зад 1 Механика контактного взаимодействия
Введение
Механика контактного взаимодействия — классическая теория, описывающая взаимодействие тел при их динамическом контакте. Прежде всего, данная теория связана с именем Г. Герца, который первым получил значимые результаты в этой области. Вывод теории достаточно сложен, однако финальные уравнения в некоторых случаях решаются аналитически. Теория Герца следует из решений уравнений теории упругости с учётом следующих приближений:
Одна из контактных поверхностей — бесконечное полупространство;
Профиль давлений параболический (уравнение \((2)\));
Модель полупространства также может быть использована для рассмотрения взаимодействия двух шариков, возможно, различных размеров.
Рис. 1. A – шарик, B – полупространство
Если на поверхность действуют только вертикальные силы, её вертикальное смещение может быть описано следующим выражением:\[u_z (x,y)=\frac{2\pi}{E'}\int_{}\int{\frac{p(x',y')}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^{2}}}\,\mathrm dx'}{\,\mathrm dy'}\qquad(1)\]Здесь \(u_z\) — вертикальное смещение, \(E'\) — эффективный модуль Юнга (\({1}/{E'} = {(1-v_1^2)}/{E_1} + {(1-v_2^2)}/{E_2}\), где \(v_1\), \(E_1\), \(v_2\), \(E_2\) — коэффициенты Пуассона и модули Юнга контактирующих тел соответственно, они являются постоянными для выданных шариков, их значения будут указаны в пункте E1 ), \(p(x,y)\) — контактное давление.
Решение Герца получено для случая параболического профиля давлений (в общем случае уравнение не решается аналитически). В параболическом приближении хорошо описываются контакты сферических, эллиптических и цилиндрических тел.\[p(r)=p_{0}\left(1-\frac{r^{2}}{a^{2}}\right)^{1/2},\qquad(2)\]где\textasciitilde{}\(r\)\textasciitilde{}— расстояние до\textasciitilde{}произвольной точки плоскости. \(a\) называется контактным радиусом Герца, \(p_0\)\textasciitilde{}— максимальным давлением Герца. Подстановкой этого уравнения в\textasciitilde{}уравнение \((1)\) получается выражение для смещения Герца:\[u_{z}=\frac{\pi p_{0}}{4E'a}(2a^{2}-r^{2}),\quad r\le a.\qquad(3)\]
Эта задача состоит из двух частей:
Маятник с большой амплитудой
Столкновения двух шариков
Меры предосторожности
Перед включением в розетку/отключением из розетки кабелей питания убедитесь, что всё оборудование выключено (все переключатели переведены в положение off).
Не меняйте настройки осциллографа до соответствующих указаний в тексте задачи.
Не допускайте попадания воды на электронное оборудование и в розетки.
Постарайтесь не разбирать изначальную экспериментальную установку до окончания экспериментов с ней. Вам может быть затруднительно вернуть её в исходное состояние.
Оборудование
Рис. 2. Оборудование
Платформа с направляющими (используется в обеих экспериментальных задачах)
Маятник 1 с устройством для подвеса (изначально подвешен большой шарик)
Маятник 2 с устройством для подвеса (изначально подвешен большой шарик)
Два шарика меньшего размера
Экраны-транспортиры с левой и правой сторон установки
Блок управления
Блок питания
Осциллограф с измерительным щупом
Соединительные провода (используются при регистрации соударений шариков)
Фотодатчик с соединительным кабелем для регистрации пролёта шариков
Электромагнит на штативе для удержания шарика
Отвес
Часть A. Маятник с большой амплитудой (1.4 балла)
В этой части задачи вам нужно найти зависимость максимальной скорости маятника от амплитуды его колебаний во всём диапазоне углов, доступных для измерения. Для проведения измерений вам потребуется менять параметры маятника.
На каждом подвесе расположены две ручки (два гитарных колка). Они используются для регулировки положения шарика вверх/вниз (по оси \(z\)) и вперёд/назад (по оси \(y\)). Для регулировки влево/вправо (по оси \(x\)) используйте подвижную каретку, закреплённую двумя винтами (Рис. 3).
В этой части используйте только один маятник. Второй шарик уберите наверх. Убедитесь, что его нити не препятствуют движению исследуемого маятника.
Рис. 3
A1. Найдите угловой коэффициент графика \(\Delta t^{-1}\) от \(\sin {\varphi_0}/{2}\), где \(\varphi_0\) — угловая амплитуда колебаний маятника, \(\Delta t\) — время пролёта шарика через фотодатчик.
Примечание. Чтобы измерить период с помощью осциллографа достаточно точно, вы можете ознакомится с инструкцией по работе с осциллографом, приведённой в регламенте, а также выполнить упражнения, расположенные там же. Обратите внимание на модель вашего осциллографа.
Для экономии времени можно выполнить пункт B1 вместе с этим пунктом. Упругость нити и намагниченность шарика могут повлиять в начальный момент на его движение. Поэтому не следует проводить измерения при первом пролёте шарика через фотодатчик.
A2. Получите теоретическую зависимость максимальной скорости шарика от начального угла отклонения маятника.
Часть B. Период колебаний (1.9 баллов)
Зависимость периода колебаний маятника от угловой амплитуды задаётся следующим рядом:\[T=T_0\left(1+\alpha\cdot\sin^2\frac{\varphi_0}2+\beta\cdot\sin^4\frac{\varphi_0}2+\ldots\right)\qquad(4)\]Здесь \(T_0\) — период малых колебаний маятника, \(\alpha\) и \(\beta\) — некоторые постоянные, а \(\varphi_0\) — угловая амплитуда.
B1. Сняв зависимость периода колебаний от угловой амплитуды, постройте линеаризованные графики зависимости \(T=f(\varphi_0)\). Учтите, что для разных диапазонов угла могут потребоваться разные линеаризации.
Определите по этим графикам величины \(T_0\), \(\alpha\) и \(\beta\).
