«Бельчонок», 2021/22, заключительный этап, 11 класс

Какой магнитный поток пересекает контур, образованный рельсами, колёсной парой и проводом вольтметра, за время \(\Delta t\)?

\(\varepsilon = BLV\) (показания вольтметра).

Колёсная пара вагонов (колёса и ось) представляет собой сплошное металлическое тело, поэтому при движении состава через площадь, ограниченную колёсами, рельсами и цепью вольтметра, меняется магнитный поток земного поля. По закону Фарадея модуль ЭДС индукции \[\varepsilon = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{B\,\Delta S}{\Delta t} = B\,\frac{LV\Delta t}{\Delta t} = BLV.\] Так как вольтметр идеальный (бесконечное внутреннее сопротивление), его показания совпадают с этой ЭДС.

Какой импульс нужно сообщить за время \(\Delta t\) массе груза, попавшей в вагоны, чтобы разогнать её до скорости состава?

\(F = \mu V\).

Локомотив должен прикладывать силу тяги не только для преодоления возрастающей силы трения, но и для разгона сыпучего груза, попадающего в вагоны и увлекаемого в движение со скоростью состава. Оценим эту дополнительную силу с помощью уравнения Ньютона: \[F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{\Delta(mV)}{\Delta t} = \frac{(m+\Delta m)(V+\Delta V) - mV}{\Delta t}.\] Так как скорость состава не меняется, \(\Delta V = 0\), а \(\Delta m = \mu\,\Delta t\). Тогда для силы получим \(F = \mu V\).

Сколько заряда переносит каждая распадная частица? Когда заряд источника станет настолько велик, что ни одна альфа-частица не долетит до сферы?

\(I_{\max} = 2eA\);  \(\Delta\varphi_{\max} = \dfrac{mV^2}{4e}\), где \(m\) — масса ядра гелия.

При альфа-распаде вещество испускает ядра гелия (заряд \(2e\)). Эти частицы направляются к металлической сфере и, оседая на ней, обеспечивают положительный потенциал этого кожуха. Сам радиоактивный кристалл, теряя положительные частицы, заряжается отрицательно. Таким образом, на клеммах такой батареи возникает разность потенциалов.

Максимальное значение силы тока достигается, когда все распадные альфа-частицы участвуют в переносе заряда во внешней цепи, подключённой к батарее: \[I_{\max} = \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{2e\cdot A\cdot\Delta t}{\Delta t} = 2eA.\]

Максимальная разность потенциалов достигается тогда, когда заряд радиоактивного кристалла столь велик, что кинетической энергии распадных частиц недостаточно, чтобы преодолеть притяжение к нему и достигнуть сферы. Пограничное состояние: \[2e\cdot\Delta\varphi = \frac{mV^2}{2}.\] Отсюда \[\Delta\varphi = \frac{mV^2}{4e},\] где \(m\) — масса ядра гелия.

Когда сила Архимеда перестаёт компенсировать вес? Как связаны объём воздуха в пробирке и давление на данной глубине?

\(h = \dfrac{P_0}{g}\left(\dfrac{V_0}{m} - \dfrac{1}{\rho}\right)\), где \(\rho\) — плотность воды.

Существование критической глубины обусловлено гидростатическим давлением, которое увеличивается с глубиной. На этой глубине давление столь велико, что воздух сжат настолько сильно, что его объём недостаточен, чтобы сила Архимеда выиграла конкуренцию с силой тяжести. При глубинах чуть больших критической выталкивающая сила будет заведомо меньше силы тяжести, и водолаз будет обладать отрицательной плавучестью. Это событие наступает при условии безразличного плавания: \[mg = \rho g V,\] где \(V\) — объём воздуха в пробирке, \(\rho\) — плотность воды.

Если считать, что процесс погружения водолаза и сжатия воздуха изотермический, то \[P_0 V_0 = (P_0 + \rho g h)\,V.\] Отсюда с учётом условия безразличного плавания получим \[h = \frac{P_0}{g}\left(\frac{V_0}{m} - \frac{1}{\rho}\right).\]

Перепишите формулу Больцмана через молярную массу \(\mu\) и \(R\). Относительная концентрация газа на высоте \(h\) — его концентрация на уровне моря с учётом экспоненты, делённая на сумму таких же величин для всех трёх газов.

азот — \(71{,}94\%\), кислород — \(27{,}33\%\), углекислый газ — \(0{,}73\%\).

Процентное содержание, например, первого газа на высоте \(h\), определяется по формуле \[\frac{n_1}{n_1+n_2+n_3} = \frac{n_{01}\,e^{-\frac{\mu_1 g h}{RT}}}{n_{01}\,e^{-\frac{\mu_1 g h}{RT}} + n_{02}\,e^{-\frac{\mu_2 g h}{RT}} + n_{03}\,e^{-\frac{\mu_3 g h}{RT}}}.\]

Здесь \(n_{01}\), \(n_{02}\), \(n_{03}\) — концентрации газов на уровне моря, пропорциональные долям на этом уровне. В показателях степени введены обозначения: \(\mu_i\) — молярная масса газа, \(m = \dfrac{\mu}{N_A}\), \(R = N_A k_B\), где \(N_A\) — число Авогадро, \(R\) — универсальная газовая постоянная.

Аналогичные расчёты проводятся для других газов. Численные расчёты дают: азот — \(71{,}94\%\), кислород — \(27{,}33\%\), углекислый газ — \(0{,}73\%\).

Выключение поля меняет магнитный поток через кольцо: какое вихревое электрическое поле возникает на окружности кольца? Какое ускорение оно сообщает заряду \(q\)?

\(\omega = \dfrac{qB}{2m}\).

При изменении потока \(\Phi = BS = B\pi R^2\) через плоскость кольца по его периметру возникает вихревое электрическое поле (закон Фарадея), напряжённость \(E\) которого, умноженная на длину окружности кольца, даёт модуль ЭДС индукции: \[\varepsilon = E\cdot 2\pi R = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}.\] Таким образом, заряженное кольцо в этом поле испытывает силу и приобретает ускорение, которое можно определить из уравнения Ньютона: \[m\,\frac{\Delta V}{\Delta t} = F = Eq.\] С учётом закона Фарадея для приращения угловой скорости получим \[\Delta\omega = \Delta\left(\frac{V}{R}\right) = \frac{qB}{2m}.\]