APhO 2019, теоретический тур

Введение

Доведение идеи квантовых вычислений до прикладных разработок — одна из важных задач современных науки и технологий. Один из подходов к решению этой задачи — управление одиночными электронами в транзисторах с помощью переменных электромагнитных полей.

В этой задаче мы разберемся, как с помощью одноэлектронных транзисторов и рефлектометрии можно считать состояние квантового бита информации в прототипах квантовых компьютеров.

В частях А и B обсуждается распространение радиоволн вдоль проводов и линий электропередач. В части С рассматриваются условия отражения волн. В части D описывается одноэлектронный транзистор, а в части E и F обсуждается метод рефлектометрии.

Часть A. Модель коаксиального провода (2 балла)

Когда рассматривается постоянный ток или низкочастотные сигналы, предполагается, что он распространяется по цепи мгновенно. Такое предположение верно, если длина волны таких сигналов много больше размеров цепи. Но когда рассматриваются радиоволны, распространение становится более сложным, и нужно учитывать емкость и индуктивность проводов.

В этой задаче считайте, что электрическое и магнитное поле перпендикулярны оси провода (так называемая поперечная электромагнитная мода).

Рис. 1. Устройство коаксиального провода (С — центральная жила, I — диэлектрик, S — металлическая оплетка, J — изоляционный материал)

В проводе центральная медная жила радиуса \(a\) окружена медной оплеткой внутреннего радиуса \(b\) (рис. 1). Между ними находится диэлектрик (диэлектрическая проницаемость \(\varepsilon_r\), магнитная проницаемость \(\mu_r\)). Сопротивлением меди можно пренебречь.

Когда электромагнитный сигнал распространяется в проводе, он ограничен центральной жилой и внешней оплеткой.

A1. С какой скоростью распространяются электромагнитные волны в коаксиальном проводе?

A2. Пусть участок центральной жилы длиной \(\Delta x\) заряжен зарядом \(\Delta q\), а внешняя оплетка заземлена. Найдите электрическое поле между центральной жилой и оплеткой.

A3. Найдите емкость \(C_x\) единицы длины коаксиального провода.

A4. Найдите индуктивность \(L_x\) единицы длины провода.

Кабель целиком можно представить как емкости и индуктивности его малых участков. Будем считать, что индуктивность провода — это характеристика центральной жилы, а емкости характеризуют диэлектрик между проводниками (рис. 2).

Рис. 2. Эквивалентная схема длинного коаксиального провода

A5.

1. Покажите, что импеданс \(Z_0\) полубесконечного провода равен \(Z_0=\sqrt{L_x/C_x}\).

2. Рассчитайте численное значение \(b/a\), если импеданс провода \(Z_0=50\ \Omega\), а параметры диэлектрика — \(\varepsilon_r=4.0\) и \(\mu_r=1.0\).

Часть B. Линия электропередачи (1 балл)

Рассмотрим одну из возможных реализаций линии электропередачи. Сигнал передается по очень тонкому проводнику радиуса \(a\), который находится на расстоянии \(d\gg a\) от заземленной хорошо проводящей плоскости (рис. 3). Вещество, окружающее проводник, обладает диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon_r\) и магнитной проницаемостью \(\mu_r\). Обратно ток течет по заземленной плоскости.

Рис. 3. Схема линии электропередачи (C – проводник радиуса \(a\), расположенный на расстоянии \(d\) от заземленной плоскости P)

B1. Найдите импеданс такой линии электропередачи.

Часть C. Основы рефлектометрии (1.2 балла)

Электромагнитная волна может распространяться по линии в двух противоположных направлениях. Для обоих направлений импеданс \(Z_0\) связывает амплитуду напряжения \(V_0\) и тока \(I_0\) как \(Z_0=V_0/I_0\).

Рассмотрим соединение двух линий с импедансами \(Z_0\) и \(Z_1\) (рис. 4).