Примечание. Чтобы измерить период с помощью осциллографа достаточно точно, вы можете ознакомится с инструкцией по работе с осциллографом, приведённой в регламенте, а также выполнить упражнения, расположенные там же. Обратите внимание на модель вашего осциллографа.
B2. Используя угловой коэффициент, найденный в пункте A1, и значение \(T_0\), найденное в пункте B1, вычислите ускорение свободного падения в Улан-Баторе. Диаметр большого металлического шарика примите равным \(d=31.75~\)мм.
Часть C. Поведение шариков при столкновениях (0.7 баллов)
Начальные положения шариков и многие другие параметры установки заметно влияют на длительность столкновений, а также на положения точек контакта шариков. Поэтому при выполнении этой части задачи будьте предельно аккуратны при юстировке положения шариков.
В этой части нужно пронаблюдать, как положение точки контакта шариков влияет на их поведение при соударениях. Случаи, которые необходимо рассмотреть, описаны в пунктах C1—C4 (положения шариков в состоянии покоя показаны соответственно на Рис. 4). На Рис. 5 приведены графики зависимости координаты \(x\) одного из шариков от времени. В пунктах этой части задачи каждому положению на Рис. 4. нужно сопоставить один из графиков на Рис. 5.
Рис. 4
Рис. 5
C1. Когда оба шарика находятся в покое и равновесии, примем положение центра первого шарика за начало координат. Тогда положения шариков можно описать так: расстояние между центрами двух шариков по оси \(x\) равно \(d_x=2R\), расстояние по оси \(y\) равно \(d_y=0\), расстояние по оси \(z\) равно \(d_z \approx 1-2~мм\), а нити, на которых подвешены шарики, практически параллельны (см. рисунок 4a).
Отклоните шарик 1 на угол \(25{}^\circ-35{}^\circ\) и отпустите без начальной скорости (шарик 2 покоится).
Запишите букву соответствующего графика в лист ответов.
C2. Условия эксперимента: \(d_x-2R\approx1~мм\), \(d_y=0\), \(d_z=0\), нити параллельны. Этого можно добиться, раздвинув точки подвеса шариков на \(1~мм\) (см. рисунок 4b).
Отклоните шарик 1 на угол \(25{}^\circ-35{}^\circ\) и отпустите без начальной скорости (шарик 2 покоится).
Запишите букву соответствующего графика в лист ответов.
C3. Условия эксперимента: \(d_x\approx2R\), \(d_y=0\), \(d_z=0\), точки подвеса шариков соприкасаются. Нити в этом случае не будут параллельны (см. рисунок 4c).
Отклоните шарик 1 на угол \(25^\circ-35^\circ\) и отпустите без начальной скорости (шарик 2 покоится).
Запишите букву соответствующего графика в лист ответов.
C4. Условия эксперимента: \(d_x\approx2R\), \(d_y=0\), \(d_z=0\), точки подвеса шариков разделены между собой, нити параллельны (см. рисунок 4d).
Отклоните шарик 1 на угол \(25^\circ-35^\circ\) и отпустите без начальной скорости (шарик 2 покоится).
Запишите букву соответствующего графика в лист ответов.
Часть D. Время соударения (3.0 балла)
При соударении шарики будут некоторое время соприкасаться, пока снова не разлетятся. В этой части задачи исследуется зависимость времени соударения (\(\tau\)) от различных параметров шариков. Для получения зависимости вам нужно будет исследовать параметры соударений шариков одинакового или разного размеров.
Для измерения времени соударения используется электрическая цепь, показанная на рисунке 6. К шарикам прикреплены дополнительные тонкие металлические провода, нейлоновые нити используются только в качестве подвеса маятника. Обеспечьте надёжный контакт проводов с шариками. Для этого используйте выданные зубочистки. С их помощью можно закрепить провода и нейлоновые нити в креплении шарика. Вставляйте зубочистку только с одной стороны крепления! Для замены проводов необходимо достать зубочистку, для этого вам выдана скрепка (Рис. 7).
Рис. 6. \(B_1\) — шарик 1, \(B_2\) — шарик 2, \(Os\) — осциллограф
Рис. 7. 1 — зубочистка, 2 — скрепка
D1. Время соударения шариков \(\tau\) задаётся выражением:\[\tau\:=\:_{ }A\cdot x_1^{e_1} \cdot x_2^{e_2}\cdot\ldots \cdot x_n^{e_n},\]где \(A\) — безразмерная постоянная, а \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots\), \(x_n\) — параметры, влияющие на соударение.
Каким физическим величинам соответствуют эти параметры? Показатели \(e_1\), \(e_2\), \(\ldots\), \(e_n\) будут определены в пунктах D2 и D3.
D2. Снимите экспериментальные точки и постройте подходящие графики необходимых линеаризованных зависимостей. С их помощью найдите некоторые из показателей степеней в выражении для \(\tau\) из пункта D1.
D3. Используя метод размерностей и результаты пункта D2, определите оставшиеся показатели степеней.
D4. Найдите численное значение \(A\) с высокой точностью (не менее 4 значащих цифр).
Часть E. Параметры контактной деформации (3.0 балла)
Используя выражение для максимальной скорости, полученное в пункте A2, и экспериментальные данные, полученные в пункте D2, найдите следующие параметры для нескольких значений начальных углов. Используйте:
\(\nu=\nu_1=\nu_2=0.3\)
\(E=E_1=E_2=200~ГПа\)
Массы шариков \(m_1=131.48~г\), \(m_2=67.55~г\)
Диаметры шариков \(d_1=31.75~мм\), \(d_2=25.42~мм\)
E1. Получите выражение для средней силы деформации \(F_{av}\) и найдите её численное значение.
E2. Получите выражение для максимального смещения Герца \(\delta\) и найдите его численное значение.
E3. Получите выражение для радиуса Герца \(a\) и найдите его численное значение.
E4. Получите выражение для максимального давления Герца \(P_0\) и найдите его численное значение.
