зад 1 Перехваты поручня на эскалаторе
Один из самых длинных эскалаторов в России находится в г. Санкт-Петербурге на площади Ленина. Он преодолевает расстояние, равное \(131{,}6\) м. Поручни на эскалаторе движутся на \(2{,}0\) % быстрее, чем лестница. Человек, стоящий на движущейся лестнице эскалатора, удерживает руку на поручне. Всё время перемещаясь, рука относительно человека уезжает, и человеку становится неудобно. В результате он перехватывает поручень на \(50\) см назад. Сколько раз человек перехватит поручень за всё время движения? Время на перемещение руки назад не учитывать. Первое взятие за самый край поручня учитывать.
В вариантах 2 и 3 соответственно: эскалатор на станции «Парк Победы», \(130\) м, перехват \(50\) см; эскалатор на станции «Чернышевская», \(131\) м, \(1{,}5\) % и перехват \(60\) см.
▶ПодсказкаСкрыть
Какую часть пути рука успевает пройти относительно эскалатора, пока человек едет до конца лестницы? Какую разность скоростей поручня и ступеньки это даёт?
▶ОтветСкрыть
\(5\) раз.
▶РешениеСкрыть
Скорость поручней \(u = v(1 + \delta v)\), где \(v\) — скорость ступеней, \(\delta v = 0{,}02\). Время, за которое рука доходит до конца эскалатора, \(\tau = \dfrac{l}{u} = \dfrac{l}{v(1+\delta v)}\). За это время тело проезжает \(l_0 = v\tau = \dfrac{l}{1+\delta v}\). Значит, рука переместилась относительно тела на \[\Delta l = l - l_0 = \frac{\delta v\, l}{1+\delta v} \approx 2{,}58~\text{м}.\] Итого перехватов: \(\dfrac{2{,}58}{0{,}5} \approx 5\). Ответ: \(5\) раз.
зад 2 Ветер по следу трактора
На рисунке приведено изображение со спутника с сохранением пропорций. Изображение представляет собой линию движения трактора и его дымовой след. Трактор двигался по дороге в направлении, указанном стрелкой на дороге. Скорость трактора составляла \(v_0 = 30\) км/ч. Направление ветра обозначено другой стрелкой. Используя предоставленный рисунок, определите скорость ветра. При необходимости перерисуйте изображение и поясните все отметки и дополнительные построения на изображении. Соблюдайте пропорции.
▶ПодсказкаСкрыть
Дым, выпущенный трактором в точке \(B\), за время \(t\) переносится ветром, а трактор за то же время проезжает путь \(AB\). Проведите из \(B\) прямую, параллельную ветру, до пересечения со следом.
▶ОтветСкрыть
\(u \approx 13\) км/ч.
▶РешениеСкрыть
Проведём из произвольной точки \(B\) на дороге прямую, параллельную направлению ветра, до пересечения со следом дыма в точке \(C\). Дым, испущенный трактором в точке \(B\), за время \(t\) переместился ветром на \(BC = ut\), где \(u\) — скорость ветра. Сам трактор за это время проехал \(AB = v_0 t\), где \(A\) — точка на дороге, соответствующая началу следа. Отсюда \(u = v_0\dfrac{BC}{AB}\). Измерив отрезки на рисунке, получаем \(\dfrac{BC}{AB} \approx 0{,}43\), значит \(u \approx 13\) км/ч.
зад 3 Эффект Доплера у жуков
Известно, что когда мимо нас перемещается объект, издающий звук, то звук сигнала сначала кажется высоким, а затем становится низким. То есть когда звук движется в нашу сторону, он кажется выше, чем есть на самом деле. А когда сигнал удаляется от нас, то слух воспринимает его ниже. Насекомые производят множество разнообразных звуков. Например, жужжание создаётся в результате очень быстрой вибрации крыльев. Так, жук-навозник делает \(f = 85\) взмахов крыльями в секунду. Какое количество взмахов крыльями в секунду (\(f'\)) услышит навстречу летящий другой такой же жук? Жуки летят с одинаковой скоростью \(v = 30\) км/ч. Скорость звука в воздухе \(c = 330\) м/с. Время между двумя взмахами крыльями (\(T\)) обратно пропорционально количеству взмахов в секунду (\(f\)).
В вариантах 2 и 3 соответственно: божья коровка с \(f = 100\) и стрекоза с \(f = 250\) взмахами в секунду.
