«Бельчонок», 2021/22, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Радиус-вектор тела — сумма вектора \(\vec v_0 t\) и вектора перемещения под действием силы тяжести. Запишите теорему косинусов для треугольника, образованного этими векторами.

Ответ

\(\alpha = 30^\circ\).

Решение

Первый способ — векторный. Радиус-вектор равен сумме двух векторов: \[\vec r = \vec v_0 t + \vec g\,\frac{t^2}{2}.\]

По теореме косинусов (рис. 1): \[r^2 = (v_0 t)^2 + \left(\frac{g t^2}{2}\right)^2 - 2 v_0 t\,\frac{g t^2}{2}\cos(90^\circ - \alpha).\] Отсюда \[\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha) = \frac{r^2 - (v_0 t)^2 - \left(\frac{g t^2}{2}\right)^2}{-2 v_0 t\,\frac{g t^2}{2}} = 0{,}5,\] откуда \(\alpha = 30^\circ\). (4)

Подсказка

Где находится центр масс системы Луна–Земля? Гравитационная сила между телами должна уравновешиваться центробежной силой для каждого тела.

Ответ

\(\ell = 3{,}84\cdot10^{8}\) м.

Решение

Поместим начало координат в центре Земли; тогда координата центра масс двух тел, вокруг которого они вращаются: \[r_c = \frac{m}{m+M}\,\ell.\] Гравитационная сила между телами уравновешивается центробежной силой. Для Земли \[M\omega^2 r_c = G\frac{mM}{\ell^2},\] для Луны \[m\omega^2(\ell - r_c) = G\frac{mM}{\ell^2}.\] Подставив (9) в (10), получаем \[\ell = \left(\frac{G(m+M)}{\omega^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{G(m+M)T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3},\] откуда \(\ell = 3{,}84\cdot10^{8}\) м.

Подсказка

Изменение механической энергии лыжника равно работе силы трения. Работа силы трения на всём пути выражается через горизонтальное перемещение \(S\).

Ответ

\(\mu = 0{,}125\).

Решение

Система не замкнута: изменение её энергии происходит за счёт диссипативных сил (в нашем случае — работы силы трения): \[E_{p2} - E_{p1} = A_{\text{тр}}.\] При движении по наклонной плоскости сила трения равна \(F_{\text{тр}} = \mu m g\cos\alpha\). (14) Элементарная работа силы трения на бесконечно малом участке равна \(\Delta A_i = -\mu m g\cos\alpha\,\Delta\ell_i = -\mu m g\,\Delta x_i\). (15) Полная работа на всём участке движения равна сумме элементарных работ: \[A = \sum\Delta A_i = -\mu m g S.\] Используя (13) и (16), а также \(E_p = mgh\), получаем \(mg\,\Delta h = \mu m g S\). (17) Коэффициент трения скольжения \[\mu = \frac{\Delta h}{S} = 0{,}125.\]

Подсказка

По двум точкам графика найдите \(n\) из соотношения \(P_1V_1^n = P_2V_2^n\). Затем выразите теплоёмкость через \(n\), \(C_V\) и \(R\) и используйте уравнение состояния и первое начало термодинамики.

Ответ

1) \(n = 2\);  2) \(C = \dfrac{R}{2}\);  3) \(\Delta T = -902{,}5\) К;  4) \(Q = -37\,500\) Дж;  5) \(\Delta U = 112\,500\) Дж;  6) \(A = 75\,000\) Дж.

Решение

1. Давление в точках графика: при \(V = 1\), \(2\), \(4\) (в таблице решения — в литрах) давление \(P = 1\), \(0{,}25\), \(0{,}06\) (\(\cdot10^5\) Па). Из \(P_1V_1^n = P_2V_2^n\) получаем \[\frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^n = 2^n = 4,\] т.е. \(n = 2\) (при увеличении объёма в 2 раза давление уменьшилось в 4 раза).

2. Теплоёмкость одного моля для политропы: \(C = \dfrac{nC_V - C_P}{n-1}\). Так как \(C_P = C_V + R\) и \(C_V = \dfrac{3}{2}R\), то \[C = C_V - \frac{R}{n-1} = \frac{R}{2}.\]

3. Из уравнения Менделеева–Клапейрона \(T = \dfrac{PV}{\nu R}\). Температура в первой точке \(T_1 = 1203\) К, в конечной точке \(T_3 = 300{,}8\) К, изменение температуры \(\Delta T = T_2 - T_1 = -902{,}5\) К.

4. Количество теплоты \(Q = \nu C\,\Delta T = -37\,500\) Дж.

5. Изменение внутренней энергии \(\Delta U = \dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T = 112\,500\) Дж.

6. Работу найдём из первого начала термодинамики: \(A = Q - \Delta U = 75\,000\) Дж.

Подсказка

Запишите падение напряжения на якоре в трёх режимах: подъём, спуск и холостой ход (где ток равен нулю). Коэффициент пропорциональности паразитного напряжения исключите.

Ответ

\(v_0 = 2\) м/с.

Решение

Пусть \(U\) — напряжение цепи, \(R\) — сопротивление обмотки якоря, \(\alpha\) — коэффициент пропорциональности паразитного напряжения скорости.

Падение напряжения на якоре при подъёме груза: \(U - \alpha v_1 = I_1 R\). (31)

При спуске груза: \(U - \alpha v_2 = I_2 R\). (32)

В режиме холостого хода масса груза равна нулю, ток \(I_0 = 0\), поэтому \(U - \alpha v_0 = 0\). (33)

Решая совместно (31) и (32), определим коэффициент: \[\alpha = \frac{I_1 - I_2}{v_2 - v_1}\,R.\] Подставив (35) в (31), найдём напряжение: \[U = I_1 R + \frac{I_1 - I_2}{v_2 - v_1}\,R v_1 = R\,\frac{I_1 v_2 - I_2 v_1}{v_2 - v_1}.\] Скорость холостого хода: \[v_0 = \frac{U}{\alpha} = \frac{I_1 v_2 - I_2 v_1}{I_1 - I_2} = 2~\text{м/с}.\]