APhO 2022, экспериментальный тур

Магнитометры, основанные на эффекте Холла, используются в смартфонах для измерения магнитного поля. Магнитометр измеряет все три компоненты магнитного поля. Магнитометр расположен на печатной плате смартфона и не виден снаружи.

На рисунке 1 показан полосовой магнит с полудлиной \(d\) и дипольным моментом \(M\).

Величина магнитного поля полосового магнита в осевом направлении в точке \(P\) (\(B_\text{axial}\)) и в точке \(Q\) на срединном перпендикуляре (\(B_\text{equatorial}\)) задаётся следующими формулами:

\[\begin{align} B_\text{axial}=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M r_\text{P}}{(r_\text{P}^2-d^2)^2},\\ B_\text{equatorial}=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{(r_\text{Q}^2+d^2)^{3/2}}. \end{align}\]

где \(\mu_0\) — магнитная постоянная (\(\mu_0/4\pi=10^{-7}\) Н/А\(^2\)), \(r_\text{P}, r_\text{Q}\) — расстояния между центром магнита и точками наблюдения магнитного поля. В данной задаче будем считать магнит точечным диполем (\(d\ll r_\text{P},r_\text{Q}\)).

exe

Симулятор запускается и работает в браузере (предпочтительно Chrome). Необходимо скачать все файлы проекта с гитхаба в одну папку и запустить в браузере файл index.html.

В данной задаче магнит считается точечным диполем.

Погрешности оценивать не требуется.

\(\textbf{О симуляции:}\)

На экране вы видите рабочую область с белым фоном и сеткой. Рабочее поле расположено в вертикальной плоскости, в которой и проводится эксперимент. В рабочей области находятся четыре объекта:

1. смартфон

2. магнит (сине-красный, S-N соответственно)

3. тёмная трубка с однородной толщиной стенок

4. линейка, которая может быть активирована кнопкой <>.

Расстояние между линиями сетки 1 см.

\(\textbf{Установка:}\)

Объекты можно перемещать мышью. Смартфон, линейку, магнит можно поворачивать в этой плоскости. Поворот контролируется слайдерами в правой части. Чтобы повернуть объект, сдвиньте слайдер мышью. Для более точного контроля нажмите на слайдер и используйте стрелки на клавиатуре для поворота объектов.

Внутри смартфона находится магнитометр, который измеряет магнитное поле магнита поблизости. Точное расположение магнитометра неизвестно. В зависимости от положения магнитометра, правая панель показывает проекции \(B_w\) и \(B_l\) магнитного поля вдоль ширины и длины смартфона (рис. 2). Проекция \(B_w\) направлена направо от начальной (портретной, вертикальной) ориентации смартфона. Проекция \(B_l\) направлена вниз вдоль длины телефона.

\(\textbf{Измерения:}\)

После того как вы нажмёте 'START MEASUREMENT', начнут сниматься графики зависимости \(B_w\) и \(B_l\) от времени. 'RESET GRAPH' очистит все значения на графике. При наведении курсора на кривую, показываются значения точек. Можно масштабировать график, указав времена в поля "Graph start time (\(t_i\))" и "Graph end time (\(t_f\))".

Смартфон может повредиться при нахождении в сильном магнитном поле. Для предотвращения этого появляется предупреждение 'Maximum Magnetic field exceeded' и останавливаются измерения, когда измеренное значение превышает 6500 мкТл. Измерения восстанавливаются, когда магнит удаляют от телефона на достаточное расстояние.

\(\textbf{Дальнейшие указания:}\)

Магнит можно перемещать стрелочками клавиатуры. Для этого необходимо кликнуть курсором на рабочее поле. Более плавные/быстрые перемещения можно получить, нажимая на кнопки '2X FINER MAGNET MOVEMENT/2X COARSER MAGNET MOVEMENT' (finer = точные, coarser = грубые). При каждом нажатии на кнопку движения становятся в два раза плавнее/быстрее. Кнопки станут неактивными, когда будет достигнут предел точности регулировки положения.

Ускорение свободного падения направлено вниз экрана. Пол отмечен красной линией. Все объекты находятся в плоскости экрана. Более подробная информация о трубке приведена перед частью (B).

Считайте, что магнит удерживается в стационарном положении, когда вы размещаете его в любом месте экрана. Нажатие на кнопку "Drop" отпустит магнит, и он начнет падать. Обратите внимание, что магнит можно бросить только после нажатия кнопки 'START MEASUREMENT'. Кнопка 'RESET POSITION' вернет магнит в положение, из которого он был брошен в последний раз. При необходимости объекты можно перемещать за пределы рабочей области.