Рис. 4. Схема соединения двух линий с импедансами \(Z_0\) и \(Z_1\). Размер участка, который их соединяет, много меньше длины волны

Когда сигнал амплитуды \(V_i\), распространяющийся в линии с импедансом \(Z_0\), достигает места соединения, он частично проходит во вторую линию и распространяется дальше (амплитуда прошедшего сигнала \(V_t\)), а частично отражается и распространяется в обратном направлении в той же линии, что и исходный сигнал (амплитуда отраженного сигнала \(V_r\)).

C1. Найдите коэффициент отражения \(\Gamma=V_\text{r}/V_\text{i}\) в месте соединения линий.

C2. Укажите условие(я), при которых фаза исходного сигнала \(V_i\) изменяется на \(\pi\) при отражении.

Часть D. Одноэлектронный транзистор (3.3 балла)

Упрощенная схема одноэлектронного транзистора (single electron transistor, SET) представлена на рисунке 5. Квантовая точка (quantum dot, QD) — малый изолированный проводник и поблизости расположенные электроды. На квантовой точке могут накапливаться электроны, попадающие на нее туннельными переходами через электроды S и D на схеме. Затвор G —контакт QD с третьим электродом — эквивалентен конденсатору, указанному на схеме (рис. 5).

Рис. 5. Схема одноэлектронного транзистора. QD — квантовая точка, S и D — туннельные переходы, G — эквивалентный конденсатору затвор

Емкостью \(C_t\) туннельных переходов можно пренебречь и считать емкость \(C_g\) затвора полной емкостью квантовой точки. В данной части задачи потенциал на электродах S и D поддерживается нулевым, а на затворе — равным \(V_g\).

D1. Пусть QDсодержит \(n\) электронов.

1. Найдите потенциал \(\varphi_n\) на QD.

2. Найдите энергию \(\Delta E_n\), которая необходима еще одному электрону для попадания на QD.

При \(\Delta E_n <0\) электроны перетекают на QD, пока их количество не достигнет такого \(\mathcal{N}> n\), что \(\Delta E_{\mathcal{N}} \ge 0\). Соответствующие этому равновесию число \(\mathcal{N}\) и добавочную энергию \(\Delta E_{\mathcal{N}}\) можно задать, подстраивая значение потенциала \(V_g\).

D2. Найдите \(E_c=\max \Delta E_{\mathcal{N}}(V_g)\) — максимальную из равновесных добавочных энергий, достижимых подстройкой потенциала \(V_g\).

В случае, когда \(\Delta E_{\mathcal{N}}=0\), переход электронов на QD

не требует дополнительных затрат энергии и SET

находится в проводящем состоянии (ON).

В другом случае, когда \(\Delta E_{\mathcal{N}}>0\), SET

проводит ток слабо, т.е. находится в состоянии OFF.

Состояния ON

и OFF

хорошо различимы, если выполнен ряд условий.

Во-первых, тепловой энергии электронов на электродах S

и D

не должно хватать для перехода на QD.

D3. Найдите, какому условию должна удовлетворять температура электронов, чтобы они не могли перейти на QD.

Во-вторых, туннелирование электронов на QD и обратно ограничивает время жизни энергетических состояний. Туннельный переход можно считать резистором, через который QDразряжается за время, совпадающее с характерным временем туннелирования.

D4.

1. Напишите оценку времени туннелирования, используя емкость \(C_t\) и сопротивление \(R_t\) туннельного перехода.

2. Найдите соотношение, которому должно удовлетворять \(R_t\), чтобы состояния ONи OFFне перекрывались.

Часть E. Изучение состояния SET-транзистора с помощью рефлектометрии (1 балл)

Будем считать, что в ON-состоянии SETэквивалентен сопротивлению \(R_{\text{ON}}=100 \, \text{k} \Omega\), а в OFF-состоянии является изолятором. Рефлектометрия позволяет определить состояние SET, проведя измерения амплитуды и фазы отраженного от SETсигнала и вычислив коэффициент отражения \(\Gamma\).

