«Бельчонок», 2014/15, заключительный этап, 9 класс

Сравните кинетическую энергию мотоцикла с потенциальной энергией тела на некоторой высоте.

\(h=32\) м.

Приравниваем кинетическую энергию к потенциальной и находим эквивалентную высоту: \[\frac{mv^2}{2} = mgh, \qquad h = \frac{v^2}{2g} \approx 32~\text{м}.\]

Сколько теплоты нужно, чтобы нагреть воду до кипения, и сколько энергии за это время выделяет нагревательный элемент при заданном напряжении?

\(I \approx 7{,}1\) А.

Чтобы нагреть литр воды от температуры водопроводной воды \(t_0=10\,^\circ\)C до температуры кипения \(t_1=100\,^\circ\)C, нужно сообщить воде количество теплоты \[Q = c\rho V(t_1 - t_0),\] где \(c\) — удельная теплоёмкость воды, \(\rho\) — плотность воды, равная \(1\) г/см\(^3\), \(V\) — объём воды в чайнике. Тепловую энергию, выделенную нагревательным элементом, находим по закону Джоуля—Ленца: \(Q_1 = UIt\), где \(U\) — напряжение на нагревательном элементе, равное напряжению в электрической сети, то есть \(220\) В; \(I\) — сила тока, протекающего через нагревательный элемент; \(t\) — время нагревания воды до \(t_1\). Так как нагрев воды происходит быстро, рассеяние тепла в окружающее пространство мало по сравнению с \(Q\) и \(Q_1\), поэтому его можно приравнять нулю. В результате получаем уравнение \[c\rho V(t_1 - t_0) = UIt,\] откуда \[I = \frac{c\rho V(t_1 - t_0)}{Ut} \approx 7{,}1~\text{А}.\]

Что одинаково в обоих концах натянутого эспандера?

На \(80\) см.

Какие силы действуют на висящий неподвижно шар?

\(\rho_г = 0{,}6\) кг/м\(^3\).

Обозначим \(\rho_в\) — плотность окружающего шар воздуха, \(\rho_г\) — плотность заполняющего оболочку шара газа. Согласно закону Архимеда выталкивающая сила \(F_A = \rho_в V g\). Так как шар завис в воздухе, эта сила уравновешивает силу тяжести \(F_т = (\rho_г V + m + m_1) g\). Приравнивая \(F_A\) и \(F_т\), находим \[\rho_г = \rho_в - \frac{m + m_1}{V} = 0{,}6~\text{кг/м}^3.\]

Какой радиус окружности описывает город на широте \(\alpha\) по сравнению с экватором?

\(\alpha = 60^\circ\) с. ш. или \(\alpha = 60^\circ\) ю. ш.; \(v_\alpha = 833\) км/ч.

За сутки Земля совершает один оборот вокруг своей оси. Город на экваторе проходит за сутки расстояние, равное длине экватора, поэтому скорость \(v\) города, расположенного на экваторе, равна отношению длины экватора \(L\) к продолжительности земных суток \(T\): \[v = \frac{L}{T} = \frac{40\,000}{24} = 1667~\text{км/ч}.\] Радиус параллели \(R_\alpha\) равен радиусу экватора, умноженному на \(\cos\alpha\) (см. рисунок). Следовательно, длина параллели и скорость города на ней получаются умножением длины экватора и скорости города на экваторе на \(\cos\alpha\): \(v_\alpha = v\cos\alpha\).

Скорость города на параллели будет в два раза меньше скорости города на экваторе, если \[\cos\alpha = \frac{1}{2},\] то есть \(\alpha = 60^\circ\) с. ш. или \(\alpha = 60^\circ\) ю. ш.; при этом \(v_\alpha = 833\) км/ч.