Олимпиады · APhO

APhO 2026, экспериментальный тур

2 задачи
PDF: условия · с ответами · с решениями
РусскийEnglish:12

зад 1 Водяные часы

Гидростатика и гидродинамика › ГидродинамикаУравнение Бернулли, истечение жидкостиИсследование установки, «процессы и измерения»сложность 5/10

Введение

Рисунок

Время можно измерять с помощью периодических или непрерывных физических процессов. До появления современных атомных часов для измерения времени использовались различные методы, такие как солнечные, маятниковые и водяные часы.

Водяные часы измеряют время с помощью регулируемого потока воды. В этом эксперименте рассматриваются физические принципы, определяющие скорость потока воды, и их применение для создания водяных часов.

Оборудование

Рисунок

  1. Резервуар A (нижний резервуар с краном и двумя отверстиями с заглушками)

  2. Резервуар B (верхний резервуар для подачи воды с отверстием и заглушкой)

  3. Опора для резервуаров

  4. Контейнер для сбора воды

  5. Две бутылки с водой по 2 литра каждая (не показаны на фотографии)

  6. Сифонный насос

  7. Секундомер

  8. Мерный стакан

  9. Линейка

  10. Пузырьковый уровень

  11. Регулируемая подставка

  12. Полотенце (не показано на фотографии)

Заберите полотенце с собой после окончания эксперимента.

Регулировка подставки

Под пластиной регулируемой подставки находятся четыре винта. Вы можете изменять положение подставки, поворачивая винты.

Сифонный насос

Воду из контейнера можно убрать с помощью сифонного насоса. Опустите прямую трубку в воду, а шланг вставьте в бутылку с водой. Затем, нажимая на красную ручку, перекачайте воду в бутылку.

Примечание:

Эксперимент

Часть A. Слив воды через кран (5 баллов)

  1. Установите регулируемую подставку в контейнер для сбора воды.

  2. Регулируя винты, приведите подставку в устойчивое горизонтальное положение.

  3. Установите на подставку опору для резервуаров.

  4. Установите резервуар A на опору.

Резервуар A имеет три выхода: отверстие диаметром 5 мм, отверстие диаметром 4 мм и кран внутренним диаметром 4 мм.

В части A используйте только кран.

A1. Измерьте внутренние размеры резервуара A. Измерьте ширину, длину и расстояние между делениями шкалы уровня воды. Нулевой уровень проходит через середину отверстий и крана.

A2. Наполните резервуар A водой до деления 5.0 см. Полностью откройте кран. Проведите измерения времени, за которое уровень воды понижается с 5.0 см до 4.0 см. Приведите погрешности. Для определения уровня воды используйте шкалу на резервуаре.

A3. Повторите измерения, описанные в пункте A2, для более чем четырёх различных начальных уровней воды, превышающих 3 см. При более низких начальных уровнях, например, от 1 до 3 см, измерения занимают слишком много времени. Для каждого измерения запишите исходные данные и усреднённое время, необходимое для понижения уровня воды на 1.0 см.

A4. Для каждого значения начального уровня воды найдите среднюю скорость \(v_v\), с которой вода течёт через кран за время снижения уровня на 1 см.

A5. Предположим, что средняя скорость описывается уравнением: \[v_v = C_1 h^x.\] Постройте подходящий график и вычислите показатель степени \(x\).

Обратите внимание, что для определения показателя степени \(x\) лучше использовать среднее значение между начальным и конечным уровнями.

Часть B. Слив воды через отверстие (3 балла)

В этой части используйте меньшее отверстие в резервуаре A, диаметр которого составляет 4 мм.

Кран, который использовался в части A, должен быть закрыт.

B1. Для как минимум пяти различных начальных значений уровня воды \(h\) измерьте время, необходимое для понижения уровня воды на 1.0 см.

B2. Для каждого значения начального уровня воды найдите среднюю скорость \(v_h\), с которой вода течёт через отверстие за время снижения уровня на 1 см.

Используйте тот же метод, что и в A4.

B3. Сравните среднюю скорость течения воды через кран (\(v_h\)) и через отверстие (\(v_v\)).

Предположим, что \(v_v = C_2 v_h\).

Вычислите постоянную \(C_2\).

Часть C. Изготовление водяных часов (2 балла)

Соберите водяные часы, используя резервуары A и B.