При переключении SETиз состояния ONв состояние OFFкоэффициент отражения меняется на: \[\Delta\Gamma = |\Gamma_\text{ON} - \Gamma_\text{OFF}|,\] где \(\Gamma_{\text{ON}}\) и \(\Gamma_{\text{OFF}}\) — коэффициенты отражения в этих состояниях.

Рис. 6. Схема подключения линии (имеющей импеданс \(Z_0\)) к SET

E1. Вычислите \(\Delta \Gamma\) для SET, подключенного к линии с импедансом \(50\ \Omega\) (рис. 6).

Для увеличения \(\Delta \Gamma\) (и, соответственно, чувствительности рефлектометрии) в цепь включают индуктивность (рис. 7). Учтите, кроме того, технологически неизбежную внутреннюю емкость \(C_0\approx0.4\: \textrm{пФ}\). Рефлектометрия проводится сигналом угловой частоты \(\omega_\text{rf}\).

Рис. 7. Измененная схема подключения линии к SET

E2. Найдите условие на \(L_0\), необходимое для того, чтобы \(\Delta \Gamma\) было порядка единицы.

Для случая \(\omega_{\text{rf}}/(2\pi)=100\: \textrm{МГц}\) вычислите \(L_0\) и соответствующее ей \(\Delta \Gamma\).

Часть F. Регистрация заряда с помощью квантовой точки с одним электродом (1.5 балла)

В практических применениях количество электродов, подходящих к квантовым точкам, стремятся уменьшить. В квантовых точках с одним электродом (Single Lead Quantum Dot, SLQD) отсутствуют электроды Sи G, а через затвор Gосуществляется и управление состоянием QD, и рефлектометрия.

SLQDв OFF-состоянии является изолятором, как и SET.Однако, в отличие от SET,SLQDв ON-состоянии эквивалентен конденсатору емкости \(C_\text{q}\). Для максимизации \(\Delta\Gamma\) собирают изображенную на рисунке 8 схему. Емкость \(C_0\approx0.4\: \textrm{пФ}\) конструктивно неизбежна и фиксирована, а индуктивность \(L_0\) и частота сигнала \(\omega_\text{rf}\) могут быть выбраны такими, чтобы оптимизировать измерения. Импеданс линии \(Z_0=50 \, \Omega\).

Рис. 8. Схема подключения линии к SLQD

F1. Предложите, как выбрать \(\omega_\text{rf}\) и \(Z_\text{C}=\sqrt{L_0/C_0}\), чтобы получить \(\Delta\Gamma \sim 1\) при фиксированных \(C_0\) и \(C_q\). В ответ запишите формулы для нахождения \(\omega_\text{rf}\) и \(Z_{\text{C}}\).

Подбираемые оптимальные значения индуктивности \(L_0\) довольно велики и не всегда реализуемы. Поэтому для увеличения чувствительности рефлектометрии иногда требуется использовать элементы другого типа.

F2. Ставится цель получить \(\Delta \Gamma \sim 1\), не прибегая к использованию значительных \(L_0\). Считая \(L_0\) (и, таким образом, \(Z_C\)) фиксированной, нарисуйте схему, задействующую еще один элемент при подключении линии к SLQD.Найдите выражение для номинала этого элемента.

Введение

Активные ядра галактик (АЯГ) состоят из сверхмассивных черных дыр в центре и излучают большое количество энергии и частиц. Одной из их особенностей являются джеты, которые можно наблюдать с помощью электромагнитных волн, в том числе регистрируя рентгеновское излучение. Джеты (релятивистские струи) представляют собой потоки релятивисткой плазмы, длиной порядка \(10^{20}~м\), то есть десятки тысяч световых лет. Рентгеновское излучение джетов объясняется синхротронным излучением релятивистских электронов прецессирующих в магнитном поле джета.