A1. Определите положение магнитометра в смартфоне. Для упрощения ответа на данный вопрос более точная сетка нарисована на схема смартфона в листе ответов. Шаг точной сетки 2 мм. Отметьте положение магнитометра в смартфоне символом "\(\bigotimes\)".

A2. Постройте подходящий линейный график и по нему определите дипольный момент магнита. Занесите использованные данные в таблицу.

Полая немагнитная вертикальная трубка однородной толщины показана на экране. Когда вы бросаете магнит, он должен быть ориентирован вдоль оси трубы. Кнопка "DROP" отпускает магнит. Магнит не видно при движении внутри трубы. Считайте, что магнит не наклоняется и не поворачивается при падении. Трубка состоит из трёх частей: деревянной (wood, W), алюминиевой (Al) с проводимостью \(=3.77\times10^7\) Ом\({}^{-1}\cdot\)м\({}^{-1}\), и медной (Cu) с проводимостью \(=5.96\times10^7\) Ом\({}^{-1}\cdot\)м\({}^{-1}\). Эти три материала могут располагаться в произвольном порядке, не обязательно как указано выше. Если магнит отпустить вертикально (вдоль оси \(y\), направленной вниз), падение магнита описывается уравнением: \[m\ddot{y}=mg-k\dot{y}\]

где \(m\) — масса магнита, \(g\) — ускорение свободного падения (\(g=9.8\) м/с\({}^2\)), \(k\) — коэффициент затухания, обусловленный возникающими вихревыми токам в трубке. Коэффициенты затухания для деревянной, алюминиевой, медной частей трубки равна нулю, \(k_\text{Al}\), и \(k_\text{Cu}\), соответственно.

Таким образом, чтобы провести эксперимент, выполните следующие шаги:

– Расположите должным образом смартфон, магнит и трубку.

– Нажмите кнопку <>.

– Нажмите кнопку <>.

Магнитометр не измеряет малые магнитные поля, создаваемые вихревыми токам в трубке. При падении магнита в трубке строится график зависимости \(B_w\) и \(B_l\) от времени.

B1. Используя график зависимости магнитного поля от времени, определите последовательность материалов вдоль трубки. Укажите свой ответ в листе ответов, напишите номер части возле соответствующего материала. Части нумеруются сверху вниз: 1 для верхней части, 2 для средней, 3 для нижней.

B2. Определите конечную скорость магнита в алюминиевой части трубки, построив соответствующий линейный график.

На листе ответов приведена такая же сетка, как и у рабочей области симуляции. Нарисуйте схематично смартфон, трубку и магнит в том положении и ориентации, которые были в вашем эксперименте. Используйте прямоугольник для указания смартфона.

Заполните таблицу данными, необходимыми для построения графика.

Определите длину алюминиевого участка трубки. Вы можете использовать/не использовать графический метод измерения длины алюминиевой части трубки. Если вы используете график/набор данных для определения длины, воспользуйтесь дополнительными столбцами в таблице для пересчета.

B3. Определите конечную скорость магнита в медной части трубки, построив соответствующий линейный график.

Определите длину медного участка трубки. Вы можете использовать/не использовать графический метод измерения длины медной части трубки. Если вы используете график/набор данных для определения длины, воспользуйтесь дополнительными столбцами в таблице для пересчета.

B4. Определите длину деревянного участка трубки. Вы можете использовать/не использовать графический метод измерения длины деревянной части трубки. Если вы используете график/набор данных для определения длины, воспользуйтесь дополнительными столбцами в таблице для пересчета.

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Смещая магнит вдоль каждой из осей, пронаблюдаем за изменением магнитного поля. Например, при смещении магнита вдоль длинной стороны смартфона поле меняет знак при пересечении высоты магнитометра.

Ответ:

A2.

Магнитное поле \(B_w\) точечного диполя на расстоянии \(x\gg d\) от его центра равно:\[B_w=\dfrac{\mu_0}{2\pi}\dfrac{M}{x^3}.\]Построим график зависимости \(B_w^{-1/3}(x)\):

\(№\)	\(x,~см\)	\(B_w,~мкТл\)	\(B_w^{-1/3},~Тл^{-1/3}\)
\(1\)	\(5\)	\(3177.63\)	\(6.802\)
\(2\)	\(6\)	\(1841.06\)	\(8.159\)
\(3\)	\(7\)	\(1170.34\)	\(9.489\)
\(4\)	\(8\)	\(783.69\)	\(10.846\)
\(5\)	\(9\)	\(550.22\)	\(12.204\)
\(6\)	\(10\)	\(403.42\)	\(13.534\)
\(7\)	\(11\)	\(301.21\)	\(14.918\)
\(8\)	\(12\)	\(231.96\)	\(16.275\)
\(9\)	\(13\)	\(181.58\)	\(17.659\)
\(10\)	\(14\)	\(146.03\)	\(18.990\)
\(11\)	\(15\)	\(118.72\)	\(20.347\)
\(12\)	\(16\)	\(98.18\)	\(21.677\)