E5. Получите выражение для среднего давления \(P_{av}\) и найдите его численное значение.
▶РешениеСкрыть
A1.
В таблице ниже представлены измерения для пункта A1 (время \(\Delta t\) пролёта шарика через фотодатчик) и B1 (период колебаний \(T\)). Чтобы сэкономить время, можно проводить измерения для обоих пунктов одновременно.
| \(№\) | \(\varphi_0,~{}^\circ\) | \(\sin{\varphi_0}/2\) | \(t_{3in},~с\) | \(t_{3out},~с\) | \(t_{5in},~с\) | \(\Delta t=t_{3out}-t_{3in},~с\) | \(1/{\Delta t},~с^{-1}\) | \(T=t_{5in}-t_{3in},~с\) | \(v=d/\Delta t,~м/с\) |
| \(1\) | \(77.0\) | \(0.6188\) | \(1.257570\) | \(1.272170\) | \(2.51094\) | \(0.01460\) | \(68.49\) | \(1.25337\) | \(2.174\) |
| \(2\) | \(70.0\) | \(0.5701\) | \(1.227325\) | \(1.243150\) | \(2.45284\) | \(0.01583\) | \(63.19\) | \(1.22552\) | \(2.006\) |
| \(3\) | \(65.5\) | \(0.5376\) | \(1.218315\) | \(1.234875\) | \(2.43444\) | \(0.01656\) | \(60.39\) | \(1.21612\) | \(1.917\) |
| \(4\) | \(60.5\) | \(0.5006\) | \(1.203485\) | \(1.221420\) | \(2.40432\) | \(0.01794\) | \(55.76\) | \(1.20083\) | \(1.770\) |
| \(5\) | \(56.0\) | \(0.4664\) | \(1.188010\) | \(1.207500\) | \(2.37514\) | \(0.01949\) | \(51.31\) | \(1.18713\) | \(1.629\) |
| \(6\) | \(48.0\) | \(0.4041\) | \(1.170770\) | \(1.192860\) | \(2.34031\) | \(0.02209\) | \(45.27\) | \(1.16954\) | \(1.437\) |
| \(7\) | \(41.5\) | \(0.3519\) | \(1.158360\) | \(1.176660\) | \(2.31476\) | \(0.02563\) | \(39.02\) | \(1.15640\) | \(1.238\) |
| \(8\) | \(36.0\) | \(0.3069\) | \(1.147050\) | \(1.174520\) | \(2.29352\) | \(0.02961\) | \(33.77\) | \(1.14647\) | \(1.072\) |
| \(9\) | \(31.0\) | \(0.2654\) | \(1.140020\) | \(1.174520\) | \(2.27940\) | \(0.03450\) | \(28.99\) | \(1.13938\) | \(0.9200\) |
| \(10\) | \(24.5\) | \(0.2107\) | \(1.135300\) | \(1.179100\) | \(2.26742\) | \(0.04380\) | \(22.83\) | \(1.13212\) | \(0.7246\) |
| \(11\) | \(19.0\) | \(0.1639\) | \(1.115780\) | \(1.171840\) | \(2.24334\) | \(0.05606\) | \(17.84\) | \(1.12756\) | \(0.5662\) |
| \(12\) | \(14.9\) | \(0.1288\) | \(1.100050\) | \(1.174300\) | \(2.22485\) | \(0.07425\) | \(13.47\) | \(1.12480\) | \(0.4275\) |
| \(13\) | \(9.5\) | \(0.0822\) | \(1.107750\) | \(1.221600\) | \(2.23065\) | \(0.11385\) | \(8.78\) | \(1.12290\) | \(0.2789\) |
Угловой коэффициент \(k_1=110.77~с^{-1}\).
A2. Из закона сохранения энергии:\[\frac{mv^2}2=mgl(1-\cos\varphi_0)=2mgl\sin^2\frac{\varphi_0}2\implies v=2\sqrt{gl}\sin\frac{\varphi_0}2=k_2\sin\frac{\varphi_0}2\]\[v=\frac d{\Delta t}\implies\frac1{\Delta t}=2\frac{\sqrt{gl}}d\sin\frac{\varphi_0}2\implies k_2=2\frac {\sqrt{gl}}d=\frac{gT_0}{\pi d}=3.517~м/с\]
B1. Измерения при малых углах:
| \(№\) | \(\varphi_0,~{}^\circ\) | \(\sin{\varphi_0}/2\) | \(\sin^2{\varphi_0}/2\) | \(t_{3in},~с\) | \(t_{3out},~с\) | \(t_{5in},~с\) | \(T,~с\) | \(\Delta t,~с\) | \(1/{\Delta t},~с^{-1}\) |
| \(1\) | \(35.0\) | \(0.3007\) | \(0.09042\) | \(1.153908\) | \(1.183840\) | \(2.307440\) | \(1.1535\) | \(0.02993\) | \(33.41\) |
| \(2\) | \(32.0\) | \(0.2756\) | \(0.07598\) | \(1.148388\) | \(1.181756\) | \(2.296584\) | \(1.1482\) | \(0.03337\) | \(29.97\) |
| \(3\) | \(29.0\) | \(0.2504\) | \(0.06269\) | \(1.138780\) | \(1.176372\) | \(2.282468\) | \(1.1437\) | \(0.03759\) | \(26.60\) |
| \(4\) | \(26.0\) | \(0.2250\) | \(0.05060\) | \(1.140252\) | \(1.182736\) | \(2.280460\) | \(1.1402\) | \(0.04248\) | \(23.54\) |
| \(5\) | \(23.0\) | \(0.1994\) | \(0.03975\) | \(1.133444\) | \(1.181036\) | \(2.271252\) | \(1.1378\) | \(0.04759\) | \(21.01\) |
| \(6\) | \(20.0\) | \(0.1736\) | \(0.03015\) | \(1.117848\) | \(1.175064\) | \(2.252636\) | \(1.1348\) | \(0.05722\) | \(17.48\) |
| \(7\) | \(18.0\) | \(0.1564\) | \(0.02447\) | \(1.133656\) | \(1.197872\) | \(2.267360\) | \(1.1337\) | \(0.06422\) | \(15.57\) |
