«Бельчонок», 2023/24, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Период найдите по графику \(Y(t)\). Длина следа песка за один период на траектории \(Y(x)\) равна длине окружности бочки. Размах колебаний на этом графике связан с радиусом отверстия и углом наклона через косинус.

Ответ

\(R\approx 29{,}9\) см; \(T=10\) с; \(n=0{,}1\) с\(^{-1}\); \(\alpha=30^\circ\).

Решение

По графику зависимости \(Y=f(t)\) определяем период \(T=10\) с. Число оборотов \[n=\frac{1}{T}=0{,}1~\text{с}^{-1}.\]

По графику \(Y=f(x)\) определяем, на какое расстояние сместилась бочка за период, оно примерно равно \(\ell=2\pi R=188\) см. Рассчитаем радиус бочки: \[R=\frac{\ell}{2\pi}=29{,}9~\text{см}.\]

По этому же графику определяем размах колебаний: \(BB'=2r'=AA'\cos\alpha=26\) см. С другой стороны, \(BB'=AA'\cos\alpha=2r\).

Определяем \[\cos\alpha=\frac{BB'}{AA'}=\frac{26}{30}=0{,}8667,\qquad \alpha=\arccos 0{,}8667=30^\circ.\]

Подсказка

В точке \(A\) сила упругости равна силе тяжести. Найдите массу тела по этой точке. Точки на участках \(CD\) и \(EF\) соответствуют полному погружению тела: силы Архимеда в двух жидкостях сравните по силам упругости.

Ответ

\(\rho_2/\rho_1=0{,}6\); при этом \(\rho_1=1000\) кг/м\(^3\), \(\rho_2=600\) кг/м\(^3\).

Решение

В точке \(A\) сила упругости равна силе тяжести, так как на тело ещё не действует сила Архимеда: \(F_{\text{упр}}=mg\). Найдём массу тела \(m=5\) кг. Участки \(CD\) и \(EF\) соответствуют ситуации, когда тело погружено полностью в жидкость, что позволяет определить длину тела \(\ell=0{,}08\) м.

Рассмотрим график 1. Вначале сила упругости уменьшалась, так как сила тяжести превышала силу Архимеда, затем в точке \(x=5\) см (точка \(B\)) сила Архимеда и сила тяжести сравнялись: \[mg=\rho_1 gV, \qquad mg=\rho_1 gSx, \qquad \rho_1=\frac{m}{xS}=1000~\text{кг/м}^3.\] Далее до точки \(C\) сила Архимеда увеличивалась, а сила упругости тоже увеличивалась, то есть тело теперь притапливали: сила упругости и сила тяжести направлены в одну сторону. Найдём силу Архимеда на участке \(CD\): \[F_{A1}=mg+F_{\text{упр}1}=80~\text{Н},\] где \(F_{\text{упр}1}=30\) Н.

Рассмотрим график для силы \(F_2\). В этом случае сила Архимеда непрерывно нарастает, а сила упругости падает. Очевидно, что плотность второй среды меньше первой. Определим силу Архимеда на участке \(EF\): \[F_{A2}=mg-F_{\text{упр}2}=48~\text{Н},\] где \(F_{\text{упр}2}=2\) Н. Определим отношение плотностей жидкостей: \[\frac{\rho_2}{\rho_1}=\frac{mg-F_{\text{упр}2}}{mg+F_{\text{упр}1}}=\frac{48}{80}=0{,}6.\] Плотность второй жидкости: \(\rho_2=0{,}6\,\rho_1=600\) кг/м\(^3\).

Подсказка

Самолёт летит равномерно, поэтому сила тяги равна силе сопротивления. Мощность равна произведению силы на скорость самолёта относительно воздуха. Плотности возьмите с графика.

Ответ

\(P_2/P_1=0{,}65\) (мощность на высоте \(13\) км относительно мощности на высоте \(7\) км).

Решение

Так как самолёт летит равномерно, то сила тяги самолёта уравновешивает силу сопротивления, действующую на самолёт со стороны воздуха: \[F=F_c=\alpha\rho vS.\] Мощность находится по формуле \[P=Fv=\alpha\rho v^2S.\] Мощности самолёта на разных высотах равны соответственно: \[P_1=\alpha\rho_1 v_1^2S, \qquad P_2=\alpha\rho_2 v_2^2S.\] В этих формулах \(v_1\) и \(v_2\) — относительные скорости самолёта по отношению к ветру: \[v_1=v_c-v_{\text{в}1}=800~\text{км/ч}, \qquad v_2=v_c-v_{\text{в}2}=700~\text{км/ч}.\] Плотности определяем по графику зависимости плотности атмосферы от высоты: \(\rho_2=0{,}3\) кг/м\(^3\) — плотность воздуха на высоте \(13\) км, \(\rho_1=0{,}6\) кг/м\(^3\) — плотность воздуха на высоте \(7\) км.

Отношение мощностей равно: \[\frac{P_2}{P_1}=\frac{\rho_2 v_2^2}{\rho_1 v_1^2}=0{,}65.\]

Подсказка

Систему с двумя грузами можно заменить одним телом в центре масс. Центр масс лежит на прямой, соединяющей грузы; положение точки подвеса и центра масс относительно центра обруча даёт длину эквивалентного маятника.

Ответ

\(T=0{,}31\) с.

Решение

Данную систему можно рассматривать как математический маятник, у которого вся масса системы сосредоточена в точке \(M\). Координата центра масс лежит на прямой, соединяющей грузики, расстояние между которыми: \[d=2R\sin\alpha.\] Тогда координата центра масс \(x\) лежит на линии, соединяющей грузы: \[x=\frac{2m\,d}{m+2m}=\frac{4}{3}R\sin\alpha.\] При подвешивании такой системы она стремится занять положение, при котором точка \(M\) и точка \(C\) находятся на одной прямой. Длина \(OM\) — расстояние от центра обруча до центра масс грузов: \[OM=\sqrt{R^2+x^2-2Rx\cos(90^\circ-\alpha)}=\frac{\sqrt7}{3}R.\]

Период колебаний математического маятника равен: \[T=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}=2\pi\sqrt{\frac{R+OM}{g}}=\sqrt{\frac{3+\sqrt7}{3}\cdot\frac{R}{g}}=0{,}31~\text{с}.\]

Подсказка

Ток через диоды идёт в одном направлении, поэтому часть вершин куба соединяется накоротко. Используйте симметрию схемы и найдите токи через ребра.

Ответ

\(R_0=R=40\) Ом (полное сопротивление цепи); токи: через куб \(I=4\) А, через резисторы \(1\) А, через диоды \(1\) А.

Решение

При таком подключении ток через диоды бежит, а значит точки \(A\) и \(B\) соединены накоротко, аналогично для точек \(C'\) и \(D'\). Эквивалентная схема представлена на рисунке.

В силу симметрии ток не будет бежать через участки схемы \(B'C\) и \(A'D\). Сопротивления участков равны между собой: \[R_{ABB'C}=R_{ABA'D}=R_{B'CC'D'}=R_{A'DC'D'}=R.\] Сопротивление верхнего участка равно сопротивлению нижнего участка цепи: \[R_{\text{I}}=R_{\text{II}}=2R.\] Полное сопротивление цепи: \[R_0=R=40~\text{Ом}.\] Ток, текущий через весь куб: \[I=\frac{U}{R}=4~\text{А}.\] Токи через все рёбра, где есть сопротивления, равны между собой: \[I_1=\frac{I}{4}=1~\text{А}.\] Токи через диоды: \[I_2=2I_1=1~\text{А}.\] Токи через рёбра \(B'C'\) и \(DC\) не текут.