Угловой коэффициент графика \(k=\sqrt[3]{\dfrac{2\pi}{\mu_0M}}=135~\dfrac{Тл^{-1/3}}{м}\), отсюда магнитный момент:\[M=\dfrac{2\pi}{\mu_0 k^3}=2.00~А\cdot м^2.\]

Ответ:

\[M=2.00~А\cdot м^2\]

B1. Повернём смартфон на \(90^\circ\), расположив магнитометр над трубой и магнитом.

Пусть магнит находится на расстоянии \(x_0\) от магнитометра и двигается вниз со скоростью \(v\). В этом случае зависимость магнитного поля \(B_w\) от времени \(t\) задаётся выражением:\[B_w(t)=\dfrac{\mu_0}{2\pi}\dfrac{M}{\left(x_0+vt\right)^3}\implies \left(\dfrac{\mu_0M}{2\pi B_w(t)}\right)^{1/3}=vt+x_0.\]Снимем зависимость \(B_w(t)\) на всех трёх участках и линеаризуем её в соответствии с формулой выше.

Для деревянного участка график будет нелинейным, а для проводящих (в которых магнит движется примерно с установившейся скоростью) – линейным с угловым коэффициентом, зависящим от проводимости. Отсюда очевидно, что:

Ответ:

Материал части	Алюминий	Медь	Дерево
Номер части	1	3	2

B2.

\(№\)	\(B_w,~мкТл\)	\(t,~с\)	\(\left(\frac{\mu_0M}{2\pi B_w(t)}\right)^{1/3},~см\)	\(v,~см/с\)
\(1\)	\(6462.28\)	\(0.534\)	\(3.96\)	\(0\)
\(2\)	\(6462.28\)	\(0.536\)	\(3.96\)	\(1\)
\(3\)	\(5954.24\)	\(0.558\)	\(4.07\)	\(6\)
\(4\)	\(4850.05\)	\(0.606\)	\(4.35\)	\(6\)
\(5\)	\(4002.02\)	\(0.654\)	\(4.64\)	\(6\)
\(6\)	\(3651.48\)	\(0.678\)	\(4.78\)	\(6\)
\(7\)	\(2817.43\)	\(0.750\)	\(5.22\)	\(6\)
\(8\)	\(2397.97\)	\(0.798\)	\(5.50\)	\(6\)
\(9\)	\(1911.68\)	\(0.870\)	\(5.94\)	\(6\)
\(10\)	\(1548.47\)	\(0.942\)	\(6.37\)	\(6\)
\(11\)	\(1448.01\)	\(0.966\)	\(6.51\)	\(6\)
\(12\)	\(1356.06\)	\(0.990\)	\(6.66\)	\(6\)
\(13\)	\(1194.26\)	\(1.038\)	\(6.94\)	\(6\)
\(14\)	\(1188.09\)	\(1.040\)	\(6.96\)	\(14\)
\(15\)	\(1142.95\)	\(1.050\)	\(7.10\)

Ответ:

\[v_\mathrm{Al}=6~см/с\]

Магнит очень быстро выходит на установившуюся скорость. Движение в алюминиевой части начинается в момент времени \(0.536~с\), изменение скорости, соответствующее переходу в деревянную часть, происходит при \(1.040~с\). Таким образом:\[l_\mathrm{Al}=(1.040-0.536)\cdot 6 ~см=3.024~см.\]

Ответ:

\[l_\mathrm{Al}=3.0~см\]

B3.