| \(8\) | \(16.0\) | \(0.1392\) | \(0.01937\) | \(1.128688\) | \(1.204768\) | \(2.260812\) | \(1.1321\) | \(0.07608\) | \(13.14\) |
| \(9\) | \(14.0\) | \(0.1219\) | \(0.01485\) | \(1.131244\) | \(1.232416\) | \(2.262348\) | \(1.1311\) | \(0.10117\) | \(9.884\) |
| \(10\) | \(11.0\) | \(0.0958\) | \(0.00919\) | \(1.130564\) | \(1.269412\) | \(2.260456\) | \(1.1299\) | \(0.13885\) | \(7.202\) |
| \(11\) | \(7.0\) | \(0.0610\) | \(0.00373\) | \(1.127648\) | \(1.338152\) | \(2.255932\) | \(1.1283\) | \(0.21050\) | \(4.751\) |
Т.к. \(\sin^4\frac{30^\circ}2\ll1\), то можно пользоваться разложением \(T\approx T_0\left(1+\alpha\sin^2\frac{\varphi_0}2\right)\). Из графика получаем\[T_0=1.1267~,\qquad\alpha T_0=0.2829~с\implies \alpha=0.251.\]Этот результат с хорошей точностью сходится с теоретическим\[\alpha_{th}=1/4\quad (\varepsilon_\alpha < 1\%).\]
Измерения при больших углах:
| \(№\) | \(\varphi_0,~{}^\circ\) | \(t_{3in},~с\) | \(t_{5in},~с\) | \(\sin{\varphi_0}/2\) | \(\sin^2{\varphi_0}/2\) | \(X=\sin^4{\varphi_0}/2\) | \(T=t_{5in}-t_{3in},~с\) | \(Y\) |
| \(1\) | \(77.0\) | \(1.257570\) | \(2.51094\) | \(0.6188\) | \(0.3829\) | \(0.1466\) | \(1.25337\) | \(0.0150\) |
| \(2\) | \(70.0\) | \(1.227325\) | \(2.45284\) | \(0.5701\) | \(0.3250\) | \(0.1056\) | \(1.22552\) | \(0.0073\) |
| \(3\) | \(65.5\) | \(1.218315\) | \(2.43444\) | \(0.5376\) | \(0.2890\) | \(0.08353\) | \(1.21612\) | \(0.0070\) |
| \(4\) | \(60.5\) | \(1.203485\) | \(2.40432\) | \(0.5006\) | \(0.2506\) | \(0.06279\) | \(1.20083\) | \(0.0031\) |
| \(5\) | \(56.0\) | \(1.188010\) | \(2.37514\) | \(0.4664\) | \(0.2176\) | \(0.04734\) | \(1.18713\) | \(-0.0008\) |
| \(6\) | \(48.0\) | \(1.170770\) | \(2.34031\) | \(0.4041\) | \(0.1633\) | \(0.02665\) | \(1.16954\) | \(-0.0028\) |
| \(7\) | \(41.5\) | \(1.158360\) | \(2.31476\) | \(0.3519\) | \(0.1238\) | \(0.01534\) | \(1.15640\) | \(-0.0046\) |
| \(8\) | \(36.0\) | \(1.147050\) | \(2.29352\) | \(0.3069\) | \(0.09420\) | \(0.00887\) | \(1.14647\) | \(-0.0060\) |
| \(9\) | \(31.0\) | \(1.140020\) | \(2.27940\) | \(0.2654\) | \(0.07044\) | \(0.00496\) | \(1.13938\) | \(-0.0064\) |
| \(10\) | \(24.5\) | \(1.135300\) | \(2.26742\) | \(0.2107\) | \(0.04440\) | \(0.00197\) | \(1.13212\) | \(-0.0063\) |
| \(11\) | \(19.0\) | \(1.115780\) | \(2.24334\) | \(0.1639\) | \(0.02686\) | \(0.000722\) | \(1.12756\) | \(-0.0060\) |
| \(12\) | \(14.9\) | \(1.100050\) | \(2.22485\) | \(0.1288\) | \(0.01658\) | \(0.000275\) | \(1.12480\) | \(-0.0058\) |
| \(13\) | \(9.5\) | \(1.107750\) | \(2.23065\) | \(0.0822\) | \(0.00676\) | \(0.000046\) | \(1.12290\) | \(-0.0051\) |
Т.к. \(T=T_0\left(1+\alpha\sin^2\frac{\varphi_0}2+\beta\sin^4\frac{\varphi_0}2\right)\), выберем для линеаризации переменные \(X=\sin^4\frac{\varphi_0}2\) и \(Y=\frac T{T_0}-1-\alpha\sin^2\frac{\varphi_0}2\), тогда \(Y=\beta X\).
Из графика получаем\[\beta=0.149,\]что не особо отличается от теоретического ответа \(\beta_{th}=9/64\) (\(\varepsilon_\beta=6\%\)).
B2. Для нахождения ускорения свободного падения в Улан-Баторе скомбинируем ранее полученные формулы:\[g=\frac{\pi dk_1}{T_0}=9.808~м/с^2.\]Это совпадает с теоретическим значением \(g_{UB}=\frac{\pi dk_1}{T_0}=9.804~м/с^2\) (\(\varepsilon_g < 1\%\)).
C1.
C2.
C3.
C4.
D1. Физические величины, от которых в принципе может зависеть время быстрого столкновения шариков:\[\tau=AM^{e_1}E^{e_2}R^{e_3}v^{e_4},\]где \(M\) — эффективная масса шариков, \(E\) — эффективный модуль Юнга, \(R\) — эффективный радиус шариков, \(v\) — их относительная скорость.
\[\tau=M^{e_1+e_2}L^{-e_2+e_3+e_4}T^{-2e_2-e_4}\implies\begin{cases}0=e_1+e_2\\0=-e_2+e_3+e_4\\1=-2e_2-e_4\end{cases}\]Итак, получено три уравнения на четыре показателя степени. Ещё одно уравнение необходимо получить экспериментально.
