«Бельчонок», 2024/25, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Плотность глицерина найдите по наклону графика силы Архимеда. Уравнение теплового баланса для таяния кристалла запишите для замороженной части и для жидкости.

Ответ

Вариант 1: \(4{,}7\) г; вариант 2: \(7{,}3\) г; вариант 3: \(11\) г; вариант 4: \(\Delta T \approx 9{,}9\,^\circ\text{C}\).

Решение

Из закона Архимеда \(F=\rho g V\) по графику находим плотность глицерина: \(\rho \approx 1250\) кг/м\(^3\).

Тепловой баланс при таянии кристалла: \(\lambda m = c\,m_1\,\Delta T\), где \(m=\rho V_к\) — масса замороженного кусочка, \(V_к\) — его объем после размораживания. Объем глицерина в емкости в начале равен \(V_{ем}\), и \(\lambda \rho V_к = c\rho V_{ем}\Delta T\), откуда \(V_{ем} = \lambda V_к/(c\,\Delta T)\).

Объем жидкости после таяния: \(V_ж = V_к + V_{ем}\). По условию \(V_к = 208\) мм\(^3\) (с учетом расширения в \(1{,}04\) раза).

Масса жидкости: \[M = \rho\,(V_к + V_{ем}) = \rho V_к\left(1 + \frac{\lambda}{c\,\Delta T}\right) = 18\,\rho V_к = 18\cdot 1250\cdot 208\cdot 10^{-9}~\text{м}^3 \approx 4{,}7~\text{г}.\]

Подсказка

Через любое сечение сосудов в единицу времени протекает один и тот же объем крови. Сравните поток в артерии с суммарным потоком в ветках.

Ответ

Вариант 1: \(70\) мг (у организаторов написано «мкг», но по данным получаются миллиграммы); вариант 2: длина ветки \(6{,}5\) мм; вариант 3: плотность \(1{,}067\) г/см\(^3\); вариант 4: скорость крови в артерии \(29\) см/с.

Решение

Поток в каждой ветке: \(Q = 6\cdot 10^{-6}~\text{м}^3/60~\text{с} = 10^{-7}\) м\(^3\)/с. Скорость крови в ветке \(v_В = Q/(\pi r_В^2) = 0{,}105\) м/с \(=105\) мм/с.

Неразрывность потока: \(S_а v_а = n\,S_В v_В\), где \(S_а\), \(v_а\) — площадь и скорость в артерии, \(n\) — число веток. Отсюда \[n = \frac{d_а^2\,v_а}{d_В^2\,v_В} = \frac{(2~\text{мм})^2\cdot 320~\text{мм/с}}{(1{,}1~\text{мм})^2\cdot 105~\text{мм/с}} \approx 10.\]

Общая масса крови в ветках: \[m = n\,\rho\,\frac{\pi d_В^2}{4}\,l \approx 10\cdot 1060\cdot \frac{\pi (1{,}1\cdot 10^{-3})^2}{4}\cdot 0{,}007~\text{кг} \approx 7{,}0\cdot 10^{-5}~\text{кг} = 70~\text{мг}.\]

Подсказка

Перемещение лодки относительно воздуха и перемещение лодки относительно земли различаются на перемещение воздуха. Найдите, на какую величину сместился воздух, и разделите на полное время.

Ответ

Вариант 1: \(8{,}6\) м/с; вариант 2: \(9{,}4\) м/с; вариант 3: \(2{,}8\) м/с; вариант 4: \(6{,}2\) м/с.

Решение

Перемещения лодки относительно воздуха: \(l_1 = t_1 v_1 = 2700\) м на восток, \(l_2 = t_2 v_2 = 900\) м на юго-восток, \(l_3 = t_3 v_3 = 450\) м на юго-запад.

Смещение на юг: \(L_Ю = (l_2 + l_3)/\sqrt{2} \approx 955\) м. Смещение на восток: \(L_В = l_1 + (l_2 - l_3)/\sqrt{2} \approx 3018\) м.

Относительно земли лодка сместилась на \(l = 4\) км на юг и \(L = 3{,}5\) км на восток, значит, воздух относительно земли сместился на \((L - L_В)\) на запад и на \((l - L_Ю)\) на север. Модуль перемещения воздуха \[S = \sqrt{(L - L_В)^2 + (l - L_Ю)^2},\] а средняя скорость ветра \[v = \frac{S}{t_1 + t_2 + t_3} = \frac{S}{360~\text{с}} \approx 8{,}6~\text{м/с}.\]

Подсказка

Масса воздуха, проходящего через турбину, одинакова во всех сечениях трубки тока. Полезная мощность равна убыли кинетической энергии воздуха в единицу времени.

Ответ

Вариант 1: \(P \approx 26{,}5\) МВт; вариант 2: \(v_1 - v_2 \approx 4{,}3\) м/с; вариант 3: \(v \approx 10\) м/с; вариант 4: \(r = 100\) м.

Решение

Масса воздуха одинакова в сечениях трубки тока: \(m = \rho V_1 = \rho V = \rho V_2\), или \(m = \rho S_1 v_1 t = \rho S v t = \rho S_2 v_2 t\).

Полезная работа турбины равна убыли кинетической энергии воздуха: \[\Delta E = \frac{m v_1^2}{2} - \frac{m v_2^2}{2} = \frac{m(v_1^2 - v_2^2)}{2}.\]

Мощность турбины с учетом \(S = \pi r^2\) и средней скорости \(v = (v_1 + v_2)/2\): \[P = \frac{\Delta E}{t} = \rho S v\,\frac{v_1^2 - v_2^2}{2} = \rho S v\,(v_1 - v_2)\,\frac{v_1 + v_2}{2} = \rho S v^2 (v_1 - v_2).\]

Подставляя \(S = \pi r^2 \approx 3{,}6\cdot 10^4\) м\(^2\), \(v = 10\) м/с, \(v_1 - v_2 = 6\) м/с, \(\rho = 1{,}23\) кг/м\(^3\), получаем \(P \approx 26{,}5\) МВт.

Подсказка

Из первых двух смесей найдите отношения теплоемкостей жидкостей, затем используйте их в третьем уравнении теплового баланса.

Ответ

Вариант 1: \(32{,}6\,^\circ\text{C}\); вариант 2: \(21{,}4\,^\circ\text{C}\); вариант 3: \(16\,^\circ\text{C}\); вариант 4: \(4{,}4\,^\circ\text{C}\).

Решение

Первая смесь: \(m c_1 (20 - 5) = m c_2 (20 - 18)\), откуда \(c_2 = 2{,}5\,c_1\).

Вторая смесь: \(m c_2 (32 - 20) = m c_3 (40 - 32)\), откуда \(c_3 = 1{,}5\,c_2 = 3{,}75\,c_1\).

Третья смесь с равным количеством первой и третьей жидкостей, равновесная температура \(T\): \(c_1 (T - 5) = c_3 (40 - T)\), откуда \(T \approx 32{,}6\,^\circ\text{C}\).