«Бельчонок», 2023/24, заключительный этап, 8 класс

Тракторы находятся на одинаковом расстоянии от перекрёстка. Дым, выпущенный трактором в момент встречи с другим, за то же время сносится ветром. Постройте точку, в которой дымовой след второго трактора был бы, если бы встреча произошла, и сравните отрезки.

\(u \approx 21\) км/ч.

Тракторы находятся на одинаковом расстоянии от перекрёстка \(O\), поэтому для текущего положения второго трактора точка \(C\) симметрична точке \(A\) относительно перекрёстка: \(OC = AO = v_0 t\), где \(t\) — время движения. Дымовой след, параллельный следу дыма в точке \(B\) его фактического положения, проводим до пересечения с линией дыма. Точка пересечения \(D\) определяет положение, в котором дым, испущенный в момент встречи тракторов, сносится ветром: \(OD = ut\). Отсюда \[u = v_0\,\frac{|OD|}{|AO|} = 30\cdot\frac{27}{39}~\text{км/ч} \approx 21~\text{км/ч}.\]

Ветер сносит сигнал: по направлению ветра сигнал доходит быстрее, против — медленнее. Компоненты скорости ветра входят в скорость звука вдоль соответствующих осей.

\(u \approx 9{,}4\) м/с.

Пусть \(u_x\), \(u_y\) — компоненты скорости ветра, \(c\) — скорость звука. Тогда времена распространения сигнала \[t_A = \frac{a}{c}\Bigl(1 + \frac{u_y}{c}\Bigr), \qquad t_B = \frac{a}{c}\Bigl(1 + \frac{u_x}{c}\Bigr), \qquad t_C = \frac{a}{c}\Bigl(1 - \frac{u_x}{c}\Bigr).\] Отсюда \(\dfrac{a}{c} = \dfrac{t_B + t_C}{2}\), поэтому \(c = \dfrac{2a}{t_B + t_C}\), и \[u_x = \frac{c^2}{2a}(t_B - t_C) = \frac{2a(t_B - t_C)}{(t_B + t_C)^2} \approx 6{,}1~\text{м/с},\] \[u_y = \frac{c^2}{a}\Bigl(t_A - \frac{t_B + t_C}{2}\Bigr) = \frac{2a(2t_A - t_B - t_C)}{(t_B + t_C)^2} \approx 7{,}1~\text{м/с}.\] Полная скорость ветра \(u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2} \approx 9{,}4\) м/с.

Запишите правило моментов относительно вертикальной части крана. Расстояние до противовеса ограничено длиной второй балки.

\(l = 15\) м, \(m = 12\) т.

Правило моментов относительно вертикальной части крана: \[m_1 g\,\frac{l_1}{2} = m_2 g\,\frac{l_2}{2} + m g\,l, \qquad \text{откуда} \qquad m = \frac{m_1 l_1 - m_2 l_2}{2l}.\] Минимальная масса противовеса соответствует максимальному плечу \(l\), а оно ограничено длиной второй балки: \(l = l_2 = 15\) м. Тогда \(m = \dfrac{9\cdot 45 - 3\cdot 15}{2\cdot 15}\) т \(= 12\) т.

\(f = \dfrac{\rho_\text{С} - \rho}{\rho_\text{С} - \rho_\text{П}}\).

Бревно плавает на границе галоклина, если сила тяжести уравновешена суммой архимедовых сил: доля \(f\) объёма над галоклином погружена в пресную воду, доля \(1-f\) — в солёную. Условие равновесия \[\rho V g = \rho_\text{П} f V g + \rho_\text{С}(1-f) V g,\] откуда \(f = \dfrac{\rho_\text{С} - \rho}{\rho_\text{С} - \rho_\text{П}}\).

Мощность охлаждения пропорциональна разности температуры лампочки и комнаты. Запишите баланс мощностей для двух режимов до и после поломки.

\(T_0 = -5\) °C.

Мощность системы охлаждения пропорциональна разности температур: \(P_\text{охл} = \alpha(T - T_0)\), где \(\alpha\) — неизвестный коэффициент. В штатном режиме баланс мощностей ночью и утром: \[P_\text{н} = \alpha(T_\text{н} - T_0), \qquad P_\text{у} = \alpha(T_\text{у} - T_0).\] После поломки коэффициент стал \(\kappa\), и при тех же мощностях \[P_\text{н} = \kappa(T'_\text{н} - T_0), \qquad P_\text{у} = \kappa(T'_\text{у} - T_0).\] Лампочка перегорает при \(T = 125\) °C, поэтому \(T'_\text{у} = 125\) °C. Из системы находим \[T_0 = \frac{T_\text{н}T'_\text{у} - T'_\text{н}T_\text{у}}{T_\text{н} - T'_\text{н} + T'_\text{у} - T_\text{у}} = \frac{45\cdot 125 - 100\cdot 65}{45 - 100 + 125 - 65}~\text{°C} = \frac{-875}{5}~\text{°C} = -175~\text{°C}.\]