APhO 2021, теоретический тур

В этой задаче изучается поведение давления в жидкости, связанное с волнами в трубе. В заданиях рассматривается гидравлический удар, который проявляется при медленном и быстром перекрытии управляющих клапанов.

В задаче изучаются невязкие жидкости и их течение. Оно одномерное. Считайте, что трубы и клапаны жесткие, однако сжимаемость жидкости нужно иногда учитывать. Пусть элемент жидкости объема \(V_0\) находится в равновесии при давлении \(P_0\). Тогда если давление изменится на \(\Delta P\), то его объем изменится на \(\Delta V\), и он будет пропорционален \(\Delta P\): \[\Delta P = -B~ \frac{\Delta V}{V_0},\] где \(B\) — модуль всестороннего сжатия жидкости. Для воды можно считать, что плотность в состоянии равновесия равна \(\rho_0=1.0\cdot 10^3~кг/м^3\) и \(B=2.2~ГПа\).

Часть A. Избыточное давление и распространение волны давления (2.2 балла)

По цилиндрической трубе длины \(L\) в установившемся режиме течет вода в направлении \(+x\). Ее скорость \(v_0\), плотность \(\rho_0\) и давление \(P_0\). Как показано на рисунке 1, труба соединена с резервуаром глубины \(h\), а второй конец трубы открывается в атмосферу, где давление равно \(P_a\).

Пусть клапан на конце трубы мгновенно закрывают, и прилегающий к клапану элемент воды испытывает скачок давления \(\Delta P_{\mathrm{s}} \equiv P_1-P_0\) и скорости \(\Delta v =v_1-v_0\), причем \(v_1 \le 0\). Это вызывает продольную волну избыточного давления \(\Delta P_{\mathrm{s}}\), распространяющуюся в направлении \(-x\) со скоростью \(c\).

Рис. 1.

A1. Избыточное давление \(\Delta P_{\mathrm{s}}\) и скачок скорости \(\Delta v\) связаны следующим образом: \(\Delta P_{\mathrm{s}} = \alpha \rho_0c\Delta v\). Скорость распространения \(c\) представима в виде \(c=\beta + \sqrt{\gamma B/\rho_0}\).

Найдите \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\).

A2. Рассчитайте \(c\) и \(\Delta P_{\mathrm{s}}\), если параметры течения воды следующие: \(v_0=4.0~м/с\) и \(v_1=0\).

Часть B. Модель клапана, управляющего потоком (1 балл)

На рисунке 2 показана модель клапана \(\mathrm{T}\) и поток жидкости через него. Клапан представляется в виде короткого отрезка \(\Delta L\), радиуса \(R\) на конце \(A\) трубы. Выходное отверстие клапана имеет коническую форму, радиус суженной части равен \(r\). Клапан открывается в атмосферу, где давление равно \(P_a\). Силой тяжести, действующей на текущую жидкость, можно пренебречь.

Жидкость считать несжимаемой, а поток установившимся. Элемент жидкости на входе в клапан имеет скорость \(v_{\mathrm{in}}\), давление \(P_{\mathrm{in}}\) и плотность \(\rho_0\). На рисунке 2 линии тока и нормали к ним приведены только в качестве иллюстрации общей картины потока.

Рис. 2.

Известно, что после выхода струи из клапана в атмосферу, ее сечение будет уменьшаться, пока не достигнет минимального значения, когда линии тока оказываются снова параллельными. В этот момент скорость потока равна \(v_c\), а радиус сечения потока равен \(r_{\mathrm{c}}=r\sqrt C_{\mathrm{c}}\). Здесь \(C_{\mathrm{c}}\) — коэффициент сжатия, и он зависит от отношения \(r/R\) и угла \(\beta\). Зависимость приведена в Таблице 1.

Таблица 1

B1. Найдите избыточное давление \(\Delta P_{\mathrm{in}} =P_{\mathrm{in}}-P_{\mathrm{a}}\) на входе в клапан, где линии тока параллельны. Ответ выразите через \(\rho_0\), \(v_{\mathrm{in}}\), \(r\), \(R\) и \(C_{\mathrm{c}}\).

Во всех заданиях частей C и D рассматривается система труба-резервуар, приведенная на рисунке 1. Также используйте следующие предположения:

Часть С. Гидравлический удар при быстром закрытии клапана (1.8 балла)

Рассмотрим снова систему труба-резервуар (Рис. 1). Если перегородить поток (полностью или частично закрыв клапан), возникнет волна давления, распространяющаяся в обратном направлении. Она отразится от конца \(\rm B\) трубы, вернется к клапану и отразится от него. Таким образом, возникнет другая волна, и описанный процесс повторится. Поэтому наблюдается серия всплесков и падений давления, испытываемого элементом жидкости вблизи клапана. Это и называется гидравлическим ударом .

C1. Найдите давление \(P_0\) и скорость \(v_0\) установившегося потока в трубе, когда клапан \(\mathrm{T}\) полностью открыт (\(r=R\)) (см. Рис. 1 и 2). Ответ выразите через \(\rho_0\), \(g\), \(h\) и \(P_{\mathrm{a}}\).