Рис. 1. Рентгеновское изображение джета от Centaurus A АЯГ. Темные области на светлом фоне соответствуют более яркой интенсивности рентгена. Такие области называются узлами. (Snios et al., 2019)

Часть A. Модель джета как 1D (одномерное) течение жидкости (3.8 балла)

Джет можно описать так. Поток частиц является установившимся и направлен радиально от центра АЯГ. Поэтому его можно считать одномерным. Плазма находится в механическом равновесии с окружением. Предполагается, что джет набирает массу за счет того, что звезды внутри него теряют массу и отдают её джету.

Джет удобно описывать следующими параметрами: расстояние вдоль струи от АЯГ до некоторой точки \(s\), и радиус струи в этой плоскости \(r\) (рис. 2). Расстояния измеряются в парсеках, где \(1~\text{pc}=3.086\cdot 10^{16}~м\). Скорость потока джета направлена только вдоль струи и является функцией только \(s\). Плазма джета состоит из электронов, протонов и некоторых заряженных ядер. Средняя энергия одной частицы в системе отсчета, которая движется вместе с некоторым рассматриваемым местом в джете (далее система отсчета джета), равна \(\epsilon_\text{av}=\mu_\text{pp}c^2 + h\), Слагаемое \(h\) включает в себя всю тепловую кинетическую энергию и потенциальную энергию. Слагаемое \(h\) зависит от давления \(P\) и концентрации частиц плазмы \(n\).

Звезды, которые находятся в джете, теряют часть своей атмосферы. В результате, в джет в единицу объема за единицу времени инжектируется масса \(\alpha\), которая находится в покое относительно АЯГ.

Данная модель может быть применена к джету Centaurus A. Полная мощность переносимая джетом равна \(P_\text{j} = 1\cdot 10^{36}\ \rm{Дж}\cdot \rm{с}^{-1}\). На рисунке 2 показана схема джета и указаны числовые значения его параметров. \(s_1\) координата начала джета, \(s_2\) координата конца джета. Средняя масса частицы джета равна \(\mu_\text{pp} = 0.59 m_\text{p}\), а \(h=\frac{13}{4}P/n\). Давление в плазме окружающей джет равно \[P(s) = 5.7 \cdot 10^{-12} \left(\frac{s}{s_0}\right)^{-1.5} \ \rm{Па},\] где \(s_0=1\ \text{kpc}\).

Рис. 2. Джет Centaurus A, показана геометрия джета относительно АЯГ

В некоторой точке \(s\) джет описывается следующими параметрами, каждый зависит от расстояния:

• радиус джета \(r(s)\) в системе отсчета АЯГ,

• площадь поперечного сечения \(A(s)\) в системе отсчета АЯГ,

• скорость течения джета \(v(s)\) в системе отсчета АЯГ,

• гамма-фактор джета \(\gamma(s)\) в системе отсчета АЯГ,

• концентрация частиц джета \(n(s)\) в системе отсчета джета.

В пунктах А1-4 считайте, что эти параметры известны.

A1. Найдите концентрацию частиц в системе отсчета АЯГ \(n'(s)\), через концентрацию частиц в системе отсчета джета \(n(s)\) и другие параметры. Система отсчета джета в каждой точке движется с той же скоростью, что и джет в этой точке.

A2. Найдите количество частиц в единицу времени \(F_p(s)\), которые пересекают сечение джета площадью \(A(s)\) на расстоянии \(s\) от АЯГ.

A3. Запишите уравнение непрерывности для количества частиц, втекающих и вытекающих из джета, через параметры \(s_1\) и \(s_2\), полный объём джета \(V\), и другие необходимые параметры.

A4. Запишите соотношение для энергий за единицу времени, втекающей и вытекающей из джета. Выразите эти величины через скорости джета, площади поперечного сечения, концентрации в системе отсчета джета в точках \(s_1\) и \(s_2\), полный объём джета \(V\) и другие необходимые параметры.