\(№\)	\(B_w,~мкТл\)	\(t,~с\)	\(\left(\frac{\mu_0M}{2\pi B_w(t)}\right)^{1/3},~см\)	\(v,~см/с\)
\(1\)	\(338.23\)	\(1.122\)	\(10.60\)	\(85\)
\(2\)	\(322.39\)	\(1.124\)	\(10.75\)	\(87\)
\(3\)	\(271.32\)	\(1.244\)	\(11.38\)	\(2\)
\(4\)	\(254.86\)	\(1.364\)	\(11.62\)	\(2\)
\(5\)	\(239.70\)	\(1.484\)	\(11.86\)	\(2\)
\(6\)	\(189.79\)	\(1.964\)	\(12.82\)	\(2\)
\(7\)	\(169.97\)	\(2.204\)	\(13.30\)	\(2\)
\(8\)	\(137.91\)	\(2.684\)	\(14.26\)	\(2\)
\(9\)	\(131.17\)	\(2.804\)	\(14.50\)	\(2\)
\(10\)	\(118.96\)	\(3.044\)	\(14.98\)	\(2\)
\(11\)	\(108.22\)	\(3.284\)	\(15.46\)	\(2\)
\(12\)	\(103.34\)	\(3.404\)	\(15.70\)	\(2\)
\(13\)	\(98.52\)	\(3.530\)	\(15.95\)	\(2\)
\(14\)	\(98.44\)	\(3.532\)	\(15.96\)	\(2\)
\(15\)	\(98.37\)	\(3.534\)	\(15.96\)	\(2\)
\(16\)	\(98.30\)	\(5.356\)	\(15.97\)	\(5\)
\(17\)	\(98.22\)	\(3.538\)	\(15.97\)

Ответ:

\[v_\mathrm{Cu}=2~см/с\]

Аналогично, начало движения в медной части – \(1.124~с\), а конец – \(3.536~с\). Отсюда:\[l_\mathrm{Cu}=(3.536-1.124)\cdot2~см=4.824~см.\]

Ответ:

\[l_\mathrm{Cu}=4.8~см\]

B4.

\(№\)	\(B_w,~мкТл\)	\(t,~с\)	\(\left(\frac{\mu_0M}{2\pi B_w(t)}\right)^{1/3},~см\)	\(v,~см/с\)	\(a,~м/с^2\)
\(1\)	\(1194.26\)	\(1.038\)	\(6.9\)	\(6\)	\(4.0\)
\(2\)	\(1188.09\)	\(1.04\)	\(7.0\)	\(14\)	\(5.7\)
\(3\)	\(1142.95\)	\(1.05\)	\(7.1\)	\(15\)	\(9.8\)
\(4\)	\(1056.94\)	\(1.06\)	\(7.2\)	\(25\)	\(9.8\)
\(5\)	\(941.55\)	\(1.07\)	\(7.5\)	\(34\)	\(9.8\)
\(6\)	\(811.40\)	\(1.08\)	\(7.9\)	\(44\)	\(9.8\)
\(7\)	\(679.75\)	\(1.09\)	\(8.4\)	\(54\)	\(9.8\)
\(8\)	\(556.44\)	\(1.10\)	\(9.0\)	\(64\)	\(9.8\)
\(9\)	\(447.31\)	\(1.11\)	\(9.6\)	\(74\)	\(9.8\)
\(10\)	\(354.74\)	\(1.12\)	\(10.4\)	\(83\)	\(9.8\)
\(11\)	\(338.23\)	\(1.122\)	\(10.6\)	\(85\)	\(-334.9\)
\(12\)	\(322.39\)	\(1.124\)	\(10.8\)	\(18\)	\(0.3\)
\(13\)	\(271.32\)	\(1.244\)	\(11.4\)

Магнит начинает движение в деревянной части в момент времени \(1.040~с\). Резкое падение скорости, соответствующее переходу в медную часть, происходит в \(1.124~см\). Поскольку магнит движется в деревянной части с ускорением свободного падения, её длину можно найти по формуле:\[l_\mathrm W=v_\mathrm{Al}t_\mathrm W+\dfrac{gt_\mathrm W^2}{2},\]где \(t_\mathrm W=(1.124-1.040)~с=0.084~с\). Таким образом:\[l_\mathrm W=3.96~см.\]

Ответ:

\[l_\mathrm W=4~см\]

Перевод: pho.rs.

Источник звука движется в плоскости \(x\text{-}y\) по окружности радиуса \(R\) с постоянной угловой скоростью \(\omega\). Сама окружность при этом смещается с постоянной скоростью \(v_S\), составляющей угол \(\beta\) с осью \(x\) (\(0^{\circ}<\beta <90^{\circ}\) ). На рисунке 1 красной пунктирной линией изображена траектория источника. В момент времени \(t=0\) центр окружности находится в точке \(C\) с координатами \((X_C, Y_C)\). Вектор \(\vec{CA}\) задаёт положение источника. В момент времени \(t=0\) вектор \(\vec{CA}\) составляет угол \(\phi\) с осью \(x\) (т.е. \(\angle BCA=\phi\) на рисунке 1(a)). В момент времени \(t=0\) источник \(S\) начинает двигаться против часовой стрелки и испускать звук на частоте \(f_0\).