C2. Рассмотрим установившийся поток, описанный в пункте C1 (давление \(P_0\) и скорость \(v_0\)). Затем в \(t=0\) клапан мгновенно перекрывают (\(r=0\)). Волна давления распространяется к резервуару со скоростью \(c\). Давление \(P_h=P_0+\rho_0gh\). Пусть \(\tau =2L/c\). Чему равны давления \(P(t)\) и скорости потока \(v(t)\) в трубе, когда \(t\) очень близко к \(\tau/2\) и \(\tau\)?

Часть D. Гидравлический удар при медленном закрытии клапана (5.0 баллов)

Рассмотрим установившийся поток, описанный в пункте C1 (давление \(P_0\) и скорость \(v_0\)). Теперь клапан закрывается медленно. Чтобы смоделировать процесс закрытия, разобьем его на шаги.

Начиная с момента времени \(t=0\), и далее каждые \(\tau=2L/c\) происходит мгновенное изменение радиуса \(r\) клапана. Сразу после каждого изменения радиуса поток вблизи клапана считайте установившимся (как в части B ). Таким образом, давление и скорость потока вблизи клапана отличаются от этих величин в остальных частях трубы.

Для каждого шага \(n\) в Таблице 2 приведены значения длительности этого шага и значение радиуса \(r_n\). Также указаны обозначения давления в жидкости \(P_n\) и скорости потока \(v_n\) вблизи клапана.

Таблица 2

Плотность жидкости \(\rho_0\) и скорость распространения волны \(c\) можно считать постоянными. Пусть \(n =0,1,2,3,4\). Определим \(\Delta P_n =P_n-P_0\) и \(\Delta v_n=v_n-v_0\).

Работайте в приближении, что \(P_h =P_0\).

D1. Выразите \(\Delta P_n/(\rho_0 c)\) через \(\Delta P_{n-1}/(\rho_0 c)\), \(v_{n-1}\) и \(v_n\). Выражение должно быть справедливо для всех \(n>0\), приведенных в Таблице 2.

Для \(n=1,2,3\) получите также выражение для расчета \(v_n\), если \(v_{n-1}\) и \(\Delta P_{n-1}/(\rho_0 c)\) известны.

D2. Используйте результаты пункта D1 для потока, движущегося со скоростью \(v_0=4.0~м/с\).

На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости \(\Delta P\) от \(\rho_0cv\). Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты \(\rho_0cv_n\) и \(\Delta P_n\) для \(n=1,2,3,4\).

Подпишите точки пересечения \((\rho_0cv_n, \Delta P_n)\) для всех \(n\).

Из графика оцените значения \(\rho_0cv_n\) и \(\Delta P_n\) (все в МПа) для \(n=1,2,3,4\).

Пусть \(\vec{E}\) – напряженность электрического поля, \(\vec{H}\) – напряженность магнитного поля, \(\vec{D}\) – электрическая индукция, \(\vec{B}\) – индукция магнитного поля. Известно, что \(\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}\), где \(\vec{P}\) – вектор поляризации вещества, \(\epsilon_0\) – электрическая постоянная. Будем рассматривать только немагнитные вещества, для них \(\vec{B}=\mu_0 \vec{H}\), где \(\mu_0\) – магнитная постоянная. Плотность энергии электромагнитного поля вычисляется по формуле \(u_{em}=\frac{1}{2}(\vec{E}\cdot\vec{D}+\vec{H}\cdot\vec{B})\), плотность потока энергии (вектор Пойнтинга) \(\vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}\).

Плоская монохроматическая световая волна в однородной среде задаётся величинами: угловая частота \(\omega\), волновой вектор \(\vec{k}\), \(\vec{D}\), \(\vec{B}\). Из уравнений Максвелла: \(\vec{k}\times\vec{E}=\omega \vec{B}\) и \(\vec{k}\times\vec{H}=-\omega \vec{D}\). В такой волне векторы \(\vec{D}\) и \(\vec{B}\) меняются в пространстве и во времени по синусоиде с фазой \((\vec{k} \cdot \vec{r} -\omega t)\).

Часть A. Распространение света в изотропном диэлектрике (1.0 балл)

В изотропной среде \(\vec{P}=\chi \epsilon_0 \vec{E}\) и \(\vec{D}=\epsilon \vec{E}\), где \(\chi\) – магнитная восприимчивость, \(\epsilon = \epsilon_0 (1+\chi)\) – магнитная проницаемость. Фазовая скорость волны равна \(v_p = c/n\), где \(c\) – скорость света в вакууме, \(n\:\)– показатель преломления. Можно также представлять свет набором лучей, направленных вдоль переноса энергии и имеющих скорость \(v_r\), с которой переносится плотность энергии.

Рассмотрим плоскую световую волну с угловой частотой \(\omega\) и волновым вектором \(\vec{k}\) в однородной изотропной диэлектрической среде.

A1. Получите выражение для фазовой скорости \(v_p\) через \(\epsilon\) и \(\mu_0\).

A2. Напишите, как выражается показатель преломления \(n\).

A3. В каком направлении \(\hat{S} \equiv \vec{S}/S\) переносится энергия? Какова скорость лучей \(v_r\)?