Мощность, переносимая джетом определяется как сумма всей кинетической энергии потока и полной тепловой энергии потока, поэтому: \[P_{\text j}(s)=F_{\text E}(s) - \dot{M}c^2,\] где \(F_{\text E}(s)\) — количество энергии за единицу времени, переносимой джетом через некоторое сечение в точке \(s\), и \(\dot{M}\) — масса, переносимая джетом через некоторое сечение на расстоянии \(s\) от АЯГ.

A5. Используйте ответы предыдущих частей и найдите \(\mathrm{d}P_\text{j}/\mathrm{d}s\).

A6. Вычислите \(\dot{M}_1\)в точке \(s_1\), и \(\dot{M}_2\) в точке \(s_2\),

A7. Найдите выражения для величины импульса переносимого за единицу времени \(\Pi\), через сечение джета Centaurus A. Также вычислите эту величину.

A8. Найдите и вычислите силу \(F_{\text{Pr}}\), действующую на джет и возникающую из-за внешнего давления.

A9. Запишите ожидаемое соотношение между \(\Pi\) и \(F_{\text{Pr}}\).

Также вычислите разницу (в процентах) между значением \(\Pi\) из A7 и ожидаемым значением.

Часть B. Газ ультрарелятивистских электронов (2.2 балла)

Рассмотрим газ ультрарелятивистских электронов (\(\gamma\gg 1\)), с изотропным распределением скоростей (не зависят от направления). Концентрация частиц с энергиями в интервале от \(\epsilon\) до \(\epsilon + \mathrm{d}\epsilon\) равна \(f(\epsilon) \ \mathrm{d}\epsilon\), где \(\epsilon\) — энергия одной частицы. Площадь стенки, с которой взаимодействует газ, равна \(\Delta A\).

B1. Запишите в виде интеграла выражение для полной энергии единицы объёма для газа электронов.

B2. Найдите выражение скорости изменения z-компоненты (перпендикулярной стенке) импульса \(\Delta p_\text{z}/\Delta t\) всех частиц газа ударившихся о стенку.

B3. Выведите уравнение состояния для газа ультрарелятивистских электронов, связывающее давление, объём и полную внутреннюю энергию.

B4. Выведите связь между давлением и объёмом для адиабатического процесса над ультрарелятивистским газом.

Часть C. Синхротронное излучение (1.7 балла)

В джетах из АЯГ содержится много высокоэнергетических электронов, которые в сильных магнитных полях излучают. Эти электроны можно считать ультрарелятивистскими: \(\gamma\gg 1\).

C1. Найдите выражение для угловой скорости прецессии \(\Omega\) электрона с гамма-фактором \(\gamma\). Угол между магнитным полем \(B\) и направлением движения электрона \(\phi\).

Так как электрон в магнитном поле движется ускоренно, он излучает электромагнитные волны. В системе, сопутствующей системе отсчета, которая движется с текущей скоростью электрона, нет выделенного направления для излучения. Однако, в системе отсчета наблюдателя ультрарелятивистские \(\gamma \gg 1\) электроны в основном излучают вперёд в конус с \(\theta \lesssim 1/\gamma\) (то есть, угол раствора конуса \(2/\gamma\)). Так как электрон прецессирует в магнитном поле, наблюдатель будет фиксировать только короткие вспышки излучения, так как линия наблюдения иногда оказывается в конусе.

Рис. 3.

Слева: распределение мощности излучения электрона, движущегося с ускорением, направленным вверх страницы. Система отсчета, в которой скорость в данный момент времени равна нулю

Справа: распределение мощности излучения того же электрона в системе отсчета наблюдателя. Большая часть излучается в конус вперёд

C2. Найдите продолжительность вспышек \(\Delta t\) синхротронного излучения, которые увидит наблюдатель. Гамма-фактор электрона \(\gamma\), угол между магнитным полем и направлением движения электрона \(\phi\).

C3. Отсюда оцените характерную частоту \(\nu_{\text{chr}}\) синхротронной вспышки.