Детектор \(D\) находится в той же плоскости \(x\text{-}y\) в точке с полярными координатами \(r_D\) и \(\theta\) (рис. 1(b)). Для угла между осью \(x\) и отрезком «детектор-источник» используйте обозначение \(\alpha\). Всё движение источника и детектора происходит только в плоскости \(x\text{-}y\).

Скорость звука \(c=330~\mathrm{м/c}\), и скорость источника относительно воздуха меньше скорости звука.

В каждый момент времени \(t\) детектор регистрирует звуковой сигнал на некоторой частоте \(f(t)\). Результаты измерения отображаются в симуляторе.

A1. Выразите координаты источника \(x(t)\), \(y(t)\), через величины \(\beta\), \(\phi\), \(v_s\) и другие.

exe

Симулятор запускается и работает в браузере (предпочтительно Chrome). Необходимо скачать все файлы проекта с гитхаба в одну папку и запустить в браузере файл index.html.

\(\textbf{Как пользоваться симулятором:}\)

В верхней части страницы можно ввести параметры детектора, а в нижней части — увидеть график измеренной зависимости \(f(t)\).

После изменения любых параметров нужно нажать "PLOT GRAPH", чтобы отобразить перемеренную зависимость \(f(t)\).

Положение детектора задаётся вводом значений \(r_D\) и \(\theta\). Параметр "Data-point interval \(\Delta\)" определяет интервал между экспериментальными точками и должен быть кратным \(0.001~\mathrm{с}\).

Ввод параметров \(v_D\) и \(\gamma\) приводит детектор в равномерное движение с заданной скоростью под заданным углом к оси \(x\). Не забудьте нажать "PLOT GRAPH", чтобы отобразить новую зависимость.

После нажатия "PLOT GRAPH" график строится для некоторого интервала времени: от "Graph Start time \((t_i)\)" до "Graph End time \((t_f)\)". На рисунке 2 график построен от \(0\) до \(25~\mathrm{с}\).

Наведя курсор на точки графика, можно увидеть координаты экспериментальных точек. Если интервал между точками мал, то может получиться, что будут отображаться координаты сразу нескольких соседних точек. Чтобы этого избежать, можно, например, увеличивать масштаб нужной части графика, подбирая параметры "Graph Start time" и "Graph End time".

\(\textbf{Внимание!}\) Процесс перестройки графика может сильно затянуться, вплоть до зависания компьютера, если требовать отображения слишком большого числа точек. Например, если задавать параметры \(\Delta = 0.001\), \(t_i=0\), \(t_f=25~\mathrm{с}\). Если у вас это произошло, прочитайте, что нужно сделать в общей инструкции к экспериментальному туру. Если вам нужно, используйте маленькие значения \(\Delta\) только для небольших интервалов времен. Максимальное количество точек, которое будет построено на графике — 25 000, вне зависимости от значения величины Graph End time (\(t_f\)).

Пробуйте разные комбинации параметров симулятора, внимательно изучайте получающиеся графики, в дальнейшем используйте координаты точек как экспериментальные данные. Миллиметровку можно при необходимости использовать в любом пункте.

A2. В симуляторе задайте \(r_\text{D}=\theta=0\) и нулевую скорость детектора. Отобразите график \(f(t)\) в диапазоне от \(5~\mathrm{с}\) до \(55~\mathrm{с}\). Занесите в таблицу координаты всех попавших в этот диапазон минимумов (\(f_\text{min}\) и соответствующие им времена \(t\)). Постройте график зависимости \(f_\text{min}\) от \(t\).

A3. Выразите минимальную частоту, которую в конечном итоге будет принимать неподвижный детектор, через \(v_s,\omega,R\) и другие величины.

Для дальнейших пунктов понадобится использовать различные значения величин \(r_\text{D}, \theta,v_\text{D}, \gamma,t_i,t_f,\) и \(\Delta\). Прежде чем использовать их в любых расчетах, занесите все требуемые значения в таблицу на странице A2-4, указывая там же, для каких действий они понадобятся.

Все выкладки необходимо подробно описать в листах решений. Ответ без пояснений не засчитывается. Если используете лист миллиметровки, в листах ответов укажите его номер. Погрешности оценивать не нужно.

В любом удобном вам порядке ответьте на следующие 4 вопроса.

A4. Найдите начальные (в момент времени \(t=0\)) координаты \((X_\text{A}, Y_\text{A})\) точки \(A\) (в метрах).

A5. Найдите значения величин \(f_0,\omega,R,v_s\).

A6. Найдите значение угла \(\beta\) (в градусах).

