зад 1 Компакт-диск: длина спирали
Цифровые биты на аудиокомпакт-диске диаметром 12 см кодируются по спиралевидной траектории, которая начинается на радиусе \(R_1 = 2{,}5\) см и заканчивается по радиусу \(R_2 = 5{,}8\) см. Расстояние между центрами соседних спиральных витков равно \(\Delta = 1{,}6\) мкм. Для считывания информации проигрыватель компакт-дисков регулирует вращение диска таким образом, чтобы считывающий лазер двигался по спиральной траектории с постоянной скоростью около \(1{,}2\) м/с. Оцените максимальное время в минутах воспроизведения такого компакт-диска.
▶ПодсказкаСкрыть
Длина спиральной дорожки примерно равна площади кольца между начальным и конечным радиусами, делённой на шаг витка.
▶ОтветСкрыть
\(t \approx 75\) мин.
▶РешениеСкрыть
Длина спирального пути из площади внутри спиральной траектории: \[l = \frac{\pi R_2^2 - \pi R_1^2}{\Delta} = \frac{\pi(R_2^2 - R_1^2)}{\Delta} \approx 5{,}4~\text{км}.\] При равномерном движении лазера время \(t = \dfrac{l}{v} = \dfrac{5400}{1{,}2} = 4500\) с \(= 75\) мин.
зад 2 Поезда, птица и ветер
Расстояние между станциями А и Б 100 км. В 12:00 поезд ПА отправляется из станции А и следует по железной дороге в сторону станции Б. В то же время поезд ПБ стартует из Б и следует в сторону станции А. При запуске ПА птица летит вперёд от ПА. Когда птица встречает ПБ, она разворачивается и летит в сторону ПА.
Какое наступит время, когда птица снова встретит ПА? На рисунке показаны зависимости пути движения от времени относительно железной дороги для каждого участника движения первые 30 минут. Считать, что все участники движения перемещаются вдоль одной прямой, а поезд намного тяжелее, чем птица.
В вариантах 2–3 вопрос другой (например, в каком направлении дует ветер, если птица прилетела к ПА в 12:57), числа тоже другие.
▶ПодсказкаСкрыть
Скорости поездов и птицы найдите по наклону графиков. Птица летит и по ветру, и против него, поэтому скорость птицы относительно земли может быть \(v_в\) и \(v_п - v_в\).
▶ОтветСкрыть
12:57 или 12:52.
▶РешениеСкрыть
По графикам: \(v_A = 50\) км/ч, \(v_B = 60\) км/ч, скорость птицы относительно земли по направлению к Б \(70\) км/ч, скорость ветра \(v_в = 18\) км/ч. Птица летит к Б со скоростью \(v_п = v + v_в = 70\) км/ч (по ветру) или, против ветра, \(v_п' = v - v_в = 34\) км/ч (при этом \(v = 52\) км/ч).
1. Птица встречает ПБ, когда \(v_п t = AB - v_B t\), отсюда \(t = \dfrac{AB}{v_п + v_B} = 46{,}15\) мин. Тогда птица находится в \(S_п = v_п t \approx 53{,}8\) км от А.
2. Назад птица летит со скоростью \(v_п'\) (относительно земли) и встречает ПА, который движется от А со скоростью \(v_A\). Условие встречи \(v_A(t + t') = S_п - v_п' t'\) даёт \(t' = 11{,}0\) мин при \(v_п' = 34\) км/ч и \(t' = 5{,}9\) мин при \(v_п' = 106\) км/ч.
3. Время встречи: \(t + t' = 46{,}15 + 10{,}98 \approx 57\) мин, или \(46{,}15 + 5{,}9 \approx 52\) мин. Ответ: 12:57 или 12:52.
зад 3 Мальчик, собака и эхо
Мальчик бежит за своей собакой и кричит ей команду «сидеть». Собака, услышав команду, не остановилась, а в ответ сразу же только гавкнула. Тогда мальчик, не останавливаясь, снова кричит ей команду «стой», спустя 5 с после первой команды. Но собака в ответ опять сразу же только гавкнула. Скорость мальчика \(v = 10\) м/с. Скорость собаки \(u = 40\) м/с. Скорость звука \(c = 330\) м/с.
Сколько прошло времени для мальчика между двумя «гавками», которые он услышал? Получите точную формулу, затем упростите её, считая, что \(c \gg v, u\). Далее получите ответ, округлив его до десятых значений.
В вариантах 2–3 другие интервал между командами, \(v\), \(u\) (например, \(\tau = 3\) с, \(v = 8\) м/с, \(u = 30\) м/с).
▶ПодсказкаСкрыть
Выпишите законы движения мальчика, собаки и звука. Первая команда доходит до собаки за время \(t_1 = \dfrac{l_0}{c-u}\), где \(l_0\) — начальное расстояние между ними.
▶ОтветСкрыть
\(\Delta t = \tau\,\dfrac{(c+u)(c-v)}{(c-u)(c+v)} \approx \tau\left(1 + \dfrac{2(u-v)}{c}\right) \approx 5{,}9\) с.
▶РешениеСкрыть
1. Первая команда подана в момент \(t = 0\); начальное расстояние между мальчиком и собакой \(l_0\). Мальчик: \(x = vt\); собака: \(x = l_0 + ut\); звук: \(x = ct\).