Полная мощность синхротронного излучения: \[P_\text{s}=\frac{1}{6\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q^4 B^2 \sin^2\phi}{m^4c^5}\right) E^2.\]

C4. Оцените время \(\tau\) за которое электрон с энергией \(E\) потеряет свою энергию. Процесс называется синхротронным охлаждением.

Часть D. Синхротронное излучение АЯГ джета (2.3 балла)

Обычно распределение электронов по энергии в джете описывается степенным законом вида \(f(\epsilon)=\kappa \epsilon^{-p}\), где \(f(\epsilon) \ \mathrm{d}\epsilon\) — концентрация частиц с энергией в интервале от \(\epsilon\) до \(\epsilon + \mathrm{d}\epsilon\). Соответствующий спектр синхротронного излучения зависит от распределения энергии электронов, а не от спектра для отдельного электрона. Этот спектр таков:\[j(\nu)d\nu \propto B^{(1+p)/2} \nu^{(1-p)/2}\ \mathrm{d}\nu.\] Здесь \(j(\nu)\ \mathrm{d}\nu\) плотность излученной энергии фотонов в диапазоне частот от \(\nu\) до \(\nu+\mathrm{d}\nu\).

Наблюдение джета Centaurus A и других показало структуру с характерными яркими областями, названных узлами. Наблюдение этих узлов в течении долгого времени показало как их перемещение, так и изменение яркости. Уменьшение яркости происходит либо из-за адиабатического расширения газа в узлах, либо синхротронного охлаждения электронов в узлах.

Рассмотрим произвольный объём плазмы. Считайте, что магнитный поток через поверхность границы объёма остаётся постоянным, даже если объём изменил форму или размер.

D1. Сферический узел изотропно расширяется от объёма \(V_0\) до объёма \(V\). Начальное магнитное поле однородно и равно \(B_0\). найдите магнитное поле \(B\) в расширившемся узле.

D2. Найдите\(f(\epsilon)\), распределение электронов по энергиям, после адиабатического расширения сферического узла до объёма \(V\). Считайте, что при объёме \(V_0\) начальное распределение электронов по энергиям \(f_0(\epsilon)=\kappa_0 \epsilon^{-p}\), где \(f_0(\epsilon)\ \mathrm{d}\epsilon\) — есть концентрация электронов с энергией в диапазоне от \(\epsilon\) до \(\epsilon + \mathrm{d}\epsilon\).

D3. Рассмотрим как синхротронное охлаждение повлияет на распределение электронов. Рассмотрим распределение электронов по энергиям как функцию энергии \(\epsilon\). Как изменится функция спустя некоторое время синхротронного охлаждения? Станет ли она более пологой, крутой, или не изменится? Поясните свой ответ, рассмотрев два электрона с энергиями \(\epsilon_1<\epsilon_2\).

Таблица с данными наблюдений узлов (темных точек) в джетах двух АЯГ Centaurus A (Cen A) и M87

D4. В таблице листа ответов укажите, какая причина наиболее вероятна для уменьшения яркости каждого узла. Также укажите, на основе какого такого пункта задачи вы сделали вывод?

Китайский волчок — это особый волчок, который переворачивается при вращении. Представьте волчок, как усеченную сферу радиуса \(R\) cо стержнем на оси. Волчок симметричен относительно этой оси. Центр масс \(C\) волчка сдвинут относительно геометрического центра сферы на расстояние \(\alpha R\), как показано на рисунке 1a. Отклонение стержня от вертикали в любой момент времени характеризуется углом \(\theta\). Точка \(A\) — точка касания волчка с полом.

Если волчок такой формы раскрутить достаточно быстро, то стержень начнёт опускаться до тех пор, пока волчок не встанет и не начнёт вращаться на нём. Далее волчок начнёт замедляться и остановится.

Рис. 1 a,b.

