«Бельчонок», 2015/16, заключительный этап, 7 класс

Выразите время движения на каждом участке через путь \(S\) и скорости. Сколько пути пройдено за первую половину полного времени?

\(V_{cp} = 56\) км/ч.

Обозначим весь путь за \(S\) и выразим времена: \[t_1 = \frac{S}{2v_1}; \qquad t_2 = \frac{S}{2v_2}; \qquad t = t_1 + t_2 = \frac{S}{2}\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right).\] Путь за половину времени выражается через скорости следующим образом: \[\frac{S}{2} + \Delta S = \frac{3v_1 - v_2}{4v_1}\,S.\] Тогда найдём среднюю скорость за половину времени: \[V_{cp} = \frac{S/2 + \Delta S}{t/2} = \frac{(3v_1 - v_2)\,v_2}{v_1 + v_2} = 56~\text{км/ч}.\]

Сравните составляющую силы тяжести вдоль наклона с максимальной силой трения покоя \(\mu N\).

\(F_{тр} = 4{,}9\) Н (брусок покоится, действует сила трения покоя).

Ось \(OX\) направим вдоль наклонной плоскости, а \(OY\) перпендикулярно ей. Тогда уравнения динамики запишутся так: \[OY:\ N - mg\cos\alpha = 0; \qquad OX:\ mg\sin\alpha - F_{тр} = 0.\] Откуда сила трения покоя равна \[F_{тр} = mg\sin\alpha = 4{,}9~\text{Н}.\] А максимальная сила трения скольжения: \[F_{тр\,max} = \mu N = \mu mg\cos\alpha = 5{,}9~\text{Н}.\] Из полученных результатов делаем вывод о том, что брусок покоится и на него действует сила трения покоя в \(4{,}9\) Н.

Сравните длину дуги, соответствующей выбранной единице, с длиной дуги одного градуса \(2\pi R/360\).

1 румб \(= 11{,}25^\circ\);  1 радиан \(\approx 57{,}3^\circ\);  1 град \(= 0{,}9^\circ\).

Чтобы сравнить единицу измерения угла, соответствующую длине дуги \(l\) окружности радиусом \(R\), с угловым градусом, следует учесть, что одному градусу соответствует длина дуги \(l_1 = \dfrac{2\pi R}{360}\). Тогда отношение \[k_l = \frac{l}{l_1} = 360\,\frac{l}{2\pi R}\] покажет, сколько угловых градусов составляет выбранная единица измерения угла. Принимая во внимание, что румбу, радиану и граду соответствуют длины дуг \[l_{\text{румб}} = \frac{2\pi R}{32}; \qquad l_{\text{радиан}} = R; \qquad l_{\text{град}} = \frac{\pi R}{200},\] находим: 1 румб \(= 11{,}25^\circ\); 1 радиан \(= \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ\); 1 град \(= 0{,}9^\circ\).

Какую долю массы и объёма сплошного куба составляет медь в данном кубе?

\(5\) см.

Так как измеренная плотность медного куба оказалась равной \(7/8\) от известной плотности меди, то и масса куба будет составлять \(7/8\) от массы сплошного медного куба. По этой причине объём полости должен составлять \(1/8\) объёма куба. Длина ребра кубической полости будет в два раза меньше длины ребра куба, тогда объём полости будет в \(8\) раз меньше объёма куба. Таким образом, длина ребра кубической полости будет равна \(5\) см.

Найдите, на сколько секунд за один год расходятся календарный и астрономический годы, и сколько таких отрезков даёт одни сутки.

\(128\) лет.

За год разница между календарным годом \(T_k\) и астрономическим годом \(T_a\) составит \(T_k - T_a = 674\) с. По прошествии \(n\) лет разность между юлианским календарём и астрономическим будет \(T = (T_k - T_a)\,n\). Полагая в этом соотношении \(T = 1\) сутки, то есть \(T = 24\cdot60\cdot60\) с, найдём \[n = \frac{T}{T_k - T_a} = \frac{24\cdot 3600}{674} = 128~\text{лет}.\]