2. Собака слышит первую команду в момент \(t_1 = \dfrac{l_0}{c-u}\) и лает в точке \(x_1 = ct_1\).
3. Лай доходит до мальчика в момент \(t_2\): \(vt_2 = x_1 - c(t_2 - t_1)\), откуда \(t_2 = \dfrac{2c\,l_0}{(c-u)(c+v)}\).
4. Вторая команда подана в момент \(\tau = 5\) с. В этот момент расстояние между мальчиком и собакой \(l_0 + (u - v)\tau\). Собака слышит её в момент \(t_3 = \tau + \dfrac{l_0 + (u-v)\tau}{c-u}\) и лает.
5. Второй лай доходит до мальчика в момент \(t_4 = \dfrac{l_0 + (c+u)\,t_3}{c + v}\).
6. Искомый промежуток времени между двумя «гавками»: \[\Delta t = t_4 - t_2 = \frac{(c+u)(c-v)}{(c-u)(c+v)}\,\tau.\] 7. При \(c \gg v, u\): \(\dfrac{(c+u)(c-v)}{(c-u)(c+v)} \approx 1 + \dfrac{2(u-v)}{c}\), поэтому \[\Delta t \approx \tau + \frac{2(u-v)\tau}{c} = 5 + \frac{2\cdot 30\cdot 5}{330} \approx 5{,}9~\text{с}.\]
зад 4 Крафт в Майнкрафте
Дима играет в Майнкрафт. Он решил сделать («скрафтить») рецепт тропического салата, а заодно разработать свой рецепт («крафт»). Для крафта ему потребуется арбуз, морковка, яблоко и миска объёмом 150 мл. Массы ингредиентов соотносятся в пропорции \(3\!:\!6\!:\!5\). Рассчитайте окончательную массу крафта. Известно, что масса миски \(m_0 = 30\) г, а плотности ингредиентов соответственно \(\rho_1 = 0{,}8\) г/см\(^3\), \(\rho_2 = 1{,}176\) г/см\(^3\) и \(\rho_3 = 1{,}149\) г/см\(^3\). Ответ приведите в граммах и округлите до первого знака после запятой.
В вариантах 2–3 другие пропорции и миска (например, \(4\!:\!2\!:\!3\) и \(2\!:\!6\!:\!8\)).
▶ПодсказкаСкрыть
Переведите пропорцию масс в объёмы через плотности; сумма объёмов равна объёму миски.
▶ОтветСкрыть
\(166\) г.
▶РешениеСкрыть
Масса арбуза, морковки и яблока в сумме \(M\) делится в пропорции \(3\!:\!6\!:\!5\), то есть \(m_1 = \dfrac{3}{14}M\), \(m_2 = \dfrac{6}{14}M\), \(m_3 = \dfrac{5}{14}M\). Соответствующие объёмы \(V_i = \dfrac{m_i}{\rho_i}\), а их сумма равна объёму миски \(V = 150\) мл: \[M\left(\frac{3}{14\rho_1} + \frac{6}{14\rho_2} + \frac{5}{14\rho_3}\right) = 150~\text{см}^3.\] Отсюда \(M \approx 159\) г, и масса крафта \(M + m_0 \approx 189{,}1\) г.
зад 5 Мощность ветряной турбины
Новейшие морские ветряные турбины в Северном море имеют длину лопастей 107 м, а средняя скорость ветра \(v = 10\) м/с. Рассчитайте максимально возможную выходную мощность \(P\) такой турбины в МВт, если \(P = 0{,}296\,\rho S v a\), где \(S\) — площадь потока воздушных масс с плотностью \(\rho\) через лопасти турбины, \(a\) — неизвестная величина. Известно, что за 1 с через лопасти турбины проходит 442 тонны воздушной массы. Предполагать, что направление ветра перпендикулярно плоскости лопастей.
В вариантах 2–3 длина лопастей \(102{,}5\) м; в варианте 2 спрашивается масса воздуха за 1 с при \(P = 12\) МВт, в варианте 3 — средняя скорость ветра при \(P = 14\) МВт и \(473\) т воздуха за 1 с.
▶ПодсказкаСкрыть
Масса воздуха за 1 с равна \(\rho S v\). Найдите \(a\) по размерностям, сравнивая единицы измерения в обеих частях формулы.
▶ОтветСкрыть
\(P \approx 13\) МВт.
▶РешениеСкрыть
Поток массы воздуха через лопасти за 1 с: \(\dfrac{m}{t} = \rho S v\). Из размерностей \(\text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}^3 = 0{,}296\cdot\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot\text{м}^2\cdot\left(\dfrac{\text{м}}{\text{с}}\right)^a\) получаем \(a = 3\). Тогда \[P = 0{,}296\,\rho S v^3 = 0{,}296\,\frac{m}{t}\,v^2 = 0{,}296\cdot 4{,}42\cdot 10^{5}~\text{кг/с}\cdot 100~\text{м}^2/\text{с}^2 \approx 1{,}3\cdot 10^{7}~\text{Вт} = 13~\text{МВт}.\]
Источник: Олимпиада «Бельчонок» по физике, 2024/25, заключительный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.