«Бельчонок», 2015/16, заключительный этап, 10 класс

В верхней точке петли и сила реакции сиденья, и сила тяжести направлены к центру окружности. Их сумма дает центростремительное ускорение.

\(T_1 = m\left(\dfrac{v^2}{R} - g\right) \approx 0{,}71\ \text{кН}\).

Определим силы, действующие на летчика в системе отсчета, связанной с самолетом. Сумма всех сил в каждой точке траектории равна нулю. Для верхней точки траектории получим \[T_1 + mg = \frac{mv^2}{R}.\]

Откуда \[T_1 = m\left(\frac{v^2}{R} - g\right) \approx 0{,}71\ \text{кН}.\]

Оба тела падают с одинаковым ускорением, поэтому их относительная скорость постоянна. Скорости перпендикулярны, когда вертикальные составляющие связаны с горизонтальными.

\(S = \dfrac{(v_{01} + v_{02})\sqrt{v_{01}v_{02}}}{g} \approx 6{,}2\ \text{м}\).

Оба тела всегда находятся на одной горизонтали. Относительная скорость тел постоянная: \[v_о = v_{01} + v_{02}.\]

Найдем время движения тел до тех пор, пока их скорости не станут взаимно перпендикулярными. В этот момент скорости составляют с горизонтом углы \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) соответственно, причем \[\operatorname{tg}\alpha_1 = \frac{gt}{v_{01}}, \qquad \operatorname{tg}\alpha_2 = \frac{gt}{v_{02}}.\] Перемножим последние выражения, учитывая, что \(\operatorname{tg}\alpha_1 = \operatorname{ctg}\alpha_2\): \[v_{01}v_{02} = g^2t^2.\] Отсюда \(t = \dfrac{\sqrt{v_{01}v_{02}}}{g}\). Тогда искомое расстояние \[S = v_о t = \frac{(v_{01} + v_{02})\sqrt{v_{01}v_{02}}}{g} \approx 6{,}2\ \text{м}.\]

Да, разорвется: давление газа \(p_k \approx 7{,}1\cdot10^6\ \text{Па} > 2\cdot10^6\ \text{Па}\).

Масса жидкого азота в сосуде равна \(m = \rho V\). После испарения жидкий азот займет весь объем \(V_k\), так что по уравнению Менделеева–Клапейрона \[p_k = \frac{\rho V}{M V_k}\,RT \approx 7{,}1\cdot10^6\ \text{Па}.\] Так как \(7{,}1\cdot10^6\ \text{Па} > 2\cdot10^6\ \text{Па}\), сосуд разорвется.

Между двумя выбранными гвоздями прямой проводник и цепи через все остальные гвозди образуют параллельное соединение. Симметрия позволяет считать все такие цепи одинаковыми.

\(R_X = \dfrac{R}{995}\).

Сопротивление между двумя гвоздями не зависит от расположения остальных гвоздей. Получаем параллельное соединение 1988 одинаковых цепей с сопротивлениями \(2R\) и одного проводника с сопротивлением \(R\): \[\frac{1}{R_X} = \frac{1}{R} + \frac{1988}{2R} = \frac{995}{R}.\] Откуда \(R_X = \dfrac{R}{995}\).

Выразите КПД через теплоту, полученную на каждом участке. Выразите теплоту \(Q_2\) через \(\eta_1\) и \(Q_1\).

\(\eta_3 = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1\eta_2\).

Отметим, на каких участках циклов тепло поступает в систему, а на каких теряется. Для цикла 1–2–3–1: \[\eta_1 = \frac{A_1}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}, \qquad\text{откуда}\qquad Q_2 = (1 - \eta_1)Q_1.\] В цикле 1–3–4–1 подведенное тепло равно \(Q_2\). КПД этого цикла \[\eta_2 = \frac{A_2}{Q_2} = \frac{A_2}{(1-\eta_1)Q_1}.\] КПД цикла 1–2–3–4–1 \[\eta_3 = \frac{A_1 + A_2}{Q_1} = \eta_1 + \eta_2 - \eta_1\eta_2.\]