D2. Исследуем зависимость \(\tau(v)\):
| \(\varphi_0,~{}^\circ\) | \(v,~м/с\) | \(\tau,~мкс\) | \(\ln(v_{1c}/\frac мс),~v_{1c}=\frac v2\) | \(\ln(\tau/мкс)\) |
| \(70.0\) | \(1.96\) | \(81.7\) | \(-0.0227\) | \(4.403\) |
| \(52.0\) | \(1.49\) | \(87.14\) | \(-0.2916\) | \(4.468\) |
| \(37.0\) | \(1.08\) | \(93.58\) | \(-0.6148\) | \(4.539\) |
| \(29.1\) | \(0.86\) | \(98.47\) | \(-0.8483\) | \(4.590\) |
| \(21.2\) | \(0.63\) | \(104.00\) | \(-1.1600\) | \(4.644\) |
| \(15.0\) | \(0.44\) | \(110.50\) | \(-1.5030\) | \(4.705\) |
| \(12.0\) | \(0.36\) | \(115.50\) | \(-1.7252\) | \(4.749\) |
| \(9.0\) | \(0.27\) | \(123.40\) | \(-2.0121\) | \(4.815\) |
| \(7.0\) | \(0.21\) | \(128.9\) | \(-2.2630\) | \(4.859\) |
| \(6.0\) | \(0.18\) | \(131.80\) | \(-2.4169\) | \(4.881\) |
| \(4.0\) | \(0.12\) | \(141.00\) | \(-2.8222\) | \(4.949\) |
| \(3.0\) | \(0.09\) | \(149.00\) | \(-3.1098\) | \(5.004\) |
| \(1.0\) | \(0.03\) | \(207.00\) | \(-4.2083\) | \(5.333\) |
Прологарифмировав, получим\[e_4=-0.193\quad (3.5\%),\]в то время как теоретическое значение \(e_{4th}=-1/5\). Остаётся выяснить, что стоит брать в качестве эффективных радиуса и массы. Проведём эксперимент при постоянно скорости для разных комбинаций шариков:
\[k_{31}:k_{32}:k_{33}=12:9.5:6.8=1.76:1.40:1=31.75:25.06:18.00=d_1:d_2:d_3\implies \tau\propto (R_1+R_2).\]
D3. \[\begin{cases}e_1=2/5\\e_2=-2/5\\e_3=e_4=-1/5\end{cases}\implies \tau^5\propto \frac{M^2}{E^2Rv}\propto\frac{\rho^2R^5}{E^2v}\propto\frac{R^5}{c^5}\frac cv\implies\]выберем для линеаризации переменную \(X=\frac{R_1+R_2}c\left(\frac cv\right)^{1/5}\propto\tau\).
D4. Построив график \(\tau(X)\), имеем \(A=2.40\).
E1. Таблица измерений для определения силы взаимодействия, упругого смещения, радиуса Герца и контактного давления:
| Шарик | \(\varphi_0,~{}^\circ\) | \(v,~м/с\) | \(\tau,~мкс\) | \(\Delta p,~Н\cdot м\) | \(F_{av},~Н\) | \(\delta,~мкм\) | \(\delta^{1/5}мкм,~^{1/5}\) | \(F_{av}/\sqrt R,~Н\cdot м^{-1/2}\) | \(a,~мм\) | \(P_0,~ГПа\) |
| \(d/мм\) | \(70.0\) | \(1.96\) | \(81.7\) | \(0.2565\) | \(3139\) | \(39.93\) | \(252.3\) | \(1114.2\) | \(0.55\) | \(4.88\) |
| \(31.74\) | \(52.0\) | \(1.49\) | \(87.14\) | \(0.1960\) | \(2249\) | \(32.55\) | \(185.7\) | \(798.2\) | \(0.50\) | \(4.37\) |
| \(m/г\) | \(37.0\) | \(1.08\) | \(93.58\) | \(0.1419\) | \(1516\) | \(25.30\) | \(127.3\) | \(538.1\) | \(0.43\) | \(3.83\) |
| \(131.48\) | \(29.1\) | \(0.86\) | \(98.47\) | \(0.1123\) | \(1141\) | \(21.08\) | \(96.8\) | \(404.9\) | \(0.40\) | \(3.48\) |
| \(21.2\) | \(0.63\) | \(104.00\) | \(0.0822\) | \(791\) | \(16.30\) | \(65.8\) | \(280.7\) | \(0.35\) | \(3.08\) | |
| \(15.0\) | \(0.44\) | \(110.50\) | \(0.0584\) | \(528\) | \(12.29\) | \(43.1\) | \(187.5\) | \(0.31\) | \(2.70\) | |
| \(12.0\) | \(0.36\) | \(115.50\) | \(0.0467\) | \(405\) | \(10.29\) | \(33.0\) | \(143.6\) | \(0.28\) | \(2.47\) | |
| \(9.0\) | \(0.27\) | \(123.40\) | \(0.0351\) | \(284\) | \(8.25\) | \(23.7\) | \(100.9\) | \(0.25\) | \(2.19\) | |
| \(7.0\) | \(0.21\) | \(128.9\) | \(0.0273\) | \(212\) | \(6.71\) | \(17.4\) | \(75.2\) | \(0.23\) | \(1.99\) | |
| \(6.0\) | \(0.18\) | \(131.80\) | \(0.0234\) | \(178\) | \(5.88\) | \(14.3\) | \(63.0\) | \(0.21\) | \(1.87\) | |
| \(4.0\) | \(0.12\) | \(141.00\) | \(0.0156\) | \(111\) | \(4.19\) | \(8.6\) | \(39.3\) | \(0.18\) | \(1.60\) | |
| \(3.0\) | \(0.09\) | \(149.00\) | \(0.0117\) | \(79\) | \(3.32\) | \(6.1\) | \(27.9\) | \(0.16\) | \(1.43\) | |
| \(d/мм\) | \(70.0\) | \(1.958\) | \(65.43\) | \(0.1274\) | \(1947\) | \(32.02\) | \(181.2\) | \(778.1\) | \(0.44\) | \(4.87\) |
