Белорусская, 1991/92, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Разбейте диск на тонкие кольца, а кольца — на дуги; воспользуйтесь симметрией, чтобы найти направление равнодействующей сил трения, и просуммируйте проекции.

Ответ

\(a=g\,\dfrac{\mu_1-\mu_2}{\pi}\), ускорение направлено вдоль границы раздела.

Решение

10-1. Для корректного учета действия элементарных сил трения разделим диск (мысленно) на тонкие кольца и рассмотрим одно из них. В свою очередь рассечем кольцо на малые дуги и рассмотрим симметричную относительно оси \(OX\) пару \(\Delta l_{i}\) и \(\Delta l_{j}\). Сумма \(\vec{F}_{i} + \vec{F}_{j}\) сил трения, вследствие симметрии, параллельна оси \(OY\), что говорит о том, что равнодействующая всех сил трения также будет параллельна этой оси. Следовательно,

ускорение центра диска будет направлено вдоль границы раздела полуплоскостей вдоль оси \(OY\). Для определения его величины найдем сумму

\[\sum_{i} F_{i} \sin \alpha_{i} = \mu_{1} \rho g \sum_{i} \Delta l_{i} \sin \alpha_{i} = \mu_{1} \rho g 2 R_{k},\tag{1}\]

где \(\mu_{l}\) — соответствующий коэффициент трения, \(\rho = \frac{m_{k}}{2 \pi R_{k}}\) — линейная плотность рассматриваемого кольца, которая представляет собой сумму элементов кольца, принадлежащих левой полуплоскости. Для всего кольца

\[\sum_{i} F_{i} \sin \alpha_{i} = m_{k} g \frac{\mu_{1} - \mu_{2}}{\pi} = F^{k}.\tag{2}\]

Суммируя по всем кольцам

\[\sum_{k} F^{k} = m g \frac{\mu_{1} - \mu_{2}}{\pi},\tag{3}\]

где \(m\) — масса диска. Формула (3) дает выражение для равнодействующей всех сил трения, действующих на диск. Для ускорения имеем

\[a = g \frac{\mu_{1} - \mu_{2}}{\pi}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Поле у поверхности шара создают все заряды вместе; на саму пластинку действует поле без её собственного вклада, то есть половина поля у поверхности.

Ответ

\(a=\dfrac{Q^2S}{32\pi^2\varepsilon_0 mR^4}\); диэлектрическая проницаемость пластилина в ответ не входит.

Решение

10-2. Оторвавшаяся пластинка находится в электрическом поле напряженности

\[E = \frac{E_{0}}{2} = \frac{Q}{8 \pi \varepsilon_{0} R^{2}},\]

где \(Q, R\) — заряд и радиус шарика, \(E_{0}\) — поле целого шарика (мы учли поле самой пластинки). Следовательно, ускорение оторвавшейся пластинки будет направлено по радиусу от центра шара и равно

\[a = \frac{F}{m} = \frac{Q' E}{m} = \frac{Q^{2} S}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0} m R^{4}},\]

где учтено, что заряд пластинки \(Q' = \frac{S}{4 \pi R^{2}} Q\).

Диэлектрическая проницаемость пластилина в ответ не входит.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

При \(n=2\) шар собирает узкий пучок в точке на задней поверхности; размер пятна определяют лучи, идущие под наибольшим углом.

Ответ

\(a=(l-R)\dfrac{r}{R}=2\) см.

Решение

10-3. Цифры в задаче подобраны так, что после преломления лучи собираются в точке \(A\). При этом радиус пятна на экране определится лучами, образующими максимальный угол с центральным непреломляющимся лучом. Угол падения в точку \(A\) соответствующего луча \(\alpha_m = \frac{r}{2R}\), после преломления (на выходе из шара) он удваивается (\(n=2\)), \(\beta_m = \frac{r}{R}\).

Таким образом

\[a = (l - R) \frac{r}{R} = 2 \text{ см}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Токи в параллельных ветвях делятся обратно пропорционально сопротивлениям; переберите, какой из предохранителей перегорит первым и выдержит ли второй всю нагрузку.

Ответ

а) при \(\dfrac{I_2}{I_1}<\dfrac{R_1}{R_1+R_2}\) — \(I_1\);  б) при \(\dfrac{R_1}{R_1+R_2}<\dfrac{I_2}{I_1}<\dfrac{R_1}{R_2}\) — \(I_2\dfrac{R_1+R_2}{R_1}\);  в) при \(\dfrac{R_1}{R_2}<\dfrac{I_2}{I_1}<\dfrac{R_1}{R_2}+1\) — \(I_1\dfrac{R_1+R_2}{R_2}\);  г) при \(\dfrac{I_2}{I_1}>\dfrac{R_1}{R_2}+1\) — \(I_2\).

Решение

10-4. Обозначим силу тока через первый предохранитель \(i_1\), а через второй - \(i_2\). Так как предохранители соединены параллельно, то

\[\begin{aligned} i_1 + i_2 &= I \\ i_1 R_1 &= i_2 R_2 \end{aligned}\]

где \(I\) - сила тока в общей цепи. Из данной системы легко найти

\[i_1 = I \frac{R_2}{R_1 + R_2}, \quad i_2 = I \frac{R_1}{R_1 + R_2}.\]

Далее необходимо проанализировать возможные варианты: какой из предохранителей перегорит при возрастании тока во внешней цепи раньше и перегорит ли после этого второй (смотри аналогичную задачу 9.2 олимпиады 1990 года). Такой анализ приводит к результату

а) при \(\frac{I_2}{I_1} < \frac{R_1}{R_1 + R_2}\) предельное значение силы тока равно \(I_1\);

б) при \(\frac{R_1}{R_1 + R_2} < \frac{I_2}{I_1} < \frac{R_1}{R_2}\) предельное значение - \(I_2 \frac{R_1 + R_2}{R_1}\);

в) при \(\frac{R_1}{R_2} < \frac{I_2}{I_1} < \frac{R_1}{R_2} + 1\) предельное значение - \(I_1 \frac{R_1 + R_2}{R_2}\);

г) при \(\frac{I_2}{I_1} > \frac{R_1}{R_2} + 1\) предельное значение - \(I_2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Давление газа пропорционально объёму, поэтому работа газа выражается через изменение температуры: найдите её из уравнения состояния.

Ответ

\(C=2R\approx16{,}6\) Дж/(моль\(\cdot\)К).

Решение

10-5. С учетом 1-го начала термодинамики имеем

\[\Delta Q = \Delta U + A,\tag{1}\]

где \(\Delta U = \frac{3}{2} R \Delta T\) — изменение внутренней энергии газа, \(A\) — работа по деформированию пружины, \(\Delta Q\) — количество теплоты, сообщаемое системе. При малом изменении объема работа вычисляется по формуле

\[\Delta A = P \Delta V = \frac{k V \Delta V}{S^2},\tag{2}\]

где \(P = kV\). Суммируя, получим

\[A = \sum P_i \Delta V_i = \frac{k}{S^2} \frac{V_2^2 - V_1^2}{2}\]

Из уравнения состояния:

\[PV = RT \Rightarrow \frac{k}{S^2} V^2 = RT.\tag{3}\]

Из (1)-(3) получаем:

\[\Delta Q = \frac{3}{2} R \Delta T + \frac{R \Delta T}{2} = 2 R \Delta T \Rightarrow C = \frac{\Delta Q}{\Delta T} = 2R = 16{,}6 \text{ Дж / моль}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.