A7. Найдите начальные координаты \((X_\text{C}, Y_\text{C})\) точки \(C\) (в метрах).

▶РешениеСкрыть

Решение

A1. Ответ:

\[\begin{align} x(t) &= v_s t \cos \beta + R \cos (\omega t + \phi) + X_C \\ y(t) &= v_s t \sin \beta + R \sin (\omega t + \phi) + Y_C \end{align}\]

A2.

\(№\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)
\(t,~с\)	\(6.26\)	\(11.52\)	\(16.82\)	\(22.14\)	\(27.46\)	\(32.8\)	\(38.14\)	\(43.5\)	\(48.84\)	\(54.18\)
\(f_{\min},~Гц\)	\(545.36\)	\(544.40\)	\(544.03\)	\(543.85\)	\(543.75\)	\(543.69\)	\(543.65\)	\(543.62\)	\(543.59\)	\(543.58\)

Ответ:

A3. Рассмотрим общий случай, в котором движутся как детектор (скорость \(v_d\)), так и источник (скорость \(v_s\)). Также линия, соединяющая источник с детектором, образует угол \(\alpha\) с осью \(x\) (как на рисунке 1 в условии).

Заметим, что \(\alpha\) зависит от времени. Пусть \(\hat{n}\) обозначает единичный вектор, направленный от источника к детектору. Для случая, когда источник приближается к детектору, регистрируемая частота равна

\[\begin{align} f(t^\prime)& = f_0 \frac{c - \vec{v}_d \hat{n}}{c - \vec{v}_s \hat{n}} = f_0 \frac{c - v_d \cos (\gamma - \alpha(t))}{c - (\vec{v}_s + R\omega\hat{\theta}) \hat{n}} = f_0 \frac{c - v_d \cos (\gamma - \alpha(t))}{c - [v_s \cos(\beta - \alpha(t)) + R \omega \cos(\omega t + \phi + \pi/2 - \alpha(t))]} \\ &= f_0 \frac{c - v_d \cos (\gamma - \alpha(t))}{c - [v_s \cos(\beta - \alpha(t)) - R \omega \sin(\omega t + \phi - \alpha(t))]} \end{align}\]

Аналогично для случая, когда источник удаляется от детектора

\[f(t^\prime) = f_0 \frac{c - v_d \cos (\gamma - \alpha(t))}{c +[v_s \cos(\beta - \alpha(t)) - R \omega \sin(\omega t + \phi - \alpha(t))]}\]

Минимальная частота в пределе \(t \to \infty\)

Ответ:

\[f_{min} = f_0 \frac{c}{c + (v_s + \omega R)}.\]

A4. Найдем начальное положение источника. Для этого сначала поместим детектор в точку на оси \(x\) с координатой \(x_1\) (параметры положения детектора \(x_1, \, 0^\circ\)), а затем – на оси \(y\) с координатой \(y_1\) (параметры \(y_1, \, 90^\circ\) ). Из графика, запишем момент времени, в который первый сигнал достиг детектора. Обозначим соответственные времена \(\Delta t_x\) и \(\Delta t_y\) соответственно. Тогда

\[\begin{align} (x- x_1)^2 + y^2 = (c \Delta t _x)^2, \\ x^2 + (y - y_1)^2 = (c \Delta t _y)^2. \end{align}\]

Решение этой системы даст координаты источника. Например можно использовать значения \(x_1 = 500~м\), \(\Delta t_x = 1.5344~с\) и \(y_1 = 500~м\), \(\Delta t_y = 1.2727~c\). У каждого из двух уравнений выше есть два решения. Правильное решение можно выбрать, используя детектор в некотором третьем положении. Окончательно, получим

Ответ:

\[x_A = 420 \text{ м}, \; y_A = 500 \text{ м}.\]

A5. Пусть детектор находится в таком положении, где источник сначала приближается к нему с большого расстояния (например слева), а затем проходит мимо него и удаляется на большое расстояние (направо). В предельных случаях (далеко слева и далеко справа \(\alpha \approx \beta\)) можно измерить две пары частот – значения в максимуме и в минимуме (зависимость практически строго постоянна). Скорость детектора равна нулю \(v_d = 0\).

