Белорусская, 1990/91, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Перейди в систему отсчёта второго автомобиля: пока первый на плохой дороге, а второй ещё нет, расстояние между ними меняется с известной относительной скоростью. Построй график расстояния от времени.

Ответ

\(S=l\).

Решение

10-1. С этим явлением каждый, наверняка, встречался в жизни, более того: оно иногда служит причиной аварийных ситуаций (для водителей, плохо знающих кинематику). Предположим, что мы сидим во втором автомобиле. Относительно нас впереди идущий автомобиль будет приближаться, въехав на “плохую” дорогу, затем остановиться (когда мы въедем на плохую дорогу) и, наконец, начнет восстанавливать прежнюю дистанцию, первым выехав на хорошую дорогу. Сказанное достаточно наглядно можно проиллюстрировать графиком зависимости относительного расстояния между автомобилями от времени:

\(t_1\) — момент времени въезда 1-го автомобиля на плохую дорогу, \(t_2\) — второго, \(t_3\) — время въезда первого на хорошую и \(t_4\) — второго.

Следовательно, искомый путь равен:

\[S = 2(d_0 - d_1), \, d_0 = l.\tag{1}\]

а \(d_1\) легко определим следующим образом

\[d _ { 1 } = d _ { 0 } - \left( v - \frac { v } { 2 } \right) \frac { l } { v } = d _ { 0 } - \frac { l } { 2 } .\tag{2}\]

Из (1)-(2) находим

\[S = l .\]

Следует заметить, что мы считаем автомобили материальными точками, что не совсем корректно. Например, если \(\frac{S}{2}\) больше длины автомобиля, и просвета между ними нет, таким образом автомобили столкнуться (Соблюдай дистанцию!). Приведенное решение предполагает, что длина автомобиля много меньше \(l\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сначала найди осадку плота с человеком в центре. При смещении человека плот наклоняется; приравняй к нулю сумму моментов сил: веса человека и сил Архимеда и тяжести на «клиньях» погружённого объёма.

Ответ

\(x\approx 0{,}6\) м (по решению организаторов).

Решение

10-2. Обозначим через \(h\) высоту поверхности плота с человеком над водой. Когда человек находиться в центре плота условие равновесия плота выглядит следующим образом:

\[a^2(d-h)\rho_0 g = mg + a^2 d\rho g;\]

\[h = 0{,}01 \text{ м};\]

\[\Delta V = a^2 h = 0{,}04 \text{ м}^3.\]

Если человек сместится на \(x\) параллельно ребру плота, и один край плота коснулся воды, таким образом другой поднялся на \(2h\). При равновесии сумма моментов всех сил относительно центра тяжести плота должна быть равна нулю. Это, кроме веса человека \(m\vec{g}\), силы \(F_1\) и \(F_2\), точки приложения которых расположены на расстоянии трети высоты треугольников (точки \(A_1\) и \(A_2\) соответственно). Эти силы равны

\[F _ { 1 } = \rho _ { 0 } \Delta V g , \; F _ { 2 } = \rho \Delta V g .\]

Правило моментов дает

\[F _ { 1 } \frac { a \cos \alpha } { 6 } + F _ { 2 } \frac { a \cos \alpha } { 6 } = m g x \cos \alpha .\]

Откуда

\[x = \frac{(\rho + \rho_0) \Delta V a}{3 m} = 0{,}6 \text{ м}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Давление газа линейно растёт с объёмом (пружина), поэтому работа газа равна произведению изменения объёма на среднее давление. Дальше — первое начало термодинамики.

Ответ

\(\Delta Q=\dfrac R2\Big[3(T_1-T_0)+\dfrac{\eta-1}{\eta}(\eta T_0+T_1)\Big]\approx 1520\) Дж.

Решение

10-3. Запишем первое начало термодинамики

\[\Delta Q = \Delta U + A ,\tag{1}\]

где \(\Delta Q\) — количество теплоты, сообщенное газу, \(\Delta U\) — изменение его внутренней энергии, \(A\) — совершенная газом работа.

\[\Delta U = \frac{3}{2} R (T_1 - T_0).\tag{2}\]

\[A = \sum_i P_i \Delta V_i = \sum_i (P_0 + \alpha V_i) \Delta V_i =\]

\[= (\eta - 1) V \frac{P_1 + P_2}{2} = \frac{R}{2\eta} (\eta - 1)(\eta T_0 + T_1)\tag{3}\]

И с учетом (2) и (3)

\[\Delta Q = \frac{R}{2} \left[ 3(T_1 - T_0) + \frac{\eta - 1}{\eta} (\eta T_0 + T_1) \right] = 1520 \text{ Дж.}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сумма трёх сил (проекция силы тяжести, трение, сила Кулона) равна нулю. Силы трения образуют окружность возможных векторов; максимальный угол соответствует касанию этой окружности вектором силы Кулона.

Ответ

\(\beta\le\arcsin(\mu\operatorname{ctg}\alpha)\).

Решение

10-4. Заметим, что искомый угол \(\beta\) – это угол между прямыми, которым принадлежат вектор \(\vec{F}_k\) (силы Кулона) и проекция \(m\vec{g}\) на наклонную плоскость.

Допустим, шайба находится в состоянии равновесия. Сумма сил, действующих на нее при этом, должна быть равна нулю. Для построения треугольника поступим следующим образом. Отложим постоянную компоненту \(mg \sin \alpha\) первой, так как она не меняется при любых положениях шайбы. Теперь от конца вектора \(mg \sin \alpha\) мы должны отложить вектор силы трения. Подчеркнем, что значение \(\vert \vec{F}_{\text{тр}}\vert = \mu mg \cos \alpha\), а направление его может быть любым, то есть множество концов всевозможных векторов \(\vec{F}_{\text{тр}}\) образуют окружность. Вектор \(\vec{F}_k\) должен замкнуть треугольник сил (иначе силы не уравновесят друг друга). Мысленно вращая \(\vec{F}_{\text{тр}}\), видим, что максимальный угол реализуется в случае касания \(\vec{F}_k\) окружности сил трения (в точке C), то есть

\[\sin \beta = \frac{\mu mg \cos \alpha}{mg \sin \alpha} = \mu \operatorname{ctg} \alpha ,\]

следовательно,

\[\beta \leq \arcsin (\mu \operatorname{ctg} \alpha) .\]

Пользуясь изложенным подходом, можете попробовать определить вид области “покоя” шайбы на наклонной плоскости. (На границе области \(\vec{F}_{k}\) будет направлен вдоль проекции силы тяжести на наклонную плоскость).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.