Расположите резервуары следующим образом:

Для стабильной работы вода в резервуаре A должна доходить до краёв и/или переливаться за счёт воды, поступающей из резервуара B.

C1. Пусть \(h_c\) — минимальный уровень воды в резервуаре B, отсчитываемый от центра отверстия, необходимый для того, чтобы резервуар A оставался полным или переливался. Предложите схему эксперимента, позволяющего определить это значение. Запишите все экспериментальные данные и вычислите из них \(h_c\).

C2. Для работы водяных часов необходимо периодически доливать воду в резервуар B.

Предложите схему эксперимента, позволяющего определить максимальный интервал времени между последовательными пополнениями резервуара B при работе водяных часов. Запишите все экспериментальные данные и вычислите из них это значение.

зад 2 Измерение сопротивлений с помощью Micro:bit

Электрические цепи › Постоянный токАмперметры, вольтметры, мостыИзмерения и погрешностисложность 5/10

В этой задаче вы будете определять сопротивление резистора с помощью встроенного в Micro:bit АЦП (аналого-цифрового преобразователя) для считывания напряжения, несмотря на то что его точность ограничена. Главное — минимизировать ошибку измерений на имеющемся оборудовании. Вам выдано три контроллера Micro:bit, чтобы скомпенсировать возможные погрешности в их работе. В целом эта задача о преодолении ограничений установки и получении достоверных результатов.

Оборудование

  1. Макетная плата: Макетная плата состоит из линий питания, проходящих по обоим внешним краям, где разъёмы соединены в вертикальные столбцы для подачи питания (\(+\)) и земли (\(-\)). Центральная область для компонентов имеет внутренние соединения в виде горизонтальных рядов, состоящих из пяти разъёмов каждый (A—E и F—J). Эти левая и правая группы по пять разъёмов полностью изолированы друг от друга центральной перегородкой.

  2. Высокоточные резисторы (A, B, C и D): компоненты с допуском \(0.1\%\), где резисторы с известным сопротивлением служат в качестве эталонных «истинных значений» для проверки точности системы, а резисторы с неизвестным сопротивлением закрыты цветными трубками. Их значения и нужно определить в эксперименте. Снимать трубки с «неизвестных» сопротивлений категорически запрещено!

3. Набор Micro:bit: контроллер Micro:bit, выводная плата (3a), три предварительно вставленные перемычки (3b, 3c, 3d) и батарейный отсек (3e) с батарейками.

Измерение потенциала с помощью Micro:bit

Как подключать провода (см. рис. 1)

Подключите три перемычки от выводной платы в соответствии с их вертикальным расположением:

Рисунок

Рис. 1

Порядок проведения измерений

  1. Настройка питания: сначала подключите нижнюю (GND) и среднюю (\(V_c\)) перемычки, а затем включите батарейки.

  2. Измерительный контакт: при включенном питании вставьте верхнюю перемычку в необходимый разъём.

  3. Вывод данных: нажмите кнопку A или B на передней панели Micro:bit и запишите прокручивающееся цифровое значение (\(N\)).

Важные примечания

Часть A. Анализ измерений АЦП (1.2 балла)

Цель задачи — изучить взаимосвязь между цифровым выводом Micro:bit (\(N\)) и потенциалом узла (\(V\)). Собрав схему из восьми одинаковых резисторов из «Набора резисторов A», вы проверите, действительно ли встроенный АЦП соответствует идеальной линейной модели. В процессе измерений считайте, что измерительная перемычка Micro:bit является идеальным щупом, который не нарушает распределение потенциала в цепи. Считая, что все резисторы одинаковые, нужно сделать вывод, действительно ли значение потенциала прямо пропорционально показаниям АЦП.

A1. Нарисуйте измерительную схему, с помощью которой можно проверить линейную связь между потенциалом и показаниями АЦП. Придерживайтесь следующих требований:

Отметьте все узлы, в которых будут производиться измерения потенциала, и присвойте каждому из них уникальное обозначение (например, \(a,b,\ldots\)).

Четко обозначьте точки соединения между перемычками питания Micro:bit (\(V_c\), \(GND\)) и цепью как \(V_c\) и \(GND\), соответственно.

