобства можно ввести число Маха, равное \(M=v/c\), где \(c\) - скорость звука в вытекающем газе, таким образом массовый расход можно переписать в виде \(dm/dt=\rho AMc\).

B5. Выразите массовый расход \(dm/dt\) через \(M, \gamma, T/T_0\) и соотношение \(P_0A\gamma/c_0\), где \(c_0\) — скорость звука при температуре \(T_0\).

B6. Выразите скорость газа \(v\) через \(M, T, r\) и \(\gamma\).

B7. Используя уравнение Бернулли для сжимаемого газа в виде \(\cfrac{v^2}{2}+c_PT=\mathrm{const}\), найдите отношение температур \(T/T_0\) через \(M\) и \(\gamma\).

Часть C. Критический режим течения газа (2.0 балла)

Можно показать, что когда газ течет из узкого места в широкое, скорость потока \(v\) не может превысить скорость звука в этой среде (т.е. \(M\le1\)). Когда нагнетаемый поток воздуха меняется, меняется и скорость истечения газа \(v\). Для достаточно больших потоков, скорость \(v\) может достичь максимального значения \(c\).

C1. Выразите \(dm/dt\) через \(M, \gamma\) и \(P_0A\gamma/c_0\), и схематично нарисуйте эту зависимость от \(M\) для \(M\in[0;1]\). Найдите такое значение \(M\), для которого поток достигает своего максимального значения (этот режим называется критическим).

C2. Пусть компрессор выдает поток \(5.0~\text м^3/\text{мин}\). Рассчитайте значения \(\varepsilon, T, P, v\) и \(\rho\) выходного потока в критическом режиме.

Часть D. Неровность поверхности (1.5 балла)

На практике неровности поверхности не позволяют зазору \(\varepsilon\) принять значение выше 0.5 мм, таким образом критический режим не может быть достигнут.

D1. Рассчитайте значения \(M, T, P, v\) и \(\rho\) вытекающего газа при \(\varepsilon=0.5~\text{мм}\) и \(dm/dt=0.1~\text{кг/с}\).

Источник: Азиатская физическая олимпиада (APhO) 2018, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.