«Бельчонок», 2021/22, заключительный этап, 9 класс

Сравните время, которое каждый автомобиль тратит на свою часть пути: на каждом участке путь делится на скорость. Путь каждого автомобиля выразите через длину окружности \(L_0\).

\(v_2 = \dfrac{4}{5}\,v_1 = 44\) км/ч.

Обозначим \(L_0\) — длину окружности. Путь первого автомобиля \(L_1 = \dfrac{1}{3}L_0\), путь второго \(L_2 = \dfrac{2}{3}L_0 = 2L_1\).

Время в пути первого автомобиля: \[t_1 = \frac{L_1/3}{v_1} + \frac{2L_1/3}{v_1/2} = \frac{5}{3}\,\frac{L_1}{v_1} = \frac{5}{9}\,\frac{L_0}{v_1}.\] Время в пути второго автомобиля: \[t_2 = \frac{L_2/3}{v_2} + \frac{2L_2/3}{2v_2} = \frac{2}{3}\,\frac{L_2}{v_2} = \frac{4}{9}\,\frac{L_0}{v_2}.\] Из равенства \(t_1 = t_2\) следует \(v_2 = \dfrac{4}{5}\,v_1 = 44\) км/ч.

Автомобиль не тонет и не всплывает, значит сила Архимеда равна полному весу. Объём алюминиевых деталей найдите по их массе и плотности, а массу воздуха — по объёму полостей.

\(V_2 \approx 0{,}889\) м\(^3\).

Считаем, что все детали автомобиля выполнены из алюминия плотностью \(\rho_1\). Сила Архимеда, действующая на автомобиль: \[F_A = \rho_0 g V = \rho_0 g (V_1 + V_2),\] где \(V_1 = \dfrac{m_1}{\rho_1}\) — объём алюминиевых деталей, \(V_2\) — объём полостей автомобиля с воздухом.

Для того чтобы автомобиль не тонул и не всплывал, необходимо равенство сил \(F_A = (m_1 + m_2 + m_3)\,g\), где \(m_2 = \rho_2 V_2\) — масса газа в полостях. Получаем \[\rho_0 g (V_1 + V_2) = (m_1 + \rho_2 V_2 + m_3)\,g,\] откуда объём полостей \[V_2 = \frac{m_1 + m_3 - \rho_0\,\dfrac{m_1}{\rho_1}}{\rho_0 - \rho_2} \approx 0{,}889~\text{м}^3.\]

Натяжение нити равно весу подвешенного груза. Для точки \(B\) три натяжения должны уравновешивать друг друга; прямой угол между двумя из них даёт соотношение между сторонами треугольника сил.

\(m_3 = \sqrt{m_2^2 - m_1^2} = 6\) кг.

Из условий равновесия каждого из грузов: \(T_1 = m_1 g\), \(T_2 = m_2 g\), \(T_3 = m_3 g\).

Для точки \(B\) выполняется \(\vec T_1 + \vec T_2 + \vec T_3 = 0\). Из векторной диаграммы сил видно, что \[T_2^2 = T_1^2 + T_3^2 - 2T_1T_3\cos\alpha.\] Так как угол \(ABC\) прямой, \(\alpha = 90^\circ\), и после подстановки \(T_1\), \(T_2\), \(T_3\): \[m_3 = \sqrt{m_2^2 - m_1^2} = 6~\text{кг}.\]

Перемычки соединяют точки в узлы с одинаковым потенциалом. После этого видно, какие резисторы включены параллельно, а какие — последовательно.

\(R = 20\) Ом; ток \(I_0 = 4{,}8\) А через цепь; ток в каждой перемычке \(2{,}4\) А.

Схему можно преобразовать к эквивалентной. Сопротивления между точками \(A\), \(C\) и \(E\), \(D\) (и между \(B\), \(E\)) равны между собой: \(R_{AB} = R_{ED} = R/2\). Сопротивление между точками \(A\) и \(D\) по верхней ветке схемы: \(R_{AD} = R_{ED} + R_{AB} = R\). Полное сопротивление цепи между \(A\) и \(F\): \[R_0 = \frac{R}{2}.\] Сопротивление каждого резистора \(R = 2R_0 = 20\) Ом.

Полный ток в цепи \(I_0 = \dfrac{U_0}{R_0} = 4{,}8\) А. Так как сопротивления верхней и нижней ветвей схемы одинаковы, то токи в них равны половине полного тока, и в каждой перемычке течёт ток \(I = \dfrac{I_0}{2} = 2{,}4\) А.

Радиус ударной волны выражается только через \(E\), \(\rho\) и \(t\). Найдите степени в этой комбинации из размерностей величин, а затем сравните радиусы при одинаковом \(t\).

\(E_2 = 58\) Мт в тротиловом эквиваленте.

Решаем методом размерностей. Радиус зависит от энергии, плотности атмосферы и времени: \[R = \varphi(E, \rho, t), \qquad R = \mathrm{const}\cdot E^{\alpha}\rho^{\beta}t^{\gamma}.\] Размерности: \([E] = \text{кг}\cdot\text{м}^2\cdot\text{с}^{-2}\), \([\rho] = \text{кг}\cdot\text{м}^{-3}\), \([t] = \text{с}\), \([R] = \text{м}\). Получаем систему уравнений: \[1 = 2\alpha - 3\beta, \qquad 0 = \alpha + \beta, \qquad 0 = -2\alpha + \gamma,\] откуда \(\alpha = \dfrac{1}{5}\), \(\beta = -\dfrac{1}{5}\), \(\gamma = \dfrac{2}{5}\). Радиус ударной волны \[R = \mathrm{const}\left(\frac{E}{\rho}\right)^{1/5} t^{2/5}.\] Отношение радиусов в один и тот же момент времени: \[\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{E_2}{E_1}\right)^{1/5}, \qquad E_2 = E_1\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^{5}.\]