Часть B. Распространение света в одноосной среде (4.8 балла)

Теперь предположим, что среда имеет выделенное направление \(z\) ({\it оптическую ось}): \(D_x = \epsilon E_x\), \(D_y = \epsilon E_y\), \(D_z = \epsilon' E_z\), где все оси попарно ортогональны. Тогда фазовая скорость зависит еще и от направлений \(\vec{k}\) и \(\vec{D}\). Обозначив \(n_o = c \sqrt{\mu_0 \epsilon}\) и \(n_e=c \sqrt{\mu_0 \epsilon'}\), выполните пункты B1, B2, и B3.

B1. Пусть волновой вектор \(\vec{k}\) лежит в плоскости \(xz\): \(\vec{k}=k(\sin \theta,0,\cos \theta)\). При заданном \(\theta\) плоская монохроматическая волна может распространяться только при определенных направлениях \(\vec{D}\) и \(\vec{B}\).

Найдите эти возможные направления.

Выразите также все соответствующие показатели преломления через \(\theta\), \(n_o\) и \(n_e\).

При каком угле \(\theta\) возможно лишь одно значение показателя преломления?

B2. Поляризация световой волны (направление колебаний \(\vec{E}\)) может быть перпендикулярна плоскости \(xz\) (обыкновенная волна, обыкновенный луч) или лежать в этой плоскости (обыкновенная волна/луч).

Для каждой из волн, найденных вами в B1, запишите единичный вектор в направлении поляризации.

Укажите, какая из них обыкновенная, а какая – необыкновенная.

Вычислите \(\operatorname{tg}\alpha\), где \(\alpha\) – угол между \(\vec{E}\) и \(\vec{D}\) (\(\alpha\) положительный, если вектора \(\vec{E}\) и \(\vec{D}\) лежат в плоскости \(xz\) и поворот от \(\vec{E}\) к \(\vec{D}\) происходит по часовой стрелке).

B3. Используйте результаты пунктов B1 и B2 в случае, когда \(\vec{k}\) по-прежнему составляет угол \(\theta\) с положительным направлением оси \(z\), но не лежит в плоскости \(xz\).

Укажите возможные значения показателя преломления и соответствующие поляризации.

В одноосных средах направление светового луча может отличаться от направления вектора \(\vec{k}\). Фазовая скорость по-прежнему вычисляется как \(c/n\) (\(n\) соответствует направлению \(\vec{k}\)). А скорость лучей определяется с учетом направления и плотности потока энергии.

B4. Пусть \(\vec{k} = k(\sin \theta,0,\cos \theta)\), как в пунктах B1–B3. Угол между \(\hat{k} \equiv \vec{k}/k\) и направлением луча, \(\hat{S}\), обозначим \(\alpha_r\) (\(\alpha_r\) положительный, если вектора \(\hat{S}\) и \(\hat{k}\) лежат в плоскости \(xz\) и поворот от \(\hat{S}\) к \(\hat{k}\) происходит по часовой стрелке).

Найдите возможные значения \(\operatorname{tg}\alpha_r\), скорости лучей \(v_r\) и вектора Пойнтинга \(\hat{S}\). Используя эти результаты, выразите величину \(n_s = c/v_r\) через \(\hat{S}\), \(\hat{x}\), \(\hat{z}\), \(n_o\), \(n_e\).

Пусть луч света идет из A в B через границу раздела изотропной (1) и анизотропной (2) сред (см. рис. 1). Плоскость \(yz\) – граница раздела, \(xz\) – плоскость падения, и в ней же лежит направление поляризации. Угол падения \(\theta_1\). Показатель преломления (1) равен \(n\), показатели преломления (2) для направлений \(z_2\), \(y_2\), \(x_2\) равны \(n_e\), \(n_o\), \(n_o\) соответственно. Причем ось \(y_2\) совпадает с осью \(y\). Из принципа Ферма следует:

\[\bar{A} (\operatorname{tg}\theta_2 )^2 + \bar{B} \operatorname{tg}\theta_2 +\bar{C}=0\]

B5. Получите выражения для \(\bar{A}\), \(\bar{B}\), \(\bar{C}\) через \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) и \(n \sin \theta_1\), где \(P_1=n^2_o \cos^2 \phi+n^2_e \sin^2 \phi\), \(P_2=n^2_o \sin^2 \phi+n^2_e \cos^2 \phi\), \(P_3=(n^2_o - n^2_e) \sin \phi \cos \phi\). С помощью уравнения (1) найдите \(\tan \theta_2\) для двух случаев ориентации: \(\phi =0\) и \(\phi = \pi/2\).

Часть C. Запутанность света (4.2 балла)

В нелинейной среде напряженность электрического поля \(\vec{E}\) связана с вектором поляризации \(\vec{P}\) выражением \(P_i=(\epsilon-\epsilon_0)E_i + \sum_j \sum_k \chi^{(2)}_{ijk} E_jE_k\). Здесь \(i\), \(j\), \(k\) каждый может быть любым из трёх компонент \(x\), \(y\), \(z\). \(\chi^{(2)}_{ijk}\) есть константы, представляющие нелинейную восприимчивость среды второго порядка. Ненулевые \(\chi^{(2)}_{ijk}\) приводят к тому, что при прохождении через нелинейную среду световая волна может расщепиться на две световые волны.