| \(25.42\) | \(47.1\) | \(1.362\) | \(71.20\) | \(0.0886\) | \(1245\) | \(24.24\) | \(119.4\) | \(497.4\) | \(0.38\) | \(4.20\) |
| \(m/г\) | \(30.1\) | \(0.909\) | \(77.27\) | \(0.0591\) | \(765\) | \(17.55\) | \(73.5\) | \(305.8\) | \(0.32\) | \(3.54\) |
| \(67.55\) | \(23.5\) | \(0.693\) | \(80.40\) | \(0.0451\) | \(561\) | \(13.93\) | \(52.0\) | \(224.2\) | \(0.29\) | \(3.22\) |
| \(18.5\) | \(0.552\) | \(85.20\) | \(0.0359\) | \(422\) | \(11.76\) | \(40.3\) | \(168.5\) | \(0.26\) | \(2.92\) | |
| \(13.8\) | \(0.407\) | \(91.85\) | \(0.0265\) | \(288\) | \(9.34\) | \(28.6\) | \(115.2\) | \(0.23\) | \(2.59\) | |
| \(8.4\) | \(0.257\) | \(99.70\) | \(0.0167\) | \(168\) | \(6.41\) | \(16.2\) | \(67.1\) | \(0.19\) | \(2.13\) | |
| \(d/мм\) | \(70.0\) | \(2.022\) | \(47.15\) | \(0.0497\) | \(1054\) | \(23.84\) | \(116.4\) | \(496.8\) | \(0.32\) | \(4.91\) |
| \(18.00\) | \(50.5\) | \(1.523\) | \(50.25\) | \(0.0374\) | \(745\) | \(19.13\) | \(83.7\) | \(351.0\) | \(0.28\) | \(4.35\) |
| \(m/г\) | \(37.5\) | \(1.142\) | \(53.00\) | \(0.0281\) | \(529\) | \(15.13\) | \(58.9\) | \(249.6\) | \(0.25\) | \(3.89\) |
| \(24.57\) | \(27.5\) | \(0.849\) | \(55.10\) | \(0.0209\) | \(379\) | \(11.70\) | \(40.0\) | \(178.5\) | \(0.22\) | \(3.47\) |
| \(21.1\) | \(0.653\) | \(59.25\) | \(0.0161\) | \(271\) | \(9.68\) | \(30.1\) | \(127.7\) | \(0.20\) | \(3.11\) | |
| \(15.0\) | \(0.439\) | \(62.80\) | \(0.0108\) | \(172\) | \(6.89\) | \(18.1\) | \(81.0\) | \(0.18\) | \(2.72\) | |
| \(7.0\) | \(0.226\) | \(70.20\) | \(0.0056\) | \(79\) | \(3.97\) | \(7.9\) | \(37.3\) | \(0.13\) | \(2.04\) | |
| \(4.0\) | \(0.136\) | \(78.80\) | \(0.0033\) | \(42\) | \(2.68\) | \(4.4\) | \(20.0\) | \(0.10\) | \(1.63\) | |
| \(R_1,R_2/мм\) | \(70.0\) | \(1.956\) | \(54.89\) | \(0.0809\) | \(1475\) | \(26.83\) | \(139.0\) | \(615.2\) | \(0.39\) | \(4.71\) |
| \(9.00\) | \(69.0\) | \(1.931\) | \(55.37\) | \(0.0799\) | \(1443\) | \(26.73\) | \(138.2\) | \(602.3\) | \(0.38\) | \(4.68\) |
| \(15.88\) | \(46.5\) | \(1.346\) | \(59.61\) | \(0.0557\) | \(934\) | \(20.06\) | \(89.8\) | \(389.9\) | \(0.33\) | \(4.04\) |
| \(m_1,m_2/г\) | \(45.9\) | \(1.329\) | \(60.13\) | \(0.0550\) | \(915\) | \(19.98\) | \(89.3\) | \(381.8\) | \(0.33\) | \(4.02\) |
| \(24.57\) | \(36.5\) | \(1.068\) | \(62.00\) | \(0.0442\) | \(713\) | \(16.55\) | \(67.3\) | \(297.4\) | \(0.30\) | \(3.70\) |
| \(131.18\) | \(34.2\) | \(1.002\) | \(63.92\) | \(0.0415\) | \(649\) | \(16.02\) | \(64.1\) | \(270.8\) | \(0.29\) | \(3.58\) |
| \(R,~мм\) | \(27.4\) | \(0.807\) | \(66.30\) | \(0.0334\) | \(504\) | \(13.38\) | \(49.0\) | \(210.3\) | \(0.27\) | \(3.29\) |
| \(5.74\) | \(26.5\) | \(0.781\) | \(67.10\) | \(0.0323\) | \(482\) | \(13.11\) | \(47.5\) | \(201.1\) | \(0.27\) | \(3.24\) |
| \(\mu,~г\) | \(21.5\) | \(0.636\) | \(69.46\) | \(0.0263\) | \(379\) | \(11.04\) | \(36.7\) | \(158.1\) | \(0.25\) | \(2.99\) |
| \(20.69\) | \(18.0\) | \(0.533\) | \(70.90\) | \(0.0221\) | \(311\) | \(9.45\) | \(29.1\) | \(129.9\) | \(0.23\) | \(2.80\) |
Общий график для шариков
\[F_{av}\propto\sqrt{R\delta^3},\quad K_C=\mu v_r^2/2=\frac12\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}v^2,\\\Delta p=2\mu v_r=\frac{2m_1m_2v}{m_1+m_2}\implies F_{av}=\frac{\Delta p}\tau,\\K_C=F_{av}\delta\implies\delta=\frac{K_C}{F_{av}}=v\tau/4,\\F_{max}=\frac32F_{av}\implies\]
E2. Смещение Герца:\[\delta=\sqrt[3]{\frac{9F_{av}^2}{16RE^{\prime2}}}.\]Здесь приведённый модуль Юнга \(\frac1{E'}=2\frac{1-\nu_1^2}{E_1}\).
