«Бельчонок», 2021/22, заключительный этап, 7 класс

Подсказка

Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время. Путь второго самолёта на каждом участке равен изменению расстояния между самолётами минус путь первого самолёта за то же время.

Ответ

\(\langle v_2\rangle \approx 397\) м/с \(=1429\) км/ч.

Решение

Средняя скорость второго самолета: \[\langle v_2\rangle = \frac{S_1+S_2+S_3+S_4}{t_1+t_2+t_3+t_4},\] где индексы 1, 2, 3, 4 — номера участков полета длиной \(S\) и временем \(t\).

Длины \(S\) второго самолета на участках (по графику \(L(t)\) и пути первого самолета \(v^{1\text{го}}_i t_i\)): \[S_1 = \Delta L_1 - v^{1\text{го}}_1 t_1 = 400~\text{км} - 110~\text{км} = 290~\text{км},\] \[S_2 = \Delta L_2 - v^{1\text{го}}_2 t_2 = 600~\text{км} - 110~\text{км} = 490~\text{км},\] \[S_3 = \Delta L_3 - v^{1\text{го}}_3 t_3 = 400~\text{км} - 220~\text{км} = 180~\text{км},\] \[S_4 = \Delta L_4 - v^{1\text{го}}_4 t_4 = 600~\text{км} - 220~\text{км} = 380~\text{км}.\] Время участков: \(t = t_1+t_2+t_3+t_4 = 450~\text{с} + 1125~\text{с} + 1125~\text{с} + 675~\text{с} = 3375~\text{с}\).

Средняя скорость второго самолета: \[\langle v_2\rangle = \frac{1340~\text{км}}{3375~\text{с}} \approx 397~\text{м/с} = 1429~\text{км/ч}.\]

Подсказка

Плотность смеси — общая масса, делённая на общий объём. Объём каждой жидкости — сечение трубки, умноженное на путь, который прошла жидкость за 30 с.

Ответ

\(\rho \approx 889\) кг/м\(^3\).

Решение

Плотность смеси \[\rho = \frac{m_1+m_2}{V_1+V_2}, \qquad V_1 = S v_1 t, \quad V_2 = S v_2 t,\] откуда \[\rho = \frac{m_1+m_2}{S t (v_1+v_2)}.\] Подставляя \(v_1 = 1\) м/с, \(v_2 = 2\) м/с, \(t = 30\) с, \(S = 0{,}5\cdot10^{-4}\) м\(^2\): \[\rho = \frac{4~\text{кг}}{0{,}5\cdot10^{-4}~\text{м}^2 \cdot 30~\text{с}\cdot 3~\text{м/с}} \approx 889~\text{кг/м}^3.\]

Подсказка

Длины вагонов одинаковы, значит \(u_1 t_1 = u_2 t_2\). Относительно рельсов пассажир движется со скоростью поезда плюс своя скорость в вагоне; составьте условие на удвоенный путь и решите систему.

Ответ

\(u_1 = 5\) м/с;  \(u_2 = 4\) м/с.

Решение

Длина вагонов \(l = t_1 u_1 = t_2 u_2\) (1), поэтому \[\frac{u_1}{u_2} = \frac{t_2}{t_1} = 1{,}25 \qquad\text{или}\qquad \frac{u_2}{u_1} = \frac{t_1}{t_2} = 0{,}8. \qquad (2)\] Расстояние, пройденное пассажиром относительно железной дороги, в первом вагоне \(S_1 = (v_1+u_1)\,t_1\), во втором вагоне \(S_2 = (v_2+u_2)\,t_2\). Из условия \(S_2 = 2S_1\): \[(v_2+u_2)\,t_2 = 2(v_1+u_1)\,t_1.\] Подставляя (2), получаем \(u_1 = 1{,}25\,v_2 - 2v_1\) или \(u_2 = (1{,}25\,v_2 - 2v_1)\cdot 0{,}8\). Численно \(v_1 = 30\) м/с, \(v_2 = 52\) м/с, откуда \(u_1 = 5\) м/с, \(u_2 = 4\) м/с.

Подсказка

Сначала найдите размеры из геометрии окна и условия про стекло, затем объёмы рамы, створок, стекла в прорезях и стекла в целом. Масса — сумма произведений объёмов на плотности.

Ответ

\(m = 37848\) г \(\approx 38\) кг.

Решение

Определим \(e\) и \(d\): \(c = e + d + 2a\), тогда, подставляя \(a\) и \(c\) и \(e/d = 2\), получаем \(d = 46\) см, \(e = 92\) см.

Толщина стекла \(y = d/92 = 0{,}5\) см. Глубина стекла в прорези: \(f = 3 - 1/y = 1\) см. Ширина каждого из трех проемов \(z = (b-5a)/3 = 0{,}55\) м \(= 55\) см.

Массу окна определим из \[m = (V_{\text{р}} + V_{\text{ств}} - V_{\text{прорези}})\,\rho_{\text{д}} + V_{\text{СТ}}\,\rho_{\text{СТ}},\] где \(V_{\text{р}}\) — объем рамы, \(V_{\text{ств}}\) — объем створки со стеклом, \(V_{\text{прорези}}\) — объем стекла в прорези, \(V_{\text{СТ}}\) — объем стекла.

Объем рамы \(V_{\text{р}} = (b+c+2a)\,2a^2 = 0{,}006\) м\(^3 = 6048\) см\(^3\).

Объем створки \(V_{\text{ств}} = (5c+8z)\,a^2 = 0{,}0107\) м\(^3 = 10710\) см\(^3\).

Объем стекла в прорези \(V_{\text{прорези}} = fy\,(6d+6e+24f+8a+8z) = 0{,}006\) м\(^3 = 658\) см\(^3\).

Объем стекла \(V_{\text{СТ}} = zy\,(3d+3e+4a) + V_{\text{прорези}} = 0{,}0117\) м\(^3 = 11715\) см\(^3\).

Тогда \[m = (6048 + 10710 - 658)\cdot 0{,}75~\text{г/см}^3 + 11715\cdot 2{,}2~\text{г/см}^3 = 12075~\text{г} + 25773~\text{г} = 37848~\text{г} \approx 38~\text{кг}.\]

Подсказка

Работа за время \(t\) — это площадь под графиком \(N(t)\). Сравните её с работой силы Архимеда на пути \(s\), где сила выражается через объём кубика.

Ответ

\(a = 0{,}1\) м.

Решение

Площадь под графиком \(N(t)\) — работа \(A\) силы Архимеда:

Площадь треугольника \(A = Nt/2\). Объем кубика \(V = a^3\), сила Архимеда \(F_A = \rho V g = \rho g a^3\). Так как работа \(A = F_A s\), то \[\frac{Nt}{2} = \rho g a^3 s, \qquad a^3 = \frac{Nt}{2\rho g s}.\] При \(N = 3{,}92\) Дж/с и \(t = 5\) с: \(A = 9{,}8\) Дж, и \(a^3 = 0{,}001\) м\(^3\), откуда \(a = 0{,}1\) м.