Белорусская, 1992/93, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур

Подсказка

Нить наматывается на кубик, и шарик движется по дугам в четверть окружности, радиус которых уменьшается на \(a\); скорость по модулю постоянна.

Ответ

\(\tau=\dfrac{\pi l}{4v}\left(\dfrac la+1\right)\approx2{,}0\cdot10^2\) с.

Решение

10-1. Траектория шарика будет представлять набор дуг в четверть окружности, радиусы которых уменьшаются на длину ребра кубика \(a\). Число этих дуг \(N = \frac{l_0}{a} + 1\). Следовательно, длина траектории

\[S = \sum_{k=0}^{N} (l_0 - ka) \frac{\pi}{2}.\]

Используя формулу для суммы членов арифметической прогрессии, получим

\[S = \frac{1}{4} \pi l_0 \left( \frac{l_0}{a} + 1 \right).\]

Из закона сохранения энергии следует, что скорость шарика постоянна, поэтому время движения

\[\tau = \frac { S } { \nu } = \frac { 1 } { 4 } \frac { \pi l _ { o } } { \nu } \bigg ( \frac { l _ { o } } { a } + 1 \bigg ) .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В системе ведра добавьте силу инерции: поверхность воды перпендикулярна эффективной силе тяжести \(\vec g-\vec a\).

Ответ

\(\operatorname{tg}\beta=\mu\), то есть \(\beta=\operatorname{arctg}\mu\).

Решение

10-2. Ускорение ведра, скользящего по наклонной плоскости, определяется формулой

\[a = g ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha )\]

и направлено вдоль наклонной плоскости.

Рассмотрим воду в системе отсчета, связанной с ведром. Естественно, эта система неинерциальная. Можно ввести эффективное ускорение свободного падения \(\vec{g}^* = \vec{g} - \vec{a}\). Поверхность воды перпендикулярна вектору \(\vec{g}^*\) (так как в этой системе вода покоится). Из рисунка следует, что искомый угол \(\beta\) определяется

\[\operatorname{tg}\beta = \frac{g \sin \alpha - a}{g \cos \alpha} = \mu.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Оцените высоту атмосферы как высоту, на которой давление падает в \(e\) раз; ускорение свободного падения возьмите на поверхности астероида.

Ответ

\(T=\dfrac{GM h\mu}{R_{\text{г}}R^2}\), где \(R_{\text{г}}\) — универсальная газовая постоянная, \(R\) — радиус астероида.

Решение

10-3. Прежде всего отметим, что высота атмосферы понятие в некотором смысле условное, так как давление и плотность газа над поверхностью астероида изменяется и стремится к нулю только на бесконечно больших высотах. Однако, оценку толщины слоя газа можно получить из следующих соображений. При изменении высоты на величину \(\Delta h\) давление изменяется на величину

\[\Delta P = -\rho g \Delta h,\tag{1}\]

где \(\rho\) - плотность газа на данной высоте, \(g\) - ускорение свободного падения на данной планете. Плотность газа находится из уравнения состояния, справедливого не только на Земле, но и на любой другой планете

\[\rho = \frac{P \mu}{R T},\tag{2}\]

где \(\mu\) - молярная масса, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - абсолютная температура. Полагая скорость изменения давления с высотой постоянной, найдем из уравнения (1) высоту, на которой давление упадет до нуля (то есть \(\Delta P = -P\))

\[h \approx \frac { R T } { \mu g } \ .\tag{3}\]

Отметим, что для изотермической атмосферы на этой высоте давление уменьшается в \(e = 2{,}71828...\) раз. Полученная оценка высоты аналогична известной оценке времени разряда конденсатора, когда его заряд уменьшается в \(e\) раз. Ускорение свободного падения на поверхности астероида определяется формулой

\[g = G \frac { M } { r ^ { 2 } } \ ,\tag{4}\]

где \(M, r\) - масса и радиус астероида, \(G\) - гравитационная постоянная. Из соотношений (3) и (4) находим

\[T = \frac { G M h \mu } { R r ^ { 2 } } .\]

Конечно необходимо признать, что условие данной задачи может быть воспринято неоднозначно. Подробное обсуждение иных подходов к данной задаче можно найти в рубрике “Одна задача” в журнале “Фокус” №3 за 1993 год.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Поля нитей одинаковы по модулю и лежат в одной плоскости под равными углами друг к другу.

Ответ

\(E=0\).

Решение

10-4. Элементарные рассуждения, основанные на рассмотрении симметрии задачи, приводят к правильному результату: напряженность электрического поля в центре куба равна нулю. Действительно, проведем плоскость через середины заряженных ребер куба \(A_1 A_2 A_3\). Напряженности полей \(\vec{E}_1, \vec{E}_2, \vec{E}_3\), создаваемых каждым ребром, одинаковы по модулю и направлены вдоль перпендикуляров к серединам ребер, поэтому лежат в плоскости \(A_1 A_2 A_3\) и направлены под равными углами друг к другу, следовательно их сумма равна нулю.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Стеклянная пластина кажущимся образом приближает источник: найдите смещение для малых углов; превышение температуры обратно пропорционально квадрату расстояния.

Ответ

\(\Delta T=\Delta T_0\dfrac{l^2}{\left(l-\frac{n-1}{n}d\right)^2}\approx5{,}7\,^\circ C\) — превышение над температурой воздуха; температура пластинки возрастёт на \(\approx1{,}6\,^\circ C\).

Решение

10-5. При установившейся температуре пластинки, количество поступающей световой энергии (которое обратно пропорционально квадрату расстояния от источника) равно количеству энергии, теряемой пластинкой вследствие теплопередачи (которое в свою очередь пропорционально разности температур пластинки и окружающего воздуха). Таким образом, превышение температуры пластинки обратно пропорционально квадрату расстояния до источника

\[\Delta T = \frac{k}{l^2},\]

где \(k\) — несущественный коэффициент пропорциональности.

Стеклянная пластинка “приближает” источник на величину \(\Delta l = \frac{n-1}{n}d\) (на рисунке следует считать углы \(\alpha\) и \(\beta\) малыми). Поэтому

\[\frac{\Delta T}{\Delta T_0} = \frac{l_0^2}{(l_0 - \Delta l)^2},\]

следовательно,

\[\Delta T = \Delta T_0 \frac{l_0^2}{\left(l_0 - \frac{n-1}{n}d\right)^2}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.