Далеко слева

\[\begin{align} f_{max} = f_0 \frac{c}{c - (v_s + \omega R)},\\ f_{min} = f_0 \frac{c}{c - (v_s - \omega R)}. \end{align}\]

Далеко справа

\[\begin{align} f_{max} = f_0 \frac{c}{c + (v_s - \omega R)},\\ f_{min} = f_0 \frac{c}{c + (v_s + \omega R)}. \end{align}\]

Из первой пары частот (слева) находим

\[\frac{f_{max} + f_{min}}{f_{max} - f_{min}} = \frac{c - v_s}{\omega R}.\]

Из второй пары (справа)

\[\frac{f_{max} + f_{min}}{f_{max} + f_{min}} = \frac{c + v_s}{\omega R}.\]

Отметим также, что из-за изменения расстояния между источником и детектором интервал времени между соседними максимумами регистрируемой частоты отличается от периода движения детектора по окружности \(2\pi/\omega\). В области, где детектор удаляется

\[\Delta t = \frac{2 \pi}{\omega} \left( 1 + \frac{v_s}{c}\right).\]

(Время увеличивается, поскольку более позднему импульсу нужно пройти большее расстояние, эффект полностью аналогичен эффекту Доплера.)

Полученные три уравнения можно использовать, чтобы определить \(v_s\), \(\omega\) и \(R\). Для этого нужно расположить неподвижный детектор в таком положении, чтобы источник сначала приближался с него с большого расстояния, а затем удалялся. Предельные значения частот можно найти из тех участков графика, где значения максимумов практически не меняются со временем. Кроме того, мы ожидаем резкого изменения в графике в том случае, когда детектор расположен почти на пути источника, \(\beta \approx \alpha\). Зафиксировав расстояние до детектора 8000 м, будем менять угол \(\theta\).

Видим, что при значении угла \(\theta = 30^\circ\) на графике наблюдается наиболее выраженный переход к предельным режимам слева и справа. В этих случаях значения частоты в максимумах практически не зависят от времени. При этом значения на левой части графика больше, чем на правой. Это означает, что на правой стороне источник удаляется от детектора. Для более точных измерений можно построить интересующий нас участок графика с уменьшенным расстоянием между точками на графике.

На левой части графика \(f_{min} = 788.24\) Гц, \(f_{max} = 5569.59\) Гц, поэтому

\[\frac{f_{max} + f_{min}}{f_{max} + f_{min}} = 1.33 = \frac{c - v_s}{\omega R}.\]

На правом участке \(f_{min} = 543.06\) Гц, \(f_{max} = 1353.45\) Гц. Поэтому

\[\frac{f_{max} + f_{min}}{f_{max} + f_{min}} = 2.34 = \frac{c + v_s}{\omega R}.\]

Отсюда находим \(v_s = 91.1\) м/c, \(\omega R = 179.66\) м/c. Расстояние между двумя максимумами при удаляющемся источнике \(\Delta t = 5.36\) с. Отсюда получим \(\omega = 1.49 \text{ с}^{-1}\). Поэтому \(R = 120.57\) м. Для определения \(f_0\) используем \(f_{max}\) для удаляющегося источника. Тогда получим \(f_0 = 990.26\) Гц.

Ответ:

\[f_0 = 990.26 \text{ Гц},\; \omega = 1.49 \text{ с}^{-1}, \; R = 120.57 \text{ м}, \; v_s = 91.1 \text{ м/с}.\]

A6.

Пусть детектор находится на большом расстоянии от источника. Сигнал достигает детектора в точке \(P\) за время \(t_0 = 1009.61\) с, а до детектора в точке \(Q\) за время \(t_1 = 1007.85\) с. Расстояние между детекторами \(PQ = 660\) м.

Разность этих времен можно найти как

\[t_0 - t_1 = \frac{PQ \cos \beta}{c}.\]

Отсюда

\[\cos \beta = \frac{c (t_0 - t_1)}{PQ}.\]

Отсюда получаем \(\beta = 28.36^\circ\).

Значение зарегистрированной частоты зависит од двух факторов: от положения источника на циклоиде в момент испускания, и от положения детектора.

Точки \(H\) и \(L\) на одном периоде траектории обозначают места, где скорость источника максимальна и минимальна соответственно. Это следует из того, что скорость центра \(\vec{v}_s\) тут параллельна или антипараллельна скорости движения по окружности.

Пусть источник совершает n-й поворот по циклоиде, а детектор расположен в некоторой точке дуги окружности 1, центр которой находится в начале координат. В зависимости от положения на дуге детектор будет регистрировать различные значения максимальной частоты \(f_{\max}\). Начнем от положения детектора вблизи оси \(x\) (\(\theta = 0^\circ\)). Будем изменять угол, частота \(f_{\max}\) будет возрастать до того момента, когда детектор попадет в точку \(D\) (этому отвечает некоторое значение угла \(\theta_1\)). На самом деле, для любого положения детектора на прямой \(B C\), которая параллельна \(AF\), он будет регистрировать максимально возможное значение максимума частоты \(f_{max}\). Аналогично, в любой точке прямой \(B^\prime C^\prime\), параллельной \(AF\) будет детектироваться минимальное значение \(f_{min}\) частоты в минимуме.