Предположим, что поскольку не все \(\chi^{(2)}_{ijk}\) равны нулю, электрическое поле в среде является суперпозицией трёх плоских волн с угловыми частотами \(\omega\), \(\omega_1\), и \(\omega_2\), распространяющиеся с волновыми векторами \(\vec{k}\), \(\vec{k}_1\), и \(\vec{k}_2\), соответственно. Будем считать, что \(\omega \geq \omega_2\) и \(\omega_1 \geq \omega_2\).

C1. Найдите все возможные отношения (известные как условия фазового синхронизма) между этими угловыми частотами и волновыми векторами.

Если рассматривать свет состоящим из фотонов, какие законы сохранения подразумевают эти условия для трех указанных фотонов?

Запишите уравнения, выражающие эти законы сохранения для случая, когда фотон с угловой частотой \(\omega\) и волновым вектором \(\vec{k}\) расщепляется на два фотона с угловыми частотами \(\omega_1\)и \(\omega_2\), распространяясь с волновыми векторами \(\vec{k}_1\)и \(\vec{k}_2\), соответственно.

C2. Рассмотрим световую волну в одноосной среде. Обозначим обыкновенный луч как \({\bf o}\) и необыкновенный луч как \({\bf e}\). Есть 8 возможных путей расщепления световой волны: \({\bf o → o + o}\), \({\bf o → e + o}\), \({\bf o → o + e}\), \({\bf o → e + e}\), \({\bf e → o + o}\), \({\bf e → e + o}\), \({\bf e → o + e}\), и \({\bf e → e + e}\). Предположим, что коэффициенты преломления \(n_o\) и \(n_e\) оба являются возрастающей функцией от \(\omega\). Используя те же обозначения как и в вопросе C1 и считая что \(\vec{k}\), \(\vec{k}_1\), и \(\vec{k}_2\) коллинеарны, укажите какие из 8 путей расщепления не могут быть возможны.

Рассмотрим падающий \({\bf e}\) луч распространяющийся вдоль направления оси \(z'\) с волновыми вектором \(\vec{k}\) и \(\omega=\Omega_p\) в одноосной среде с показателем преломления \(n_e < n_o\). Предположим, что при коллинеарном расщеплении \({\bf e → e + o}\), условие фазового синхронизма выполняется для \(k_1=K_e\), \(\omega_1=\Omega_e\), \(k_2=K_o\), и \(\omega_2=\Omega_o\). Здесь индексы 1 и 2 относятся к \({\bf e}\) лучу и к \({\bf o}\) лучу. Векторы \(\vec{k}_1\), \(\vec{k}_2\) и \(\vec{k}\) все сонаправлены с направлением \(z'\). Как показано на рис. 2(a), оптическая ось среды лежит в плоскости \(x'z'\) и имеет угол \(\theta < \pi/2\) с осью \(z'\). Поэтому, получается что \(n_e\) есть функция от \(\omega\) и \(\theta\), т.е., \(n_e=n_e(\omega,\theta)\). Для того же падающего луча \({\bf e}\) с волновым вектором \(\vec{k}\) и \(\omega=\Omega_p\), предположим неколлинеарное расщепление лучей \({\bf e + o}\). Такое расщепление двух последних указанных лучей приводит к тому, что они расщепляются но остаются на двух конусах с \(\omega_1=\omega_2=\Omega\), \(k_1=k_2\), как показано на рис. 2(b). Отметим, что при коллинеарном расщеплении, \(\Omega_e\) уже близко к \(\Omega_o\), и здесь \(\Omega\) лишь немного меньше \(\Omega_e\). В плоскости перпендикулярной к \(\vec{k}\), два круговых сечения конусов \(\vec{k}_1\) и \(\vec{k}_2\) пересекаются в точках \(a\) и \(b\) так, что линия \(\overline{ab}\) параллельна оси \(y'\). Как показано на рис. 2(a), \(\vec{k}_{\alpha}\)(\(\alpha=1,2\) ) составляет угол \(\theta_{\alpha}\) с оптической осью и имеет угловые координаты \((\psi_{\alpha}, \phi_{\alpha})\). Здесь \(\vec{k}_{\alpha \perp}\) является проекцией на плоскость \(x'y'\). Каждый вектор \(\vec{k}_{\alpha}\) отклоняется от оси \(z'\)только на малую величину \(|(\Omega-\Omega_e)/\Omega_e| \ll 1\), \(|\vec{k}_{\alpha \perp}|/k_{\alpha} \ll 1\) и \(|\theta_{\alpha}-\theta| \ll 1\). Используя приближение, которые согласуются с \(z'\) компонентой \(\vec{k}_{\alpha}\) до членов порядка \(k^2_{\alpha \perp}\) и угол \(\theta_{\alpha}\) до \((\theta_{\alpha}-\theta)^2\), можно показать что \(\vec{k}_{2\perp}=(q_{x'},q_{y'})\) удовлетворяет выражению \(M (q_{x'}+ N )^2+M q^2_{y'}= L\).