▶ПодсказкаСкрыть
Каждый следующий взмах первый жук издаёт, когда уже пролетел путь \(vT\), а звук второму жуку идёт от места предыдущего взмаха. Запишите время прихода двух соседних импульсов.
▶ОтветСкрыть
\(f' \approx 89\) раз в секунду.
▶РешениеСкрыть
Пусть в начальный момент жуки находятся на расстоянии \(l\), и первый жук издаёт первый сигнал. Второй жук принимает его через время \(t_1 = \dfrac{l - vt_1}{c}\). Следующий импульс первый жук издаёт через время \(T\), и он приходит ко второму жуку в момент \[t_2 = T + \frac{(l - vt_1) - vT - v(t_2 - t_1)}{c}.\] Вычитая из этого выражения первое и обозначив \(T' = t_2 - t_1\), получим \(T' = T - \dfrac{v(T + T')}{c}\), откуда \[T' = T\,\frac{c - v}{c + v}.\] Так как \(T \sim 1/f\), частота импульсов, воспринимаемая вторым жуком, равна \[f' = f\,\frac{c+v}{c-v} \approx 85\cdot\frac{338{,}3}{321{,}7} \approx 89~\text{раз в секунду}.\] Это изменение частоты называется эффектом Доплера.
зад 4 Размерный анализ давления на крыло
Исследуя измерения, можно изучить связь между физической величиной и другими физическими величинами, за исключением некоторого (безразмерного) числового фактора. Это исследование называется размерным анализом. Основой этого метода являются основные единицы измерения, а именно стандартные единицы длины, массы и времени. Единицы измерения любых других физических величин практически всегда могут быть определены в терминах (комбинациях) этих основных единиц.
Пусть самолёт летит в атмосфере со скоростью \(v\) относительно атмосферы, плотность которой равна \(\rho\). Давление воздуха на крыло самолёта пропорционально плотности и скорости, что можно записать так: \(p = k\,\rho^{a} v^{b}\), где \(k\) — безразмерный коэффициент; \(a\) и \(b\) — некоторые числа. Определите, чему равны \(a\) и \(b\).
В вариантах 2 и 3 — другие формулы: подъёмная сила \(F = k\rho^a v^b L^c\) крыла длиной \(H\) и шириной \(L\) и скорость звука \(v = k\,p^a \rho^b\) (здесь не сверено).
▶ПодсказкаСкрыть
Выпишите размерности давления, плотности и скорости через \(\text{кг}\), \(\text{м}\), \(\text{с}\) и приравняйте показатели степеней при каждой единице.
▶ОтветСкрыть
\(a = 1\), \(b = 2\).
▶РешениеСкрыть
Размерности: \([p] = \dfrac{\text{кг}\cdot\text{м}\cdot\text{с}^{-2}}{\text{м}^2} = \text{кг}\cdot\text{м}^{-1}\cdot\text{с}^{-2}\), \([\rho] = \text{кг}\cdot\text{м}^{-3}\), \([v] = \text{м}\cdot\text{с}^{-1}\). Уравнение размерностей: \[\text{кг}\cdot\text{м}^{-1}\cdot\text{с}^{-2} = \left(\text{кг}\cdot\text{м}^{-3}\right)^{a}\left(\text{м}\cdot\text{с}^{-1}\right)^{b}.\] Сравнивая показатели: по килограммам \(a = 1\); по метрам \(-1 = -3a + b\); по секундам \(-2 = -b\). Итого \(a = 1\), \(b = 2\), то есть \(p \sim \rho v^2\).
зад 5 Плотность камня
Определите плотность камня из данных на рисунке. Ответ дайте в кг/м\(^3\).
Варианты 2 и 3 — другие числа на весах и мензурке (здесь не сверено).
▶ПодсказкаСкрыть
Масса камня находится по весам: камень уравновешивает гирю в \(10\) г. Объём — по подъёму уровня воды в мензурке.
▶ОтветСкрыть
\(\rho = 5500\) кг/м\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Масса камня (по весам: гири \(100\) г и \(20\) г уравновешивают камень и гирю \(10\) г): \(m = 100 + 20 - 10 = 110\) г \(= 0{,}110\) кг.
Объём (по мензурке, уровень воды поднимается с \(60\) мл до \(80\) мл): \(V = 80 - 60 = 20\) мл \(= 2\cdot 10^{-5}\) м\(^3\).
Плотность: \(\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{0{,}110}{2\cdot 10^{-5}} = 5500\) кг/м\(^3\).
Источник: Олимпиада «Бельчонок» по физике, 2023/24, заключительный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.