A2. Соберите схему и проведите измерения для всех её узлов. Используйте только один контроллер Micro:bit. Рассчитайте разности в измерениях АЦП между соседними узлами для проверки линейности. Проверьте линейность, считая, что максимально допустимое отклонение не должно превышать \(2\%\) (наибольшее отклонение среди всех точек от среднего значения).

По завершении части A оставьте только два резистора, использованных в эксперименте, а все остальные верните в пакет (набор резисторов A), чтобы они не мешались.

Часть B. Прямые измерения и погрешности (3.5 балла)

Цель этой части задачи — оценить значение неизвестного сопротивления \(r\), по эталонному значению \(R\) и выходному сигналу Micro:bit. Для анализа сделаны следующие допущения:

B1. Нарисуйте измерительную схему для измерения сопротивления неизвестного резистора (\(r\)), используя эталонный резистор (\(R\)).

Примечание: эталонный резистор \(R\) должен быть напрямую подключен к узлу GND. Обозначьте все измерительные узлы буквами и укажите все используемые величины на схеме. Четко обозначьте точки соединения между перемычками питания (\(V_c\), \(GND\)) выводной платы Micro:bit и цепью резисторов как \(V_c\) и \(GND\), соответственно.

B2. Для полученного делителя напряжения получите выражение для расчета неизвестного сопротивления. Запишите все необходимые уравнения, получите выражение через выходные значения АЦП, \(N_L\), \(N_H\) и т.д. Пере пишите формулу для случаев \(N_L = 0\) и \(N_H =1023\).

B3. Соберите схему и проведите измерения с использованием трех контроллеров Micro:bit. Каждым устройством получите полный набор измерений для своей схемы (для всех узлов). Считая, что истинные значения обоих сопротивлений равны \(3.3~кОм\), рассчитайте среднюю относительную погрешность (\(\bar{\epsilon}\)), усредненную по трем АЦП. Рассчитайте также относительное стандартное отклонение (RSD) найденных значений сопротивления. Средняя относительная погрешность — это средняя величина отклонения между измеренными и истинными значениями, нормированная по истинному значению. RSD — это отношение среднеквадратичного отклонения к среднему значению.

B4. Теперь проанализируйте, как приборная погрешность измерения АЦП (\(e\)) влияет на точность определения сопротивления. Для простоты примем, что \(N_{L}=0\) и \(N_{H}=1023\). Выразите погрешность \(\Delta r\) сопротивления через \(N\), \(e\) и \(R\). Считайте, что \(e\) достаточно мало по сравнению с \(N\).

B5. Пусть погрешность АЦП равна \(e=1\), рассчитайте требуемый диапазон \(r/R\), при котором относительная погрешность сопротивления (\({\Delta r}/{r}\)) остается в пределах \(1\%\).

По завершении части B верните все резисторы в исходную упаковку (набор резисторов A), чтобы они не мешались.

Часть C. Учет ошибки дискретизации при измерениях (1.9 балла)

Цель этой части задачи — добиться более точной оценки сопротивления, когда прямой метод из части B оказывается недостаточным из-за ошибки дискретизации. Ошибка дискретизации — это разница между непрерывным входным сигналом и его оцифрованным представлением, возникающая из-за конечного разрешения АЦП. Когда отношение сопротивлений (\(r/R\)) значительно отклоняется от 1, ошибка дискретизации (погрешность из-за того, что АЦП выводит целое значение) заметно возрастает, что приводит к существенным погрешностям в определении сопротивления. В этой части используется набор резисторов C.

C1. Используя эталонный резистор (\(12~кОм\)) из набора резисторов C, вычислите сопротивления неизвестных резисторов \(r_1\) (синяя трубка) и \(r_2\) (красная трубка). Используйте метод из части B. Сделайте это только для одного из трех Micro:bit.

C2. Точность результата, полученного в C1 для резистора \(r_2\) (красная трубка), неудовлетворительна. Нарисуйте схему цепи, содержащую \(R\), \(r_1\), \(r_2\), которая позволяет более точно определить \(r_2\).

Примечание: На всех схемах должны быть четко обозначены все узлы, в которых вы снимаете значения, и используемые переменные. Четко обозначьте точки соединения между перемычками питания (\(V_c\), \(GND\)) выводной платы Micro:bit и цепью резисторов как \(V_c\) и \(GND\) соответственно.