В симуляции мы будем менять положение детектора, а его скорость оставим равной нулю. Повторим это упражнение для детектора, который движется по другой дуге 2. Так мы найдем угол \(\theta_2\), при котором максимум частоты принимает наибольшее значение.

Найдя два значения \(\theta_1\) и \(\theta_2\), мы можем использовать координаты точек \(D\) и \(E\), чтобы найти угол, который отрезок \(DE\) образует с горизонтальной осью \(x\). Это и есть искомый угол \(\beta\). Если координаты точек \((x_1, \, y_1)\) и \((x_2, \, y_2)\) соответственно, угол

\[\beta = \arctan \frac{y_2 -y_1}{x_2-x_1}.\]

\(\theta,~{}^\circ\)	\(5\)	\(10\)	\(20\)	\(30\)	\(40\)	\(50\)	\(60\)	\(70\)	\(80\)	\(90\)
\(f_{\min},~Гц\)	\(676.08\)	\(722.99\)	\(763.49\)	\(781.46\)	\(753.98\)	\(711.98\)	\(677.39\)	\(651.25\)	\(630.99\)	\(614.68\)
\(f_{\max},~Гц\)	\(2670.30\)	\(3620.51\)	\(4957.28\)	\(5478.86\)	\(4032.21\)	\(3007.44\)	\(2486.46\)	\(2185.81\)	\(1987.99\)	\(1845.65\)

\(\theta,~{}^\circ\)	\(25\)	\(26\)	\(26.9\)	\(27\)	\(27.3\)	\(27.5\)	\(28\)	\(29\)	\(30\)	\(31\)	\(32\)
\(f_{\min},~Гц\)	\(777.95\)	\(779.67\)	\(780.80\)	\(780.90\)	\(781.18\)	\(781.33\)	\(781.62\)	\(781.81\)	\(781.46\)	\(780.58\)	\(779.17\)
\(f_{\max},~Гц\)	\(5538.23\)	\(5589.40\)	\(5609.15\)	\(5609.74\)	\(5609.55\)	\(5607.78\)	\(5597.66\)	\(5553.37\)	\(5478.86\)	\(5377.65\)	\(5254.35\)

Из анализа первой таблицы следует, что максимум находится в диапазоне \(\theta_1 \in (25^\circ, \, 35^\circ)\). Точное значение угла можно найти из графика, \(f_{max}\) от \(\theta\), получаем \(\theta_1 = 27^\circ\).

\(\theta,~{}^\circ\)	\(25\)	\(26\)	\(27\)	\(27.4\)	\(27.5\)	\(28\)	\(29\)	\(30\)	\(31\)	\(32\)
\(f_{\min},~Гц\)	\(781.12\)	\(781.47\)	\(781.70\)	\(781.76\)	\(781.77\)	\(781.81\)	\(781.80\)	\(781.66\)	\(781.41\)	\(781.04\)
\(f_{\max},~Гц\)	\(5589.09\)	\(5602.27\)	\(5609.05\)	\(5609.95\)	\(5610.01\)	\(5609.34\)	\(5603.16\)	\(5590.54\)	\(5571.60\)	\(5546.48\)

Из графика получаем, что для второй дуги максимум находится при \(\theta_2 = 27.5^\circ\). Используя найденные значения углов, определим координаты детекторов, а отсюда и угол \(\beta = 28.5^\circ\). Ответ:

\[\beta = 28.36^\circ.\]

A7.

В этой части расположим детектор в некоторой точке на оси \(y\). Найдем значение частоты для первого из сигналов, который получит детектор. Мы уже знаем значение \(R\) и начальные координаты источника. Регистрируемая частота \(f = 795.69\) Гц, если детектор расположен в точке \(y = 500\) м. Учитывая координаты источника (420 м, 500 м), значение угла \(\alpha =180^\circ\). Используя эти значения угла и частоты, найдем:

\[795.69 = \frac{990.26 \times 330}{330 - 91.1 \cos (28.5 - 180) + 179.66 \sin(\phi - \alpha)}.\]

Отсюда найдем угол \(\phi \approx 0^\circ\).

Тогда получаем координаты центра

Ответ:

\[x_C = 299.42 \text{ м}, \; y_C = 500 \text{м}.\]

Перевод: pho.rs.

Источник: Азиатская физическая олимпиада (APhO) 2022, экспериментальный тур — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Перевод на русский — pho.rs.