«Бельчонок», 2024/25, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Запишите частоту как степенной одночлен \(\omega = A\sigma^\alpha\rho^\beta r^\gamma\) и найдите показатели по размерностям.

Ответ

Период увеличивается в \(2^{3/2} \approx 2{,}8\) раза.

Решение

Запишем зависимость \(\omega = A\sigma^\alpha\rho^\beta r^\gamma\). Размерности: \([\omega] = \text{с}^{-1}\), \([\sigma] = \text{кг}\cdot\text{с}^{-2}\), \([\rho] = \text{кг}\cdot\text{м}^{-3}\), \([r] = \text{м}\). Приравнивая показатели степеней, получаем систему \(-2\alpha = -1\), \(\alpha + \beta = 0\), \(-3\beta + \gamma = 0\), откуда \(\alpha = 1/2\), \(\beta = -1/2\), \(\gamma = -3/2\): \[\omega = A\sqrt{\frac{\sigma}{\rho r^3}}.\] Поскольку \(\omega = 2\pi/T\), получаем \(T \propto r^{3/2}\) и \[\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{3/2} = 2^{3/2} \approx 2{,}83.\]

Подсказка

Масса воды в ведре меняется линейно с высотой, поэтому натяжение веревки можно усреднить и воспользоваться работой или моментами сил на вороте.

Ответ

\(F \approx 15{,}7\) Н.

Решение

Сила натяжения веревки \(T\) одинакова для ведра и ворота. По второму закону Ньютона \(T' = (m_{вд} + m_в)g\), где масса воды меняется линейно от \(\rho V\) в начале до \(\gamma\rho V\) в конце. Среднее натяжение \[T_{ср} = \left(m_{вд} + \frac{(1+\gamma)\rho V}{2}\right) g.\] Работа человека за число оборотов \(n\) ворота равна работе подъёма: \(F\cdot 2\pi R\,n = T_{ср}\,H\), а \(H = 2\pi r\,n\). Отсюда \(FR = T_{ср}\,r\), и \[F = \frac{\left(m_{вд} + \frac{(1+\gamma)\rho V}{2}\right) g\, r}{R} = \frac{(1{,}2 + 1{,}4\cdot 6)\cdot 9{,}8\cdot 0{,}1}{0{,}6} \approx 15{,}7~\text{Н}.\]

Подсказка

Отверстия работают как камера-обскура: диаметр светового круга на земле связан и с угловым размером Солнца, и с размером пятна, а расстояние до пятна равно \(H/\sin\varphi\).

Ответ

\(\beta \approx 9{,}28\cdot 10^{-3}\) рад.

Решение

Расстояние от вершины дерева до светового пятна \(r = H/\sin\varphi\). Диаметр светового круга \(d \approx r\beta = \dfrac{H}{\sin\varphi}\beta\). С другой стороны, диаметр круга на земле связан с большой полуосью пятна \(d = a\sin\varphi\). Приравнивая, \[\beta = \frac{a\sin^2\varphi}{H} \approx \frac{0{,}132\cdot 0{,}703}{10} \approx 9{,}28\cdot 10^{-3}~\text{рад}.\]

Подсказка

Потери пропорциональны разности температур жидкости и окружающей среды. Наклон касательной к графику пропорционален мощности, идущей на нагрев, и сравните наклоны в начале и на второй минуте.

Ответ

Доля потерь в момент \(t = 2\) мин: \(\approx 55\%\) (\(P_п \approx 0{,}55\,P_0\)); масса жидкости \(m \approx 1{,}1\) кг.

Решение

Уравнение теплового баланса: \(P_0\,\Delta t = cm\,\Delta T + \alpha(T - T_0)\Delta t\), где \(P_0\Delta t\) — подведенная энергия, \(cm\,\Delta T\) — нагрев жидкости, \(\alpha(T - T_0)\Delta t\) — потери.

Наклон графика \(k = \Delta T/\Delta t\) пропорционален мощности нагрева: \(P = cm\,k\). В начале, когда потери малы, график линейный, и наклон \(k_0 = 40/90\) град/с \(\approx 0{,}44\) град/с (касательная в начальный момент). На второй минуте, по касательной в точке \(t = 2\) мин, наклон \(k_1 \approx 12\) град/мин \(= 0{,}2\) град/с.

Отношение мощностей нагрева: \(P_1/P_0 = k_1/k_0 \approx 0{,}45\), значит потери в этот момент \(P_п = P_0 - P_1 \approx 0{,}55\,P_0\).

Масса жидкости: \(m = \dfrac{P_0}{c\,k_0} = \dfrac{1200}{2400\cdot 0{,}44} \approx 1{,}1\) кг.

Подсказка

Поскольку \(U_{1,2} = U_{2,3}\), сопротивления \(R_1\) и \(R_2\) равны. Вольтметр Бельчонка учитывает собственное сопротивление амперметра, поэтому показания при подключении к разным контактам различаются.

Ответ

\(R_A = 2\) Ом; \(R_1 = R_2 = 6\) Ом; при подключении к контактам \(1,2\) прибор показывал \(12\) В.

Решение

Так как \(U_{1,2}\) и \(U_{2,3}\) равны, то \(R_1 = R_2\).

При подключении к контактам \(1,3\) прибор показывает \(U_{1,3} = I'_A R\), где \(I'_A\) — ток через амперметр. Действительное напряжение на верхней ветви \(U_0 = I'_A(R_A + R)\), откуда \[R_A = R\left(\frac{U_0}{U_{1,3}} - 1\right) = 2~\text{Ом}.\] Ток через амперметр \(I'_A = U_{1,3}/R = 3\) А. Из баланса токов в цепи получаем \(R_1 = \dfrac{U_0 R}{2U_{1,3}} = 6\) Ом и \(R_2 = R_1 = 6\) Ом.

При подключении к контактам \(1,2\) вольтметр (амперметр с \(R\)) включен параллельно \(R_1\): \(R_{1,2} = \dfrac{(R_A + R)R_1}{R_A + R + R_1} = 4\) Ом. Действительное напряжение на \(R_{1,2}\) с учетом \(R_2\): \[U_{1,2}^{д} = \frac{U_0 R_{1,2}}{R_{1,2} + R_2} = \frac{36\cdot 4}{4 + 6} = 14{,}4~\text{В}.\] Ток через ветку вольтметра \(I_A = U^д_{1,2}/(R_A + R) = 1{,}2\) А, и прибор показывает \[U_{1,2} = I_A R = 12~\text{В}.\]