«Бельчонок», 2015/16, заключительный этап, 9 класс

Что происходит с расстоянием между телами по горизонтали и по вертикали? Посмотрите на движение одного тела относительно другого.

\(S \approx 6{,}2\) м.

Можно утверждать, что в процессе полёта оба тела всегда будут находиться на одной горизонтали. Относительная скорость тел постоянная: \(v_o = v_{01} + v_{02}\).

Найдём время движения тел до тех пор, пока их скорости не станут взаимно перпендикулярными. В этот момент скорости будут составлять с горизонтом углы \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) соответственно, причём \[\operatorname{tg}\alpha_1 = \frac{gt}{v_{01}}, \qquad \operatorname{tg}\alpha_2 = \frac{gt}{v_{02}}.\] Перемножим последние выражения, учитывая, что \(\operatorname{tg}\alpha_1 = \operatorname{ctg}\alpha_2\): \(v_{01}v_{02} = g^2t^2\). Отсюда время движения тел: \[t = \frac{\sqrt{v_{01}v_{02}}}{g}.\] Тогда искомое расстояние будет равно \[S = v_o t = \left(v_{01} + v_{02}\right)\frac{\sqrt{v_{01}v_{02}}}{g} = 6{,}2~\text{м}.\]

Разложите начальную скорость на горизонтальную и вертикальную составляющие. Какая из них меняется во время полёта, а какая нет?

\(v = 10\sqrt{3} \approx 17\) м/с.

Горизонтальная составляющая скорости камня остаётся постоянной всё время движения (сопротивлением воздуха пренебрегаем): \[v_x = v_0\cos\alpha.\] Вертикальная составляющая скорости зависит от времени полёта по закону: \[v_y = v_0\sin\alpha - gt.\] Время полёта камня \(T\) известно. Тогда величину скорости падения камня в воду легко найти по теореме Пифагора: \[v = \sqrt{v_0^2\cos^2\alpha + \left(v_0\sin\alpha - gT\right)^2} = 10\sqrt{3} \approx 17~\text{м/с}.\]

Шарик движется равномерно относительно стакана, значит, его ускорение в неподвижной системе отсчёта совпадает с ускорением стакана. Какие силы действуют на шарик со стороны жидкости?

\(P = m(g + a)\): вес шарика больше силы тяжести.

На шарик со стороны жидкости действуют сила Архимеда и сила вязкого трения. Таким образом, закон динамики выглядит следующим образом: \[F_A + F_{TP} - mg = ma.\] Тогда вес шарика равен \[P = F_A + F_{TP} = m(g + a),\] т.е. вес превышает силу тяжести.

Учтите архимедову силу не только со стороны воды, но и со стороны воздуха. Как она меняется после откачки?

\(\approx 0{,}13\) %.

Обозначим \(V_0\) — объём пробки, \(V_1\) и \(V_2\) — объёмы надводной части пробки до и после откачки, \(\rho\) — плотность воды, \(\rho_1\) — плотность воздуха, \(\rho_2\) — плотность пробки. Запишем условия плавания пробки до и после откачки: \[\rho_1 V_1 g + \rho(V_0 - V_1)g - \rho_2 V_0 g = 0, \qquad \rho(V_0 - V_2)g - \rho_2 V_0 g = 0.\] Откуда \[\frac{V_2}{V_1} = \frac{\rho - \rho_1}{\rho} = 1 - \frac{\rho_1}{\rho}.\] Надводная часть пробки потеряла в объёме: \[\alpha = \frac{V_1 - V_2}{V_1} = 1 - \frac{V_2}{V_1} = \frac{\rho_1}{\rho} \approx 0{,}0013 = 0{,}13\,\%.\]

Сколько оборотов сделает сверло за 1 мин? На сколько углубляется сверло за один оборот?

\(H = 24\) см.

Найдём период вращения сверла: \[T = \frac{\pi d}{v}.\] Затем найдём количество оборотов: \[n = \frac{t}{T} = \frac{tv}{\pi d}.\] Тогда глубина отверстия (\(h\) — подача на один оборот): \[H = nh = \frac{tvh}{\pi d} = 24~\text{см}.\]