C3. Вычислите \(r_2\) из эксперимента, предложенного вами в C2. Рассчитайте сопротивление для каждого из трех Micro:bit и вычислите разницу между максимальным и минимальным значениями полученного сопротивления.

После завершения части C верните все резисторы в исходную упаковку (набор резисторов C), чтобы они не мешались.

Часть D. Дополнительные факторы при измерениях (3.4 балла)

Набор резисторов D содержит известный резистор \(R_1~(=510 ~кОм)\) и неизвестный резистор \(r\). Прямой метод из части B приводит к значительным погрешностям. Наблюдаемые расхождения обусловлены физическим фактором, который принципиально отличается как от нелинейности АЦП, так и от ошибок дискретизации (часть C). Ваша задача состоит в том, чтобы выявить этот фактор и предложить точный метод определения \(r\).

D1. Предложите метод определения неизвестного сопротивления \(r\) и зарисуйте соответствующую схему.

Примечание: обозначьте на схеме все узлы, в которых вы снимаете значения, и все используемые переменные. Четко обозначьте точки соединения между перемычками питания (\(V_c\), \(GND\)) выводной платы Micro:bit и цепью резисторов как \(V_c\) и \(GND\) соответственно.

D2. Запишите все необходимые уравнения на потенциалы узлов и \(r\), после чего подставьте туда выходные значения АЦП (\(N_H\), \(N_L\) и др.). Получите выражение для неизвестного сопротивления \(r\).

D3. Проведите измерения и вычислите \(r\) для каждого из трех контроллеров Micro:bit. Вычислите его среднее значение (\(\bar r\)), а также разницу между максимальным и минимальным значениями.

▶ОтветСкрыть
Ответ

B2: \[r = \frac{N_H - N}{N-N_L}R.\] \[r = \frac{1023-N}{N}R.\];  B4: \[\Delta r = \dfrac{1023}{N^2}R e.\];  B5: \[0.123 R \leqslant r \leqslant 8.11 R.\]

▶РешениеСкрыть
Решение

A1.

Рисунок

A2. Таблица с прямыми измерениями:

\(N_L\)\(N_g\)\(N_f\)\(N_e\)\(N_d\)\(N_c\)\(N_b\)\(N_a\)\(N_H\)
АЦП101282573855136397698971023

Таблица пересчёта:

\(\Delta N\) (g/GND)\(\Delta N\) (f/g)\(\Delta N\) (e/f)\(\Delta N\) (d/e)\(\Delta N\) (c/d)\(\Delta N\) (b/c)\(\Delta N\) (a/b)\(\Delta N\) (\(V_c\)/a)\(\overline{\Delta N}\)
АЦП1128129128128126130128126127.88

Максимальное наблюдаемое отклонение \(\textrm{max} (\Delta N_i - \overline{\Delta N}) = 2.125\), что соответствует \(2.125 / 127.88 \cdot 100 =1.66\% < 2\%\). Линейность подтверждается.

B1.

Рисунок

B2. В полученном делителе напряжений потенциал узла \(V\) определяется выражением

\[V = \frac{R}{r+R}V_c.\]Предполагается, что потенциал \(V\) на входе Micro:bit связан с показанием \(N\) линейно. Тогда потенциал \(V\) задаётся выражением \[V = \frac{N-N_L}{N_H-N_L}V_c.\]Отсюда находим

Ответ:

\[r = \frac{N_H - N}{N-N_L}R.\]

Если \(N_L = 0\) и \(N_H = 1023\):

Ответ:

\[r = \frac{1023-N}{N}R.\]

B3.

\(N_L\)\(N\)\(N_H\)\(r_\text{est}\left(=\dfrac{N_H-N}{N-N_L}R\right),~\Omega\)\(\varepsilon=\left|\dfrac{r_\text{true}-r_\text{est}}{r_\text{true}}\right|,~10^{-3}\)
АЦП10512102332941.95
АЦП21…1022……
АЦП3……………

По прямым измерениям можно найти \(\overline{\varepsilon}\) и \(\textrm{RSD} = \dfrac{1}{\overline{r}}\sqrt{\dfrac{\sum_{i=0}^3(r_i - \overline{r})^2}{3-1}}\).