C3. Пусть \(M >0\). Выразите \(M\), \(N\), и \(L\) через \(\Omega\), \(\Omega_e\), \(\Omega_o\), \(K_e\), \(K_o\) и \(N_e (\omega,\theta)=\dfrac{1}{n_e(\omega,\theta)}\dfrac{\mathrm dn_e(\omega,\theta)}{\mathrm d \theta}\) и групповые скорости \(u_o=\dfrac{\mathrm dw_2}{\mathrm d k_2}\) и \(u_e =\dfrac{\mathrm d \omega_1}{\mathrm d k_1}\) для \({\bf o}\) и \({\bf e}\) лучей. Оцените угол между осью конуса и осью \(z'\), и также оцените угол между осью и образующей конуса через \(L\), \(M\), \(N\) and \(K_o\).

(a)

Вопрос C3 показывает, что фотон может разделиться на два фотона, которые при прохождении через точки a и b поляризованы в перпендикулярных направлениях. Эти два фотона называются запутанной парой фотонов, потому что если один фотон, проходящий через \(a\) (называемый \(a\)-фотоном), поляризован в направлении \(\hat{x}'\), то другой, который проходит через \(b\) (называемый \(b\)-фотоном), будет поляризован в направлении \(\hat{y}' \perp \hat{x}'\), и если \(a\)-фотон поляризован в \(\hat{y}'\), то \(b\)-фотон будет поляризован в \(\hat{x}'\). Запутанное состояние пары фотонов может быть получено экспериментально. Это суперпозиция двух вышеуказанных альтернативных состояний и может быть выражена как \(\frac{1}{\sqrt{2}} (|\hat{x}'_a \rangle|\hat{y}'_b\rangle+|\hat{y}'_a \rangle|\hat{x}'_b\rangle)\). Здесь \(|\hat{x}'_a \rangle|\hat{y}'_b\rangle\)представляет состояние когда \(a\)-фоторн поляризован в направлении \(\hat{x}'\) и \(b\)-фотон поляризован в направлении \(\hat{y}'\); аналогичное значение имеет \(|\hat{y}'_a \rangle|\hat{x}'_b\rangle\). Коэффициент \(1/\sqrt{2}\) может рассматриваться как произведение амплитуд электрического поля (выраженное в соответсвующих единицах) для \(a\)- и \(b\)-фотонов. Как показано на рис. 3, два линейных поляризатора 1 и 2 имеют оси пропускания под углами \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно относительно \(\hat{x}'\). Мы можем использовать их для измерения совпадений двух фотонов, прошедших через \(a\) и \(b\). Пусть вероятность одновременного обнаружения двух фотонов, проходящих через поляризаторы 1 и 2, равна \(P(\alpha,\beta)\). Другими словами, \(P(\alpha,\beta)\) можно также рассматривать как величину, пропорциональную произведению интенсивностей (после соответствующих суперпозиций) света, проходящего через два поляризатора. Обозначим \(\alpha+\pi/2\) и \(\beta+\pi/2\) как \(\alpha_{\perp}\) и \(\beta_{\perp}\) соответственно.

C4. Рассмотрим полное электрическое поле, создаваемое линейными поляризаторами. Найдите вероятности \(P(\alpha,\beta)\), \(P(\alpha,\beta_{\perp})\), \(P(\alpha_{\perp},\beta)\), и \(P(\alpha_{\perp},\beta_{\perp})\).

C5. Обозначим \(\sigma_a=1\) когда поляризатор 1 с углом \(\alpha\) находит \(a\)-фотон и \(\sigma_a=-1\) когда поляризатор 1 с углом \(\alpha_{\perp}\) находит \(a\)-фотон. Аналогично, \(\sigma_{\beta}=1\) или \(-1\) обозначают случаи когда поляризатор 2 с углами \(\beta\) или \(\beta_{\perp}\) находят \(b\)-фотон.

Если \(E(\alpha,\beta)\) обозначает среднее от \(\sigma_a \sigma_b\), то величина \(S=|E(\alpha,\beta)-E(\alpha,\beta')|+|E(\alpha',\beta)-E(\alpha',\beta')|\) имеет чрезвычайно важное значение. Для классической теории света \(S \leq 2\). Это одна из формулировок неравенства Белла (CHSH-неравенства, полученного Клаузером, Хорном, Шимони и Хольтом).

Получите выражение для \(S\) и вычислите \(S\) для случая \(\alpha=\frac{\pi}{4}\),\(\alpha'=0\) , \(\beta=-\frac{\pi}{8}\), \(\beta'=\frac{\pi}{8}\).

Укажите, согласуется ли результат для \(S\) с классической теорией.

1. Градиент функции координат \(f(\vec{r})\), \(\vec{\nabla}f(\vec{r})\), задается в компонентах: \[\vec{\nabla}f \equiv (\hat{x}\frac{\partial}{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial}{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial}{\partial z})f(\vec{r}),\] где \(\frac{\partial}{\partial x}f(\vec{r})\) обозначает частную производную \(f(\vec{r})\) по \(x\) при постоянных \(y\) и \(z\) . Здесь \(\hat{x}\) — единичный вектор вдоль оси \(x\), для других осей аналогично.

