«Бельчонок», 2024/25, заключительный этап, 11 класс

Считайте, что давление воздуха заметно больше атмосферного и вдавливание \(x\) много меньше \(R\). Тогда сила, с которой воздух действует на стенку, пропорциональна \(x\), как у пружины.

\(t \approx 4\cdot 10^{-3}\) с;  \(F \approx 2{,}4\cdot 10^{3}\) Н.

Пусть мячик вдавливается в стену на глубину \(x \ll R\). Площадь контакта \(S = \pi(R^2 - (R-x)^2) \approx 2\pi R x\), сила давления воздуха на стену \(F = PS \approx 2\pi P R\,x\). Уравнение движения \(m\ddot x = -2\pi P R\, x\) — гармонические колебания с \(k = 2\pi P R\). Контакт длится половину периода: \[t = \frac{T}{2} = \pi\sqrt{\frac{m}{k}} = \sqrt{\frac{\pi m}{2PR}} \approx 4\cdot 10^{-3}~\text{с}.\] Средняя сила за время контакта \(F = \dfrac{\Delta p}{t} = \dfrac{2mv}{t} \approx 2{,}4\cdot 10^{3}\) Н.

КПД равен работе за цикл, делённой на теплоту, полученную за цикл. Работа равна площади цикла, теплоту считайте по участкам 1–2 и 2–3, где газ получает тепло.

КПД \(= 15\%\).

Состояния: \(1 = (V, P)\), \(2 = (V, nP)\), \(3 = (nV, nP)\) (продолжение линии 1–3 проходит через начало координат, поэтому давление меняется во столько же раз, что и объём).

Работа за цикл равна площади треугольника \(1\,2\,3\): \[A = \frac{1}{2}(nV - V)(nP - P) = \frac{1}{2}(n-1)^2 PV.\] Теплота, полученная за цикл, — это \(Q = Q_{12} + Q_{23}\) (на участке 3–1 газ отдаёт тепло). Для двухатомного газа \(C_V = \dfrac{5}{2}R\), \(C_P = \dfrac{7}{2}R\). Из уравнения состояния \(PV = RT_1\), \(nPV = RT_2\), \(n^2PV = RT_3\): \[Q_{12} = \frac{5}{2}R\,(T_2 - T_1) = \frac{5}{2}(n-1)PV, \qquad Q_{23} = \frac{7}{2}R\,(T_3 - T_2) = \frac{7}{2}n(n-1)PV,\] \[Q = \frac{1}{2}(n-1)(7n+5)\,PV.\] КПД: \[\eta = \frac{A}{Q} = \frac{(n-1)^2}{(n-1)(7n+5)} = \frac{n-1}{7n+5}.\]

Выбрасываемая рыба покоится относительно земли. Сравните изменение импульса саней за \(\Delta t\) с работой силы тяги.

\(\Delta F = 2{,}5\) Н.

Пусть сани движутся равномерно, сила тяги \(F\) уравновешивает силу трения \(F_{\text{тр}} = \text{const}\). Пока масса саней убывает, за \(\Delta t\) изменение импульса саней (в системе отсчёта земли, где выброшенная рыба покоится) равно \(\Delta p = v\,\Delta m\). Сила тяги должна быть меньше на \[\Delta F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{v\,\Delta m}{\Delta t} = \frac{5\cdot 0{,}5}{1} = 2{,}5~\text{Н}.\]

Сила тяги равна импульсу, уносимому фотонами в единицу времени. Связав мощность с импульсом фотона через \(E = pc\), выразите интенсивность.

\(I \approx 3\cdot 10^{14}\) Вт/м\(^2\) (при \(g = 10\) м/с\(^2\)).

Сила тяги двигателя должна хотя бы компенсировать силу тяжести: \[F = \frac{\Delta N\,p}{\Delta t} = Mg,\] где \(p\) — импульс одного фотона, \(\Delta N\) — число фотонов, вылетевших из сопел за время \(\Delta t\). Интенсивность света \(I = \dfrac{P}{S}\), мощность \(P = \dfrac{\Delta N\,pc}{\Delta t}\) (энергия фотона \(E = pc\)). Объединяя, получаем \[I = \frac{Mgc}{S}.\]

Запишите формулу тонкой линзы и формулу увеличения через расстояния \(a\) и \(b\) от линзы.

\(|\Gamma| = 0{,}5\) (изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное в 2 раза).

Увеличение \(\Gamma = -\dfrac{b}{a}\), где \(a\) и \(b\) — расстояния от предмета и от изображения до линзы. Формула тонкой линзы \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{F}\) при \(a = 3F\) даёт \(b = \dfrac{3}{2}F\). Следовательно, \(|\Gamma| = \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{2}\).

Пуля и утка в момент попадания находятся в одной точке в один момент времени: составьте условие совпадения по горизонтали и по высоте.

\(H \approx 701\) м.

Пусть в момент выстрела утка находится над точкой, в которую направлен ствол, на высоте \(H\), а горизонтальное расстояние до охотника \(H\operatorname{ctg}\alpha = H\). Тогда в момент попадания \(t\): \[v_0\cos\alpha\, t = H\operatorname{ctg}\alpha + u t, \qquad v_0\sin\alpha\, t - \frac{g t^2}{2} = H.\] Из первого уравнения при \(\alpha = 45^\circ\) получаем \(t = \dfrac{H}{c}\), где \(c = v_0\cos\alpha - u\). Подставляя во второе, находим \[H = \frac{2c\,(v_0\sin\alpha - c)}{g} = \frac{2\,(v_0\cos\alpha - u)\,(v_0\sin\alpha - v_0\cos\alpha + u)}{g}.\] Численно: \(c = 353{,}6 - 10 = 343{,}6\) м/с, \(H = \dfrac{2\cdot 343{,}6\cdot 10}{9{,}8} \approx 701\) м.