E3. Радиус Герца:\[a=\sqrt[3]{\frac{3FR}{4E'}}=\sqrt{R\delta},\]где \(\frac1R=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\).
E4.
E5. Наконец, давление Герца:\[P_0=\frac2\pi E'\sqrt{\frac{\delta}{R}}\implies P_0=\frac32P_{av}.\]
Перевод: pho.rs.
зад 2 Интерференция на температурно-деформированной поверхности
В этом эксперименте исследуется дифракция света на акриловой поверхности, которая деформируется под действием излучения лазера. Акрил (полиметилметакрилат) — органический материал в 5 раз прочнее стекла.
Оборудование
Лазер (напряжение регулируется блоком управления 6)
Экран с отверстием
Два мультиметра (один амперметр и один вольтметр)
Соединительные провода для источника питания лазера и блока управления
Соединительные провода для мультиметров
Блок управления
Источник питания
Акриловая пластинка (образец) с регулируемой стойкой
Схема экспериментальной установки
Рис. 1а. Вид на установку сбоку. Луч лазера проходит через отверстие в экране и затем отражается от образца (акриловой пластинки), в результате чего наблюдается интерференция в отраженном свете
Рис. 1b. Вид на стойку лазера сбоку. Красными стрелками указаны направления, в которых можно смещать или поворачивать лазер с помощью соответствующих винтов
Эксперимент состоит из двух частей. В первой части исследуется, как зависят от мощности лазера параметры интерференционной картины (угловой размер, число полос, угловое расстояние между полосами).
Во второй части изучается, как зависят от мощности лазера параметры возникающей деформации, которая создает эту интерференционную картину.
Работа с оборудованием
Аккуратно снимите с оптической скамьи оборудование от предыдущего эксперимента и поместите его на мягкий коврик.
Поместите на оптическую скамью лазер, экран и акриловую пластинку, как показано на рисунке 1а. Отрегулируйте лазер, чтобы его луч был направлен горизонтально вдоль оси оптической скамьи и проходил через центр отверстия в экране. Убедитесь, что луч падает на акриловый образец почти перпендикулярно.
ЛАЗЕР ОЧЕНЬ МОЩНЫЙ. НЕ СМОТРИТЕ В ЕГО ЛУЧ!
Закрепите акриловую пластинку в магнитном держателе. Используйте белую акриловую бумажку, чтобы сфокусировать лазер и отрегулировать положение луча.
Примечание 1. Во время работы с лазером постепенно увеличивайте его мощность, начиная с маленьких значений.
Примечание 2. Убедитесь, что поверхность акриловой пластинки чистая. Область, на которую светит лазер, можно протереть салфеткой для линз. Не протирайте акриловую пластинку грубой тканью, так как она может наэлектризовать акрил, и к нему прилипнет пыль.
Расположите акриловую пластинку обратной стороной к лучу, снимите покрытие и как можно точнее определите точку, в которую попадает лазерное излучение.
Учитывайте, что если поверхность акриловой пластинки грязная или освещается слишком интенсивным излучением, то дифракционные полосы могут деформироваться и стать овальными. Также могут появиться дополнительные полосы.
Переведите переключатель источника питания в положение ON.
Чтобы увеличить интенсивность излучения лазера, нужно увеличить напряжение на нём.
Чтобы измерить постоянное напряжение на лазере и постоянный ток через него, подключите к лазеру мультиметры. При первой настройке переключайте их диапазоны от большего к меньшему. Напряжение на лазере можно увеличивать вплоть до \(4.5~В\).
Лазерный луч отражается от плоской непрозрачной матовой поверхности акриловой пластинки. Если интенсивность лазерного излучения постепенно увеличивать, поверхность пластинки начнет плавиться, когда интенсивность достигнет определенного значения. Расплавленные пятна видны невооруженным глазом.
Вращайте передний винт на подставке лазера, чтобы сфокусировать его излучение на поверхности.
Яркое пятно, создаваемое излучением, отраженным от поверхности, можно наблюдать на экране, расположенном за лазером. Пронаблюдайте, как форма и размер этого пятна меняются при увеличении или уменьшении интенсивности света.
Часть A. Плавление акрила лазерным излучением (0.8 баллов)
Пока мощность лазера не достигает определенного значения, изменения дифракционной картины обратимы. В этой части нужно определить верхнее граничное значение мощности лазера, после которого заканчивается режим термоупругих деформаций и начинается плавление.
A1. Определите значение мощности \(p_{max}\), отвечающее моменту начала плавления.
A2. Определите диаметр внешней светлой интерференционной полосы, когда мощность лазера отвечает моменту начала плавления.
Часть B. Режим термоупругих деформаций (3.5 баллов)
B1. Определите зависимость диаметра внешней светлой интерференционной полосы и количества интерференционных полос от мощности. Занесите результаты измерений в таблицу в листе ответов.
B2. Постройте график зависимости диаметра внешней светлой интерференционной полосы от мощности лазера.
B3. Постройте график зависимости количества интерференционных полос на экране от мощности лазера.
Часть C. Положения интерференционных полос при постоянной мощности (3.7 балла)
C1. Измерьте угловое положение (угол между лучом, направленным на полосу порядка \(n\) и осью \(x\)) и угловую ширину (угол между лучом направленным на полосу порядка \(n\) и на полосу с номером \(n+1\)) светлых полос при постоянной мощности, подаваемой на лазер, в зависимости от порядка интерференции полосы, занесите результаты измерений в таблицу.