2. Интеграл: \[\int_{0}^{\infty}\,\mathrm{d}t\,\frac{(a+pt)}{[(a+pt)^{2}+(b+qt)^{2}]^{3/2}}=\frac{1}{bp-aq}(\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}-\frac{q}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}).\]

Введение

Мы будем изучать движение маленького магнитного диполя рядом с тонкой проводящей пленкой. В этой задаче под диполем и монополем мы будем понимать магнитный диполь и магнитный монополь соответственно.

Диполь представляет собой сферический постоянный магнит с постоянной намагниченностью \(\vec{M}\) (магнитный момент единицы объема вещества) и постоянной плотностью \(\rho_{0}\). Его можно рассматривать как точечный при условии, что его радиус \(R\) мал. Дипольное приближение хорошо описывает магнитное поле, создаваемое везде вне магнита. Также дипольное приближение хорошо описывает силу, действующую на диполь со стороны внешнего магнитного поля, если расстояние до источников поля много больше \(R\).

Точечный диполь можно рассматривать как пару монополей с отрицательным и положительным магнитными зарядами \(-q_{\mathrm{m}}\) и \(q_{\mathrm{m}}\) соответственно. Эта пара находится на бесконечно малом расстоянии друг от друга, но обладает конечным дипольным моментом \(\vec{m}=q_{\mathrm{m}}\vec{\delta}_{\mathrm{m}}\). Здесь \(\vec{\delta_{\mathrm{m}}}\) — вектор, направленный от южного монополя \((-q_{\mathrm{m}})\) к северному монополю \((+q_{\mathrm{m}})\).

Магнитное поле \(\vec{B}_{\mathrm{mp}}\) создаваемое монополем \(q_{\mathrm{m}}\) задается законом, аналогичным закону Кулона:\[\vec{B}_{\mathrm{mp}}=\frac{\mu_{0}q_{\mathrm{m}}}{4\pi r^{2}}\,\hat{r},\qquad(1)\] где \(\vec{r}\) — радиус-вектор, направленный от монополя \(q_{\mathrm{m}}\) к точке, в которой наблюдается поле, \(\hat{r}\) — единичный вектор\(\hat{r}=\vec{r}/r\), а \(\mu_{0}\) — магнитная постоянная. Приложенное магнитное поле \(\vec{B}'\) действует на монополь \(q_{\mathrm{m}}\) с силой \(\vec{F}=q_{\mathrm{m}}\vec{B}'\). Магнитное поле монополя можно получить из скалярного потенциала \(\Phi\), оно задается формулой \(\vec{B}=-\vec{\nabla}\Phi\). Скалярный потенциал \(\Phi\) также называется магнитным потенциалом.

Тонкая проводящая пленка имеет постоянную толщину \(d\) в направлении \(z\) (Рис. 1). Она расположена горизонтально и продолжается вдоль направлений \(x\) и \(y\) до бесконечности. Ее верхняя поверхность находится на расстоянии \(h\) от точечного монополя или диполя. Мы будем рассматривать только случай \(h\gg d\). Поэтому можно считать, что объемная плотность индукционного тока в пленке не зависит от \(z\). Токами смещения можно пренебречь.

Рис. 1. Монополь \(q_{\mathrm{m}}\) находится на расстоянии \(h\) от проводящей тонкой пленки толщиной \(d\). Начало координат расположено на верхней её поверхности

В задаче 3 части.

В Части A система состоит из монополя и тонкой пленки, а в Частях B и C из движущегося диполя и тонкой пленки. Плоскость \(z=0\) совпадает с верхней поверхностью тонкой пленки. Вектор \(\vec{\rho}=x\hat{x}+y\hat{y}=\rho\hat{\rho}\) – радиус вектор точки в плоскости.

Часть A. Внезапное появление магнитного монополя: начальный отклик и последующая эволюция во времени отклика в тонкой пленке (3.0 балла)

Рассмотрим отклик тонкой проводящей пленки, когда в момент времени \(t=0\) северный монополь \(q_{\mathrm{m}}\) внезапно появляется в точке \(\vec{r}_{\mathrm{mp}}=h\hat{z}\,\,\,(h>0)\), как показано на Рис. 1. В дальнейшем монополь остается неподвижным (\(t>0\)).

Вам нужно будет найти начальное полное магнитное поле \(\vec{B}(\vec{\rho},z)\) в областях \(z\ge 0\) и \(z\le -d\), и плотность индуцированного тока в тонкой пленке. Полное магнитное поле \(\vec{B}=\vec{B}_{\mathrm{mp}}+\vec{B}'\), где магнитные поля \(\vec{B}_{\mathrm{mp}}\) и \(\vec{B}'\) создаются соответственно монополем и индуцированным током в пленке. Начальное поле \(\vec{B}(\vec{\rho},z)\) существует в момент времени \(t_{0}\), которое лежит в интервале \(h/c\le t_{0}\ll\tau_{\mathrm{c}}\). Здесь \(\tau_{\mathrm{c}}\) — характерное время, за которое меняется распределение тока в пленке, а \(c\) — скорость света в вакууме. В этой задаче мы рассматриваем предел \(h/c\rightarrow 0\) и считаем \(t_{0}=0\).

