«Бельчонок», 2023/24, заключительный этап, 11 класс

Разгерметизация быстрая, теплообмен не успевает произойти: процесс адиабатический. Какая величина связывает давление и температуру при адиабатическом расширении газа?

\(\Delta T \approx 86\) К.

Расширение воздуха в салоне происходит так быстро, что теплообменом с окружающими телами можно пренебречь: процесс адиабатический. Для адиабаты \(P V^{\gamma} = \text{const}\) с уравнением состояния \(PV = \nu RT\) получаем \(P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{const}\), где \(\gamma = \dfrac{7}{5}\) для двухатомного воздуха. Отсюда \[T_2 = T_1\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}, \qquad \Delta T = T_1\left[1 - \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}\right].\] Давление \(P_1 \approx 101\) кПа у земли и давление \(P_2\) на высоте \(9\) км берём по справочному графику. Ответ: \(\Delta T \approx 86\) К.

Частица пролетает между дисками за время \(L/V\). За это время диски должны повернуться так, чтобы прорези совпали; соседние подходящие скорости отличаются тем, что число полных оборотов за время пролёта меняется на единицу.

\(V = \dfrac{L(\omega_1 - \omega_2)}{2\pi}\).

Частица беспрепятственно проходит оба диска, если за время пролёта \(L/V\) диски поворачиваются на угол \(\varphi + 2\pi n\), где \(n\) — целое число полных оборотов. Для соседних подходящих скоростей число полных оборотов отличается на единицу, поэтому \[\begin{cases} \dfrac{L}{V} = \dfrac{\varphi + 2\pi n}{\omega_1},\\[2mm] \dfrac{L}{V} = \dfrac{\varphi + 2\pi (n-1)}{\omega_2}. \end{cases}\] Вычитая второе уравнение из первого, после исключения \(n\) и \(\varphi\) получаем \(\dfrac{L}{V} = \dfrac{2\pi}{\omega_1 - \omega_2}\), откуда \(V = \dfrac{L(\omega_1 - \omega_2)}{2\pi}\).

До излома в сосуде одновременно есть жидкость и её пар. Что происходит в точке излома?

\(m \approx 17\) мг.

До отметки \(20\) °C зависимость криволинейная: в сосуде сосуществуют жидкая вода и её насыщенный пар, давление равно давлению насыщенного пара \(P_{\text{нас}}(t)\) при данной температуре. В точке излома жидкость полностью испаряется, дальше пар ненасыщенный и ведёт себя как идеальный газ, давление растёт линейно с температурой. В этой точке давление равно \(P_{\text{нас}}(20\,\text{°C}) \approx 2{,}33\) кПа (по таблице), а вся масса воды находится в виде пара в объёме \(V\): \[P_{\text{нас}}(20\,\text{°C})\, V = \frac{m}{\mu} R T, \qquad m = \frac{P_{\text{нас}}(20\,\text{°C})\, V \mu}{R T} \approx 17~\text{мг}.\] Здесь \(T = 293\) К, \(\mu = 18\) г/моль.

Поверхность металла эквипотенциальна, а силовые линии перпендикулярны ей. Как выглядит поле, если металл заменить подходящим зарядом по другую сторону поверхности?

\(F \approx 0{,}225\) мкН (сила притяжения к плоскости).

Поверхность металла эквипотенциальна, поэтому линии напряжённости перпендикулярны ей. Конфигурация поля такая же, как если бы металл был зеркалом для силовых линий: взаимодействие заряда с индуцированными поверхностными зарядами повторяет притяжение точечных зарядов \(Q\) и \(-Q\), разнесённых на расстояние \(2L\) (см. рисунок).

Поэтому сила взаимодействия \[F = -k\,\frac{Q^2}{(2L)^2} \approx 0{,}225~\text{мкН}\] (знак минус означает притяжение к плоскости).

Выделите три типа лучей: отражённые непосредственно от зеркала и прошедшие через одну или через обе жидкости. Оптические силы складываются.

\(R = 80\) см;  \(n_1 = \dfrac{4}{3}\);  \(n_2 = \dfrac{8}{5}\).

Луч 1 отражается непосредственно от вогнутого зеркала, его оптическая сила \(D_1 = \dfrac{1}{f_1} = \dfrac{2}{R}\). Луч 2 проходит плоскую границу, затем сферическую поверхность жидкости 1 радиуса \(R\), отражается от зеркала и снова проходит жидкость 1; оптическая сила \(D_2 = \dfrac{2}{R} + 2(n_1 - 1)\dfrac{1}{R} = \dfrac{2n_1}{R}\). Луч 3 аналогично проходит жидкость 2: \(D_3 = \dfrac{2}{R} + 2(n_2 - 1)\dfrac{1}{R} = \dfrac{2n_2}{R}\). Плоская граница фокусирующего действия не имеет.

Получаем систему \[\frac{1}{f_1} = \frac{2}{R}, \qquad \frac{1}{f_2} = \frac{2n_1}{R}, \qquad \frac{1}{f_3} = \frac{2n_2}{R},\] откуда \(R = 2f_1 = 80\) см, \(n_1 = \dfrac{f_1}{f_2} = \dfrac{4}{3}\), \(n_2 = \dfrac{f_1}{f_3} = \dfrac{8}{5}\).

Частота маятника зависит от эффективного ускорения свободного падения на борту. Какие две поправки к ускорению свободного падения даёт движение самолёта по окружности?

\(\delta \approx 0{,}18\) %.

Частота маятника \(\omega = \sqrt{g/l}\), поэтому относительное изменение частоты равно \(\delta = \left|\dfrac{\sqrt{g'}}{\sqrt{g_0}} - 1\right|\), где \(g'\) — эффективное ускорение на борту самолёта, а \(g_0 = \dfrac{\gamma M}{R^2}\) — ускорение свободного падения на полюсе. На борту \[g' = \frac{\gamma M}{(R+h)^2} - \frac{V^2}{R+h}:\] первое слагаемое — притяжение Земли на высоте \(h\), второе — центробежный эффект от движения самолёта со скоростью \(V\) по окружности радиуса \(R+h\). Тогда \[\delta = \left|\sqrt{\left(\frac{R}{R+h}\right)^2 - \frac{V^2 R^2}{\gamma M (R+h)}} - 1\right| \approx 0{,}18~\%.\]