Определим \(xyz\) как вращающуюся систему координат, в которой \(\widehat{\mathbf{z}}\) стационарна и направлена вверх. При этом ось симметрии волчка всегда располагается в плоскости \(xz\) (см. рисунок 1b). При виде сверху ось волчка всегда совпадает с осью \(x\).

На рисунке 2 показаны фазы движения волчка после раскручивания:

• (a) фаза I: сразу после начала вращения \((\theta\sim 0)\),

• (b) фаза II: через небольшое время после начала \((0<\theta<\pi/2)\),

• (c) фаза III: стержень впервые касается пола \((\theta> \pi/2)\),

• (d) фаза IV: после переворота волчок вращается на стержне \((\theta\sim\pi)\),

• (e) фаза V: установившееся вращение на стержне \((\theta = \pi)\).

Рис. 2.

Определим \(XYZ\), как неподвижную инерциальную систему координат. Плоскость \(XY\) — пол, на котором находится волчок. Выше определена система координат \(xyz\), она получается из \(XYZ\) вращением относительно оси \(Z\) на угол \(\phi\) (рис. 3a). В частности единичные векторы направляющих \(\widehat{\mathbf{z}} = \widehat{\mathbf{Z}}\).

Рис. 3 a,b.

Вращение твёрдого тела можно описывать углами Эйлера (\(\theta\), \(\phi\), \(\psi\)). Опишем через эти углы, переходы от неподвижной системы координат \(XYZ\) к промежуточной системе координат \(xyz\), и от промежуточной \(xyz\) к системе координат \(123\), жёстко связанной с волчком.

• Угол \(\theta\) — угол между осью симметрии волчка и осью \(Z\).

• Угол \(\phi\) — угол поворота относительно оси \(Z\) (угол между промежуточным единичным вектором \(\widehat{\mathbf{x}}\) и неподвижным \(\widehat{\mathbf{X}}\), а также между \(\widehat{\mathbf{y}}\) и \(\widehat{\mathbf{Y}}\)).

• Угол \(\psi\) — угол вращение относительно оси симметрии волчка.

Система координат \(123\) жёстко связана с волчком. Она получается из \(xyz\) вращением на угол \(\theta\) относительно единичного вектора \(\widehat{\mathbf{y}}\), таким образом вектор \(\widehat{\mathbf{3}}\) совпадает с осью симметрии волчка. Переход от системы координат \(xyz\) к \(123\) показан на рисунке 3b. В частости \(\widehat{\mathbf{2}} = \widehat{\mathbf{y}}\).

В процессе движения китайского волчка все три угла Эйлера (\(\theta\), \(\phi\), \(\psi\)), а также положение центра масс меняются. Нахождение полного решения о движении китайского волчка сложная задача для компьютерного моделирования.

В этой задаче требуется записать уравнения движения китайского волчка и сделать некоторые частные выводы из них.

В движении волчка ключевой является сила трения, возникающая между ним и полом. Считайте, что волчок касается пола в точке \(A\) до касания пола стержнем. Пусть \({\mathbf v}_A\)— скорость движения точки \(A\) волчка относительно пола. Коэффициент трения \(\mu_k\) между волчком и полом — это коэффициент трения скольжения. Сила трения скольжения \(|\mathbf{F_f}|=\mu_k N\), где \(\mathbf{F}_f= F_{f,x}\hat{\mathbf{x}} + F_{f,y}\hat{\mathbf{y}}\), а \(N\) — сила нормальной реакции опоры. Считайте, что изначально волчок только крутится относительно своей оси, начальный импульс волчка равен нулю.

Пусть \(m\) — масса волчка. Его моменты инерции: \(I_3\) относительно оси симметрии, а \(I_1=I_2\) относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс \(C\) в плоскости перпендикулярной оси симметрии. Пусть вектор \(\mathbf{s}\) определяет положение центра масс волчка, а \(\mathbf{a}=\overrightarrow{CA}\) вектор из центра масс в точку касания волчка и пола.