Вычисление начального магнитного поля \(\vec{B}(\vec{\rho},z)\) (при \(t_{0}=0\)) упрощается, если ввести изображение монополя. Для \(\vec{B}(\vec{\rho},z)\) в области \(z\ge 0\), изображение монополя имеет магнитный заряд \(q_{\mathrm{m}}\) и расположено в точке \(z=-h\). С другой стороны, для \(\vec{B}(\vec{\rho},z)\) в области \(z\le -d\), изображение магнитного монополя имеет заряд \(-q_{\mathrm{m}}\) и расположено в точке \(z=h\).

Начальный отклик

A1. Получите начальное магнитное поле \(\vec{B}(\vec{\rho},z)\) при \(z\geq 0\) в момент времени \(t_{0}=0\).

A2. Получите начальное магнитное поле \(\vec{B}(\vec{\rho},z)\) при \(z\leq -d\) в момент времени \(t_{0}=0\).

A3. Найдите начальный магнитный поток \(\Phi_{\mathrm{B}}\) через поверхности пленки, расположенные в \(z=0\), и в \(z=-d\).

A4. Получите начальное распределение объемной плотности тока \(\vec{j}(\vec{\rho})\) в тонкой проводящей пленке при \(t_{0}=0\).

При \(t>0\), полное магнитное поле \(\vec{B}\) по принципу суперпозиции становится равным: \[\vec{B}(\vec{\rho},z;t)=\vec{B}_{\mathrm{mp}}(\vec{\rho},z)+\vec{B}'(\vec{\rho},z;t),\] где \(\vec{B}'(\vec{\rho},z;t)\) создается индукционным током в тонкой пленке.

Вам нужно получить уравнение на \(B_{z}'(\rho,z;t)\) рядом с поверхностью \(z=0\) тонкой пленки. Зависимость \(B_{z}'\) от времени покажет, что поле \(\vec{B}'\) рядом с поверхностью \(z\approx 0\) при \(t>0\) можно получить, считая, что изображение монополя движется.

Уравнение для \(B_{z}'\) внутри тонкой пленки приведено ниже: \[\frac{\partial^{2}B_{z}'(\rho,z;t)}{\partial z^{2}}=\mu_{0}\sigma\frac{\partial B_{z}'(\rho,z;t)}{\partial t}.\qquad(2)\] Это уравнение было получено с помощью уравнений Максвелла для области внутри пленки, а также из закона Ома (\(\vec{j}=\sigma \vec{E}\), где \(\sigma\) — удельная проводимость), но без учета эффектов тока смещения. В левой части уравнения (\(2\)) мы пренебрегли членом \(\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho\frac{\partial B_{z}'}{\partial\rho})\), с учетом условия \(h\gg d\).

Последующий отклик

A5. Получите из уравнения (\(2\)) уравнения для \(B_{z}'(\rho,z;t)\) рядом с поверхностью \(z\approx 0\). Такое уравнение содержит первые частные производные \(B_{z}'(\rho,z;t)\) по \(z\) и (отдельно) по \(t\).

A6. Найдите общий вид \(B_{z}'(\rho,z;t)\) рядом с поверхностью \(z\approx 0\) при \(t>0\).

A7. Покажите, что ваше решение A6 для \(B_{z}'(\rho,z\approx 0;t)\) соответствует тому, что изображение монополя движется со скоростью, направленной вниз. Найдите скорость движения изображения монополя \(v_{0}\) через известные параметры из условия задачи.

Часть B. Магнитная сила, действующая на точечный диполь, движущийся с постоянной скоростью при постоянном \(h\) (4.0 балла)

Идею движущегося изображения монополя, рассмотренная в A7 для \(B_{z}'\) в области \(z\approx 0\) можно применить для вычисления поля \(\vec{B}'\) во всей области \(z\geq 0\). Это предположение годится при условии, что изменение тока в проводящей пленке достаточно медленное.

Рис. 2. Монополь \(q_{m}\) движется с постоянной скоростью \(\vec{v}\) на постоянной высоте \(h\) над проводящей тонкой пленкой. Показаны его координаты в момент \(t = 0\)

Монополь \(q_{\mathrm{m}}\) (Рис. 2) движется с постоянной скоростью \(v\hat{x}\), с \(v\ll c,\) и на постоянной высоте, координата \(z=h,\) движение происходило бесконечно долго до настоящего момента времени (\(t=0\)). Его координаты \((x,y)\) в данный момент времени — \((0,0)\). Будем рассматривать магнитный потенциал \(\Phi_{+}\) создаваемый всеми изображениями монополя, создаваемыми этим движущимся монополем вдоль своей траектории.

