«Бельчонок», 2015/16, заключительный этап, 8 класс

Исключите время из законов движения по осям. Что получится в координатах \(x\) и \(y\)?

Прямая \(y = y_0 + \dfrac{v_2}{v_1}\,x\); угол с осью \(x\) задаётся условием \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{v_2}{v_1}\).

Примем жука за материальную точку. Траектория движения точки определяется уравнением, которое связывает координаты точки \(x\) и \(y\). Чтобы найти это уравнение, достаточно из заданных законов движения по координатным осям исключить время: \[t = \frac{x}{v_1}; \qquad t = \frac{y - y_0}{v_2}.\] Приравнивая эти выражения, получим уравнение траектории: \[y = y_0 + \frac{v_2}{v_1}\,x.\] Это уравнение прямой линии. Жук движется по прямой, составляющей с осью \(x\) угол \(\alpha\), тангенс которого \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{v_2}{v_1}.\]

Лом работает как рычаг с опорой в точке, где он упирается в грунт. Сравните плечи силы человека и силы, действующей на торец бревна.

\(6\) м.

Воткнутый в грунт лом представляет собой рычаг с точкой опоры на его острие, расположенном на \(0{,}2\) м ниже поверхности земли, к верхнему концу которого человек прикладывает горизонтальную силу \(F\). Плечо этой силы равно длине лома. Плечо же силы \(F_1\), приложенной к торцу бревна, равно \(0{,}2\) м. Из условия равновесия находим, что \(F_1 = 6F\), а силой \(F\) человек сдвигал метровое бревно. Следовательно, с помощью лома он сможет сдвинуть шестиметровое бревно.

Запишите условие плавания пробки до и после откачки. Какая часть объёма пробки была над водой благодаря воздуху?

Надводная часть уменьшилась примерно на \(0{,}13\%\).

Обозначим \(V_0\) – объём пробки, \(V_1\) и \(V_2\) – объёмы надводной части пробки до и после откачки, \(\rho\) – плотность воды, \(\rho_1\) – плотность воздуха, \(\rho_2\) – плотность пробки. Запишем условия плавания пробки до и после откачки: \[\rho_1 V_1 g + \rho\,(V_0 - V_1)\,g - \rho_2 V_0 g = 0,\] \[\rho\,(V_0 - V_2)\,g - \rho_2 V_0 g = 0.\] Откуда \[\frac{V_2}{V_1} = \frac{\rho - \rho_1}{\rho} = 1 - \frac{\rho_1}{\rho}.\] Надводная часть пробки потеряла в объёме: \[\alpha = \frac{V_1 - V_2}{V_1} = 1 - \frac{V_2}{V_1} = \frac{\rho_1}{\rho} \approx 0{,}0013 = 0{,}13\,\%.\]

Какое количество теплоты выделяет стакан при охлаждении? Приравняйте его работе по подъёму гири.

\(h \approx 10\,286\) м \(\approx 10{,}3\) км.

Энергия, которую отдаст стакан кипятка при охлаждении, равна \[Q = m_1 c\,\Delta T.\] За счёт этой энергии можно совершить работу по подъёму гири: \[A = m_2 g h.\] Приравнивая эти выражения, получим искомую высоту: \[h = \frac{m_1 c\,\Delta T}{m_2 g} = 10\,286~\text{м}.\]

Сколько оборотов делает минутная стрелка за сутки? Сколько суток в неделе?

\(s \approx 10{,}55\) м.

За час конец минутной стрелки пройдёт расстояние, равное длине окружности, описанной её концом, то есть \(2\pi l\), где \(l = 1\) см. Так как неделя состоит из \(7\) суток, а сутки из \(24\) часов, то за неделю конец минутной стрелки совершит \(168\) оборотов, пройдя расстояние \[s = 2\pi \cdot 168 \cdot l = 10{,}55~\text{м}.\]