«Бельчонок», 2023/24, заключительный этап, 9 класс

Запишите уравнение теплового баланса. Заранее не известно, какая из начальных температур больше, поэтому рассмотрите два случая.

При \(T_1>T_2\): \(\dfrac{m_1}{m_2}=0{,}5\,\dfrac{C_2}{C_1}\);  при \(T_2>T_1\): \(\dfrac{m_1}{m_2}=2\,\dfrac{C_2}{C_1}\).

Уравнение теплового баланса: \(C_1m_1(T_3-T_1)+C_2m_2(T_3-T_2)=0\), откуда \[T_3=\frac{C_1m_1T_1+C_2m_2T_2}{C_1m_1+C_2m_2}.\] Установившаяся температура всегда меньше максимальной начальной. Пусть \(n=1{,}5\) — отношение разности начальных температур к разности между максимальной начальной температурой и установившейся.

Первый случай, \(T_1>T_2\): \(n(T_1-T_3)=T_1-T_2\). Подставив \(T_3\), получим \(C_2m_2\,n=C_1m_1+C_2m_2\), то есть \[\frac{m_1}{m_2}=(n-1)\frac{C_2}{C_1}=0{,}5\,\frac{C_2}{C_1}.\]

Второй случай, \(T_2>T_1\): \(n(T_2-T_3)=T_2-T_1\), откуда \(C_1m_1\,n=C_1m_1+C_2m_2\) и \[\frac{m_1}{m_2}=\frac{1}{n-1}\frac{C_2}{C_1}=2\,\frac{C_2}{C_1}.\]

Время пролёта по ветру и против ветра — это длина городка, делённая на скорость относительно земли. Приравняйте два выражения для длины.

\(l=20\) км.

Угол, под которым пассажир видит город, на время пролёта не влияет, а вращение Земли не существенно. Длина городка одна и та же при полёте по ветру и против ветра: \[l=(v_1+v_2)\,t_1=(v_1-v_2)\,(t_1+\Delta t).\] Отсюда время полёта по ветру \[t_1=\frac{(v_1-v_2)\,\Delta t}{2v_2},\] а длина городка \[l=\frac{(v_1^2-v_2^2)\,\Delta t}{2v_2}=\frac{(250^2-27{,}8^2)\cdot 18}{2\cdot 27{,}8}\ \text{м}\approx 2\cdot 10^4\ \text{м}=20\ \text{км}.\]

Масса санок растёт вместе со снегом, и в момент остановки сила тяги уравновешивается силой трения, которая пропорциональна весу всей системы. Время и путь выразите через массу снега и среднюю скорость.

1) \(m\approx 405\) кг;  2) \(l\approx 1265\) м;  3) \(A\approx 253\) кДж.

В момент остановки санок на них действуют тяга \(F\) и сила трения \(F_{тр}=f(m_0+m)g\); силы уравновешены: \(F=f(m_0+m)g\). Отсюда масса снега \[m=\frac{F}{fg}-m_0\approx 405~\text{кг}.\]

Снег накапливается с постоянной скоростью \(\mu S_0\), поэтому время движения \[t=\frac{m}{\mu S_0}=\frac{405}{3\cdot 0{,}32}\approx 422~\text{с}.\] Путь до остановки при средней скорости \(v\): \[l=vt\approx 1265~\text{м}.\] Работа Василия: \[A=Fl\approx 2{,}53\cdot 10^5~\text{Дж}\approx 253~\text{кДж}.\]

Сопротивления образуют геометрическую прогрессию: найдите её сумму и число членов. Затем учтите параллельное сопротивление.

\(P_1/P_2=R_2/R_0\approx 0{,}33\), то есть мощность увеличится примерно в \(3\) раза.

Сопротивления \(R, R/2, R/4,\dots,R/2048\) — это \(12\) членов геометрической прогрессии со знаменателем \(q=1/2\) (так как \(2^{11}=2048\)). Полное сопротивление цепи \[R_0=R\left(1+\frac12+\dots+\frac{1}{2048}\right)=R\,\frac{1-2^{-12}}{1/2}\approx 60~\text{Ом}.\] При параллельном подключении \(R_1\) общее сопротивление \[R_2=\frac{R_1R_0}{R_1+R_0}=\frac{30\cdot 60}{90}=20~\text{Ом}.\] Так как напряжение источника одно и то же, мощности относятся как обратные сопротивления: \[\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_2}{R_0}=\frac{20}{60}\approx 0{,}33,\] то есть мощность возрастает в \(3\) раза.

При равномерном полёте сила тяги равна силе сопротивления. Мощность равна силе тяги, умноженной на скорость. Сравните плотности воздуха на двух высотах по графику.

\(v_1\approx 636\) км/ч.

При равномерном полёте сила тяги уравновешивает силу сопротивления, \(F=\alpha\rho sv\). Мощность \[P=Fv=\alpha\rho s v^2.\] Условие равенства мощностей на высотах \(h_1=7\) км и \(h_2=13\) км: \[\alpha\rho_1 s v_1^2=\alpha\rho_2 s v_2^2 \quad\Rightarrow\quad v_1=v_2\sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}.\] По графику: \(\rho_1\approx 0{,}6\) кг/м\(^3\) при \(7\) км, \(\rho_2\approx 0{,}3\) кг/м\(^3\) при \(13\) км. Тогда \[v_1=900\sqrt{\frac{0{,}3}{0{,}6}}\approx 636~\text{км/ч}.\]