Разбив траекторию монополя \(q_{\mathrm{m}}\) на дискретные шаги по времени (очень маленький шаг по времени обозначим \(\tau\)), заменим движение \(q_{\mathrm{m}}\) перепрыгиваниями в начале каждого шага. Каждое перепрыгивание — это одновременное уничтожение монополя в одной точке и создание в другой точке. Положение созданного монополя совпадает с точкой на траектории в момент начала следующего шага по времени. Положение уничтожаемого монополя совпадает с точкой траектории в начале предыдущего шага по времени. Это достигается одновременным внезапным добавлением двух монополей: \(q_{\mathrm{m}}\) и \(-q_{\mathrm{m}}\) в точках траектории, отвечающих начальным моментам этого и предыдущего шагов по времени. Эти две точки расположены на расстоянии \(\Delta x=v\tau\). На каждом шаге магнитные монополи создают изображения. Магнитное поле будет создаваться всеми изображениями, возникшими на предыдущих шагах.

Движущийся монополь

B1. Запишите координаты всех изображений монополей \((t=0)\) с зарядами \(q_{\mathrm{m}}\) и \(-q_{\mathrm{m}}\). Шаги по времени начинаются в моменты времени \(t=-n\tau,\) где \(n\geq 0\).

B2. Найдите выражение в виде суммы для магнитного потенциала \(\Phi_{+}(x,z)\) в момент времени \(t=0\), создаваемого всеми монополями-изображениями из B1. Вычислите \(\Phi_{+}(x,z)\).

Рис. 3. Диполь с направленным вверх магнитным дипольным моментом \(\vec{m}\) движется с постоянной \(\vec{v}\) на постоянной высоте \(h\) над проводящей тонкой пленкой. Показаны его координаты в момент \(t = 0\)

Рассмотрим движение точечного диполя, показанного на Рис. 3. Диполь с дипольным моментом \(\vec{m}=m\hat{z}\), движется с постоянной скоростью \(v\hat{x}\), и на постоянной высоте (\(z=h\)) движение происходило до настоящего момента времени (\(t=0\)), в настоящий момент времени его координаты \((0,0)\). Точечный диполь можно представить как два смещенных друг относительно друга монополя, как было сказано во введении к задаче. Положением магнитного диполя считаем положение его северного монополя, считаем что магнитный момент \(\vec{m}\) постоянен.

Движущийся диполь

B3. Найдите силу \(\vec{F}\) действующую на точечный магнитный диполь со стороны проводящей пленки в момент времени \(t=0\).

Соотношение между \(v_{0}\) и \(v\)

В этой Части ниже для нахождения численных значений мы рассмотрим тонкую пленку из меди, такую что \(\sigma=5.9\cdot 10^{7}~Ом^{-1}\cdot{м}^{-1}\), \(d=0.50~см\), и \(h=5.0~см\).

B4. Найдите значение \(v_{0}\), скорость движения изображения диполя, как в A7 .

Известно, что глубина проникновения \(\delta\) — расстояние, на которое электромагнитная волна может проникнуть вглубь проводника, зависит от циклической частоты \(\omega\) волны. Эта зависимость дается формулой \[\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu_{0}\sigma}}.\qquad(3)\] В дальнейшем мы будем считать, что \(\omega=v_{\mathrm{L}}/h\), где скорость \(v_{\mathrm{L}}\) равна большей из скоростей \(v\) и \(v_{0}\).

B5. Получите зависимость \(v_{0}(v)\) и в режиме малых скоростей \(v\), и в режиме больших скоростей.

B6. Найдите критическую скорость \(v=v_{\mathrm{c}}\) при которой два случая из B5 переходят друг в друга.

Часть C. Движение магнитного диполя в случае сверхпроводящей тонкой пленки (3.0 балла)

Рассмотрение выше можно применить к случаю сверхпроводника первого рода, который полностью выталкивает из себя магнитное поле (эффект Мейсснера) во все моменты времени. Для этого нужно перейти к пределу бесконечной проводимости \(\sigma\rightarrow \infty\).

Здесь мы рассмотрим точечный магнитный диполь с горизонтальным дипольным моментом \(\vec{m}=m\hat{x}\), массы \(M_{0}\), расположенный в точке \((x,y,z)=(0,0,h)\). Рассмотрим вертикальное движение диполя под действием гравитационного поля с ускорением свободного падения \(\vec{g}=-g\hat{z}\). Предположим, что при движении центра масс диполя его ориентация не меняется. Таким образом мы считаем, что магнитный момент остается постоянным в процессе движения. Также мы предполагаем, что движение происходит в вакууме и остаточное сопротивление воздуха учитывать не нужно.

C1. Найдите расстояние \(h_{0}\) от диполя до сверхпроводящей пленки, на котором он находится в равновесии.

C2. Найдите частоту колебаний диполя \(\Omega\) относительно положения равновесия.

Рассмотрим сферический постоянный магнит со следующими параметрами:

• радиус \(R=1.0~мкм\);

• плотность \(\rho_0=7400~кг\cdot м^{-3}\);

• \(g=9.8~м\cdot с^{-2}\);

• \(\mu_{0}=4\pi\cdot 10^{-7}~Тл\cdot А^{-1}\cdot м\);

• намагниченность \(|\vec{M}|=75\cdot 10^{-2}~Тл/\mu_{0}\).

C3. Вычислите значение \(h_{0}\).

C4. Вычислите значение \(\Omega\).

Источник: Азиатская физическая олимпиада (APhO) 2021, теоретический тур — условия (1) · условия (2) · условия (3) · решения (1) · решения (2) · решения (3). Перевод на русский — pho.rs.