«Бельчонок», 2014/15, заключительный этап, 11 класс

Сравните тормозной путь при равнозамедленном движении с путём, который занимает поворот по окружности с той же по модулю тормозящей силой.

Тормозить выгоднее: тормозной путь короче, чем радиус окружности траектории поворота.

Тормозить выгоднее, чем поворачивать, потому что тормозной путь окажется короче, чем радиус окружности траектории поворота. При торможении длина тормозного пути равна \[S = \frac{V_0^2}{2a}.\] А при повороте \(S = \dfrac{V_0^2}{a}\).

Первая космическая скорость у поверхности сферы массы \(M\) и радиуса \(R\) выражается через \(GM/R\). Какой радиус даёт скорость, равную скорости света, при той же массе?

\(R \approx 0{,}5\) см.

Первой космической скоростью для некоторого сферического объекта называют скорость, необходимую для движения по окружности возле поверхности данного объекта. \[F = ma, \qquad \frac{V_1^2}{R_1} = \frac{GM}{R_1^2}, \qquad V_1^2 = \frac{GM}{R_1}.\] Когда радиус уменьшится на столько, что первая космическая скорость станет скоростью света, получим: \[c^2 = \frac{GM}{R}.\] Откуда легко найти \[R = R_1 \frac{V_1^2}{c^2} = 0{,}5~\text{см}.\]

Как меняется ускорение свободного падения с высотой и как от него зависит период маятника? Сравните число колебаний за сутки на поверхности и на высоте.

Часы отстанут за сутки примерно на \(2{,}7\) с.

На поверхности Земли период колебаний маятника \[T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.\] На высоте \(h\) над землёй период колебаний маятника \[T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_1}}.\] Число колебаний за сутки \(N_1 = 24 \cdot 60 \cdot 60 \cdot 1/T_1 = k/T_1\). Следовательно, на высоте \(h\) над землёй часы отстанут за сутки на время \[\Delta t_1 = N_1 (T_1 - T_0) = k\left(1 - \frac{T_0}{T_1}\right).\] Воспользовавшись законом всемирного тяготения, запишем в следующем виде: \[\Delta t_1 = k\left(1 - \sqrt{\frac{g_1}{g}}\right) = k\left(1 - \frac{R}{R+h}\right) = \frac{kh}{R+h} \approx \frac{kh}{R} \approx 2{,}7~\text{с}.\]

Выразите тепло, подведённое в цикле 1-2-3-1, через \(\eta_1\). Это же тепло и есть подведённое тепло во втором цикле: через него выразится \(\eta_2\).

\(\eta = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1\eta_2\).

Отметим, на каких участках циклов тепло поступает в систему, а на каких теряется.

С введением этих обозначений можем записать для цикла 1-2-3-1: \[\eta_1 = \frac{A_1}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}.\] Отсюда находим \[Q_2 = (1 - \eta_1) Q_1.\] В цикле 1-3-4-1 подведённое тепло равно \(Q_2\). КПД этого цикла \[\eta_2 = \frac{A_2}{Q_2} = \frac{A_2}{(1 - \eta_1) Q_1}.\] КПД цикла 1-2-3-4-1 \[\eta = \frac{A_1 + A_2}{Q_1} = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1 \eta_2.\]

Центр шара лежит выше центра куба, поэтому до потолка ему подняться на меньшую высоту. Оцените, насколько выше, зная размеры тел из их массы и плотности.

Для куба \(10{,}00\) кДж, для шара \(8{,}80\) кДж.

Покажем без формул, что изменение потенциальной энергии у шара меньше, чем у куба. Сила тяжести у куба и шара приложена к их центру масс, совпадающему с центром симметрии. Если бы центры их находились на одной высоте, то шар имел бы меньший объём, а значит, и массу. Но по условию задачи массы их одинаковы. Значит, диаметр шара должен быть несколько больше высоты ребра куба. Так как и куб, и шар стоят на полу, то центр шара будет расположен несколько выше центра куба. Но значит, на столько же он будет ниже у потолка. Отсюда можно заключить, что при подъёме шара от пола до соприкосновения с потолком будет произведена несколько меньшая работа. Поэтому шар у потолка приобретает меньшую потенциальную энергию, чем куб.

Теперь перейдём к числам. Легко заметить, что сторона куба \(1\) м, и он может подняться только на высоту \(h = 2\) м. При этом изменение потенциальной энергии куба: \[\Delta E = mgh = 500 \cdot 10 \cdot 2 = 10^4~\text{Дж}.\] Объём шара вычисляется по формуле: \[V = \frac{4\pi}{3} R^3 = m/\rho.\] Откуда предельная высота поднятия: \[h' = H - 2R = H - \sqrt[3]{\frac{6m}{\pi\rho}}.\] Изменение потенциальной энергии шара: \[\Delta E' = mgh' = 500 \cdot 10 \cdot \left(3 - \sqrt[3]{\frac{6 \cdot 500}{\pi \cdot 500}}\right) = 8{,}80 \cdot 10^3~\text{Дж}.\] Ответ: изменения потенциальной энергии для куба и шара равны, соответственно, \(10{,}00\) и \(8{,}80\) кДж.