B4. \[r=\dfrac{1023 - N}{N}R \Rightarrow \frac{dr}{dN} = -\frac{1023}{N^2}R.\] Погрешность может быть определена по производной \[\Delta r = \left|\cfrac{dr}{dN}\right|\cdot e.\] Окончательно

Ответ:

\[\Delta r = \dfrac{1023}{N^2}R e.\]

B5. С учётом результатов пунктов B2 и B4 условие на относительную погрешность может быть переписано как \[\frac{1023}{N(1023-N)} \leqslant 0.01\Rightarrow N^2 - 1023N + 102300 \leqslant 0.\] Решение этго неравенства даёт две границы:

\[N\geqslant N_{min} = 112.33,\quad N\leqslant N_{max} = 910.67.\] Это даёт ограничения на сопротивления:

Ответ:

\[0.123 R \leqslant r \leqslant 8.11 R.\]

C1. Прямые измерения для \(r_1\):

\(N_L\)\(N\)\(N_H\)\(r_\text{est}\left(=\dfrac{N_H-N}{N-N_L}R\right),~\Omega\)
АЦП1090410231580

Прямые измерения для \(r_2\):

\(N_L\)\(N\)\(N_H\)\(r_\text{est}\left(=\dfrac{N_H-N}{N-N_L}R\right),~\Omega\)
АЦП1010051023215

C2.

Рисунок

Примечание: возможны другие подходы, например, определение \(r_1\) с использованием \(R\) и последующее определение \(r_2\) с использованием параллельного соединения \(r_1\) и \(R\).

Нахождение \(r_1\) и \(r_1+r_2\) с использованием \(R\) с дальнейшим вычитанием всё ещё неточно из-за ошибки дискретизации.

C3. Сопротивления определяются по формулам, полученным в части B:

\[r_1 = \dfrac{N_H - N}{N-N_L}R,\quad r_2 = \dfrac{N_H-N}{N-N_L}r_1.\]

\(N_L\)\(N\)\(N_H\)\(r_1,~\Omega\)\(N_L\)\(N\)\(N_H\)\(r_2,~\Omega\)
АЦП109041023158008911023234
АЦП209041023158008921023228
АЦП309061023155008921023227

Среднее значение равно \(\overline{r_2}=229.7~\Omega\), а разница между максимальным и минимальным значениями \(\Delta r_2 = 7~\Omega\).

D1.

Рисунок

D2. Первый случай: \(r\) сверху, \(R\) подсоединён к земле. Напряжение \(V\) падает на соединённых параллельно \(R\) и внутреннем сопротивлении АЦП \(R_i\) . Эквивалентное сопротивление соединённых параллельно \(R\) и \(R_i\) равно \(R_\text{eq1} = \dfrac{RR_i}{R + R_i}\). Тогда аналогично части B имеем

\[V_a = \dfrac{R_\text{eq1}}{R_\text{eq1} + r}V_c\Rightarrow \dfrac{V_a}{V_c} = \dfrac{RR_i}{RR_i + rR_i +rR}.\] Пользуясь линейностью показаний АЦП, можем записать \[\dfrac{N_a-N_L}{N_H - N_L} = \dfrac{V_a}{V_c}.\]

Второй случай: \(R\) сверху, \(r\) подсоединён к земле. Теперь резисторы \(r\) и \(R_i\) параллельны.  Аналогично первому случаю имеем

\[R_\text{eq2} = \dfrac{rR_i}{r + R_i},~V_b = \dfrac{R_\text{eq2}}{R_\text{eq2} + r}V_c,~ \dfrac{V_b}{V_c} = \dfrac{rR_i}{RR_i + rR_i +rR},~\dfrac{N_b-N_L}{N_H - N_L} = \dfrac{V_b}{V_c}.\]

Из полученных уравнений получаем

\[r = \dfrac{N_b-N_L}{N_a-N_L}R.\]

D3.

\(N_L\)\(N_a\)\(N_b\)\(N_H\)\(r,~\text{k}\Omega\)
АЦП104505891023668
АЦП204505911023670
АЦП304495891023669

Среднее значение равно \(\overline{r}=669~\text{k}\Omega\), а разница между максимальным и минимальным значениями \(\Delta r = 2~\text{k}\Omega\).

Перевод: pho.rs.

Источник: Азиатская физическая олимпиада (APhO) 2026, экспериментальный тур — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Перевод на русский — pho.rs.

наверх