Все ответы дайте в системе отсчёта связанной с системой координат \(xyz\) (если не сказано обратного)!

Все моменты сил и моменты импульса рассматриваются относительно центра масс \(C\) (если не сказано обратного)!

При записи ответов считайте \(N\) известным!

Кроме части A8, считайте, что \(\theta < \pi/2\), и что стержень не касается пола!

A1. Найдите полную силу \(\mathbf{F_{\rm{ext}}}\), действующую на китайский волчок. Изобразите все действующие на волчок силы в проекции на плоскости \(xz\) и \(xy\). Укажите направление \({\mathbf v}_A\) на вашем рисунке в проекции на плоскость \(xy\).

A2. Найдите полный внешний момент действующих на волчок сил \(\vec{\pmb{\tau}}_{\rm{ext}}\) относительно центра масс.

A3. Покажите, что скорость точки \(A\) не имеет \(z\)-компоненты, т.е. можно записать \({\mathbf v}_A = v_x \hat{\mathbf{x}} + v_y \hat{\mathbf{y}}\). Если требуется, считайте условие для точки касания \((\mathbf{s}+\mathbf{a})\cdot\widehat{\mathbf{z}} = 0\) данным.

A4. Найдите полную угловую скорость \(\vec{\pmb{\omega}}\) вращения волчка относительно его центра масс \(C\). Ответ выразите через производные углов Эйлера:

• \(\dot{\theta}=\mathrm{d}\theta/\mathrm{d}t\),

• \(\dot{\phi}=\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}t\),

• \(\dot{\psi}=\mathrm{d}\psi/\mathrm{d}t\).

Дайте ответы в двух системах координат:

• в координатах \(xyz\),

• в координатах \(123\).

A5. Найдите Полную энергию движения волчка. Выразите ответ через производные углов Эйлера \(v_x\), и \(v_y\). Если записать ответ через \(\dot{\mathbf{s}}=\mathrm{d}\mathbf{s}/\mathrm{d}t\), то вы получите только часть баллов.

A6. Найдите скорость изменения \(z\)-компоненты момента импульса.

A7. Какие силы совершают работу кроме силы тяжести? Выразите через \(\mathbf{v}_A\) с какой скоростью меняется полная энергия волчка. В пункте A5 полная энергия состояла из нескольких частей. Определите компоненты сил и моментов сил, которые меняют распределение энергии между этими частями.

A8. Качественно изобразите следующие части полной энергии, как функции времени, в течение всех фаз движения китайского волчка (от I до V, показаны на рисунке 2): полная энергия \(E_T\), потенциальная гравитационная энергия \(U_G\), кинетическая энергия поступательного движения \(K_T\), кинетическая энергия вращения \(K_R\).

A9. Покажите, что компоненты момента импульса \(\mathbf L\) и угловой скорости \(\pmb{\omega}\), которые перпендикулярны единичному вектору \(\mathbf{\widehat{3}}\) пропорциональны друг другу, то есть \[\mathbf L\times \mathbf{\widehat 3}=k(\pmb\omega\times \mathbf{\widehat 3}).\] Определите коэффициент пропорциональности \(k\).

Интегралы движения — это величины, которые остаются постоянными в процессе движения. Такие величины часто значительно упрощают вычисления. Обычно это энергия, импульс или момент импульса.

A10. При движении китайского волчка не сохраняется ни энергия, ни момент импульса. Это происходит из-за диссипативных сил и момента внешних сил. Однако, сохраняется постоянной величина \(\lambda\), которая называется интегралом Желлета. Она показывает сохраняющуюся компоненту момента импульса. Это означает, что существует некоторый вектор \(\mathbf{v}\), такой что \(\lambda = \mathbf{L}\cdot\mathbf{v}\) постоянно во времени.

Используя результаты предыдущих пунктов, найдите \(\mathbf{v}\). Покажите, что производная \(\lambda\) по времени равна нулю.

Источник: Азиатская физическая олимпиада (APhO) 2019, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.