C2. Постройте линейный график зависимости углового положения полосы от ее порядка интерференции.
C3. Определите угловой коэффициент и свободный член для графика из C2.
C4. Постройте график зависимости угловой ширины полосы от ее порядка интерференции.
Рис. 2. Изображение интерференционных полос на экране
Часть D. Параметры температурной деформации (2 балла)
В этой части интерференционная картина используется, чтобы определить параметры температурной деформации. Когда лазер нагревает поверхность, она деформируется. На экране появляется интерференционная картина, показанная на графиках ниже:
На графиках голубым цветом изображен профиль сечения деформации. Красным показана зависимость интенсивности от расстояния до центра интерференционной картины. При увеличении интенсивности лазера увеличивается количество светлых интерференционных полос. Из графиков можно найти эмпирическую связь между высотой деформации и количеством интерференционных полос, \(m = 2h/\lambda\).
D1. Получите зависимость высоты температурной деформации от мощности лазера.
Высота деформации измеряется в единицах длины волны лазера. Вам потребуется подсчитать количество интерференционных полос и найти максимальный порядок интерференции.
Постройте график зависимости высоты деформации от мощности лазера.
Подсказка: снимите данные для различных мощностей лазера, при этом обязательно должен быть покрыт диапазон от \(200~мВт\) до \(400~мВт\).
D2. Чему равны высоты термальной деформации при следующих мощностях лазера? Приведите ответ в единицах длины волны лазера.
\(200 ~мВт\)
\(300 ~мВт\)
\(400~ мВт\)
▶ОтветСкрыть
A1: Пронаблюдаем интерференцию и найдем \(P \approx 360 ~ мВт\); A2: Из измерения при расстоянии от образца до экрана \(L = 49.2 ~ см\) найдем \(D \approx 27.5~ см\).; C3: Зависимость имеет вид \(m' = 167.82 \sin \alpha_m - 2.1722\)
▶РешениеСкрыть
A1. Ответ:
Пронаблюдаем интерференцию и найдем \(P \approx 360 ~ мВт\)
A2. Ответ:
Из измерения при расстоянии от образца до экрана \(L = 49.2 ~ см\) найдем \(D \approx 27.5~ см\).
B1. Ответ:
| № | \(I\), мА | \(U\), В | \(P\), мВт | N |
| 1 | 81.9 | 3.62 | 296.5 | 4 |
| 2 | 83.3 | 3.62 | 301.5 | 5 |
| 3 | 84.2 | 3.63 | 305.6 | 9 |
| 4 | 84.3 | 3.63 | 306.0 | 10 |
| 5 | 84.9 | 3.64 | 309.0 | 11 |
| 6 | 85.3 | 3.64 | 310.5 | 12 |
| 7 | 86.5 | 3.65 | 315.7 | 13 |
| 8 | 87.6 | 3.66 | 320.6 | 15 |
| 9 | 88.3 | 3.67 | 324.1 | 16 |
| 10 | 89.0 | 3.67 | 326.6 | 19 |
| 11 | 91.2 | 3.70 | 340.8 | 20 |
| 12 | 94.3 | 3.72 | 350.8 | 21 |
B2. Требуемый график
Ответ:
B3. Требуемый график
Ответ:
C1. Измерения при \(L = 49.2\) см
Ответ:
| m | \(R\), см | \(\tan \alpha_m\) | \(\alpha_m,~^\circ\) | \(\Delta \alpha_m, ~^\circ\) |
| 1 | 1.0 | 0.020 | 1.16 | 0.35 |
| 2 | 1.3 | 0.026 | 1.51 | 0.23 |
| 3 | 1.5 | 0.030 | 1.75 | 0.35 |
| 4 | 1.8 | 0.037 | 2.10 | 0.35 |
| 5 | 2.1 | 0.043 | 2.44 | 0.23 |
| 6 | 2.3 | 0.047 | 2.68 | 0.35 |
| 7 | 2.6 | 0.053 | 3.03 | 0.46 |
| 8 | 3.0 | 0.061 | 3.49 | 0.23 |
| 9 | 3.2 | 0.065 | 3.72 | 0.46 |
| 10 | 3.6 | 0.073 | 4.18 | 0.46 |
| 11 | 4.0 | 0.081 | 4.65 | 1.04 |
| 12 | 4.5 | 0.100 | 5.69 | 1.04 |
| 13 | 5.0 | 0.118 | 6.72 |
C2. Линеаризованный график (зависимость \(m\) от \(\sin \alpha_m\))
Ответ:
C3. Ответ:
Зависимость имеет вид \(m' = 167.82 \sin \alpha_m - 2.1722\)
C4. Ответ:
D1. Ответ:
| № | \(m_{\text{max}}\) | \(P\), мВт | \(h\), \(\lambda\) |
| 1 | 4 | 296.5 | 2.0 |
| 2 | 5 | 301.5 | 2.5 |
| 3 | 9 | 305.6 | 4.5 |
| 4 | 10 | 306.0 | 5.0 |
| 5 | 11 | 309.0 | 5.5 |
| 6 | 12 | 310.5 | 6.0 |
| 7 | 13 | 315.7 | 6.5 |
| 8 | 15 | 320.6 | 7.5 |
| 9 | 16 | 324.1 | 8.0 |
| 10 | 19 | 326.6 | 9.5 |
| 11 | 20 | 340.8 | 10.0 |
| 12 | 21 | 350.8 | 10.5 |
Ответ:
D2. Ответ:
| \(P\), мВт | \(h\), \(\lambda\) |
| 200 | -12.6 |
| 300 | 3.6 |
| 400 | 19.8 |
При мощности 200 мВт правильным может считаться небольшое положительное значение.
Перевод: pho.rs.
Источник: Азиатская физическая олимпиада (APhO) 2023, экспериментальный тур — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Перевод на русский — pho.rs.