«Бельчонок», 2021/22, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Пар уносит с поверхности теплоту парообразования. Сравните теплоту, которая уходит на образование пара за время \(\Delta t\), с теплотой, которую теряет жидкость при охлаждении за то же время.

Ответ

\(v \approx 3\) см/с.

Решение

За промежуток времени \(\Delta t\) за счёт испарения с поверхности образуется объём пара \(V = S v\,\Delta t\). Масса пара \(\Delta m = \rho S v\,\Delta t\).

На её образование будет затрачено количество теплоты \[\Delta Q = L\,\Delta m = L\rho S v\,\Delta t,\] которое отнимается от тосола, вызывая его охлаждение. Охлаждение тосола на \[\Delta T = \frac{\Delta Q}{mC} = \frac{L\rho S v\,\Delta t}{mC}.\] Отсюда скорость паров \[v = \frac{mC\,\Delta T}{\Delta t\,L\rho S}.\]

Подсказка

Длины вагонов одинаковы, значит \(u_1 t_1 = u_2 t_2\). Скорость поезда снимите с наклона графика \(L(t)\) до и после перехода, а затем составьте условие на удвоенный путь относительно рельсов.

Ответ

\(t_1 = 8\) с;  \(t_2 = 12\) с.

Решение

Длина вагонов \(l = t_1 u_1 = t_2 u_2\) (1), тогда \(t_1 = l/u_1\), а \(t_2 = l/u_2\).

Из рисунка 1 (график \(S(t)\)): \(t_2/t_1 = u_1/u_2 = 1{,}5\) (или \(t_1/t_2 = u_2/u_1 = 0{,}66\)) (2), \(u_2 = u_1\,t_1/t_2\) или \(u_1 = u_2\,t_2/t_1\).

Из рисунка 2 (график \(L(t)\)): скорость поезда до перехода \(v_1 = 124\) км/ч \(= 34{,}5\) м/с, после перехода \(v_2 = 173\) км/ч \(= 48\) м/с.

Расстояние, пройденное пассажиром относительно железной дороги, в первом вагоне \(S_1 = (v_1+u_1)\,t_1\), во втором вагоне \(S_2 = (v_2+u_2)\,t_2\). Из условия \(S_2 = 2S_1\), то есть \((v_2+u_2)\,t_2 = (v_1+u_1)\,2t_1\). Отсюда \(u_1 = \dfrac{t_2}{t_1}\,v_2 - 2v_1\) или \(u_2 = \left(\dfrac{t_2}{t_1}\,v_2 - 2v_1\right)\dfrac{t_1}{t_2}\).

Решая уравнение с учётом (2), получаем \(u_1 = 3\) м/с, \(u_2 = 2\) м/с, а значит \(t_1 = 8\) с, \(t_2 = 12\) с.

Подсказка

Потенциальная энергия капли на высоте \(h\) переходит в тепло при ударе о землю; на нагрев идёт только часть этой энергии.

Ответ

\(\Delta T \approx 2{,}3\) \(^\circ\)C.

Решение

Потенциальная энергия капли \(E_п = mgh\). При ударе капли о землю на нагрев идёт \(E = \eta mgh\). Энергия на нагревание воды \(Q = mc\,\Delta T\). Из \(E = Q\): \[\eta mgh = mc\,\Delta T, \qquad \Delta T = \frac{\eta g h}{c}.\] Удельная теплоёмкость воды \(c = 4200\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C) в условии не дана;

Численно \(\Delta T \approx 2{,}3\) \(^\circ\)C.

Подсказка

Запишите равновесие стержня дважды: до погружения (веса тел) и после погружения (веса за вычетом выталкивающей силы), учитывая смену мест.

Ответ

\(\rho_1 = \dfrac{13}{12}\rho_0\),  \(\rho_2 = \dfrac{13}{4}\rho_0\).

Решение

Условие равновесия стержня до погружения тел в воду: \[\rho_1 V_1 = 3\rho_2 V_2,\] и после погружения (тела поменяны местами): \[3(\rho_1-\rho_0)V_1 = (\rho_2-\rho_0)V_2,\] где \(V_1\), \(V_2\) — объемы тел, \(\rho_0\) — плотность воды.

Из первого соотношения \(V_1/V_2 = 3\rho_2/\rho_1 = 9\). Подставляя во второе, приходим к уравнению \(27\rho_1 - \rho_2 = 26\rho_0\). Решая его совместно с условием \(\rho_2/\rho_1 = 3\), находим \[\rho_1 = \frac{13}{12}\rho_0, \qquad \rho_2 = \frac{13}{4}\rho_0.\]

Подсказка

Работа насоса идёт на кинетическую энергию выброшенной воды и на подъём её центра масс. Скорость воды в трубе найдите из объёма откачанной воды.

Ответ

\(P \approx 116\) Вт.

Решение

Мощность насоса \(P = A/t\). Работа насоса расходуется на сообщение воде кинетической энергии и на подъём воды: \(A = E = \Delta E_к + \Delta E_п\).

Кинетическая энергия \(\Delta E_к = mv^2/2\) (вода в бассейне в начальный момент покоится). Масса воды \(m = \rho V = \rho S h/2\). Скорость движения воды найдём из \(s v t = V = Sh/2\): \(v = \dfrac{Sh}{2st}\).

Изменение потенциальной энергии — подъём центра масс воды до верхнего уровня бассейна: \(\Delta E_п = \dfrac{3}{4} m g h\).

Подставляя, \[A = \frac{mv^2}{2} + \frac{3mgh}{4} = \frac{\rho (Sh)^3}{16\,(st)^2} + \frac{3\rho S g h^2}{8}.\] Мощность насоса \[P = \frac{A}{t} = \frac{\rho (Sh)^3}{16\,t\,(st)^2} + \frac{3\rho S g h^2}{8t}.\] Численно \(v = 3\) м/с, \(A \approx 2{,}1\cdot10^5\) Дж, \(P \approx 116\) Вт.