Белорусская, 1993/94, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Наилучшая видимость повторяется, когда Меркурий снова оказывается в той же точке относительно линии Земля — Солнце. За это время он успевает сделать на один оборот больше Земли.

Ответ

Период обращения Меркурия \(T\approx 87{,}5\) суток.

Решение

9-1. Так как Меркурий планета, ближайшая к Солнцу, то ее наблюдению с земли мешает солнечный свет. Меркурий может быть виден либо утром, перед восходом Солнца, либо вечером, сразу после заката.

Оптимальные условия наблюдения Меркурия реализуются когда он находится на максимальном угловом удалении от Солнца, т.е. когда угол между направлениями на планету и на Солнце с Землей максимален. Пусть 1 января Земля находится в точке \(E_1\). Тогда Меркурий находится в точке \(M_1\), такой, что прямая \(E_1M_1\) является касательной к орбите Меркурия. К 25 апреля (т.е. через время \(\tau = 115\) суток – учтите, что 1980 год – високосный) Земля сместится в точку \(E_2\), повернувшись вокруг Солнца на угол \(\varphi\), причем

\[\varphi = \frac{2\pi}{T_0} \tau,\tag{1}\]

где \(T_0 = 365\) суток – период обращения Земли вокруг Солнца. За этот же промежуток времени Меркурий сместится в точку \(M_2\), сделав еще один полный оборот вокруг Солнца, т.е. угол поворота Меркурия вокруг Солнца равен \(2\pi + \varphi\), следовательно,

\[2\pi + \varphi = \frac{2\pi}{T} \tau,\tag{2}\]

где \(T\) – искомый период обращения Меркурия. Из уравнений (1) – (2) можно найти

\[T = \frac{\tau T_0}{\tau + T_0} \approx 87{,}5 \text{ суток}.\]

Отметим, что из (1) – (2) можно получить известное в астрономии соотношение между сидерическим (истинным) \(T\) и синодическим (наблюдаемым) \(\tau\) периодом обращения

\[\frac{1}{T} = \frac{1}{\tau} + \frac{1}{T_0}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Ток через лампу и резистор один и тот же, а напряжения складываются. Выразите напряжение на лампе через ток и получите квадратное уравнение.

Ответ

\(I=\dfrac{\left(\sqrt{1+4bRU_0}-1\right)^2}{4bR^2}\).

Решение

9-2. Так как резистор и лампа включены в цепь последовательно, то сумма падений напряжения на лампе \(U\) и резисторе \(U_R = IR\) равна напряжению источника \(U_0\):

\[U _ { 0 } = U + I R \, .\]

Кроме того, сила тока одинакова во всех элементах цепи, поэтому ток \(I = b U ^ { 2 }\) (по условию) будет течь и через резистор. Таким образом, получили уравнение относительно напряжения \(U\) на лампе

\[U _ { 0 } = U + b R U ^ { 2 } \, ,\]

которое имеет два корня

\[U = \frac { - 1 \pm \sqrt { 1 + 4 b R U _ { 0 } } } { 2 b R } \, .\]

Отрицательный корень следует отбросить, так как газоразрядная лампа не может служить источником напряжения. Окончательно получим значение силы тока

\[I = b U ^ { 2 } = \frac { \left( \sqrt { 1 + 4 b R U _ { 0 } } - 1 \right) ^ { 2 } } { 4 b R ^ { 2 } } \, .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Термометр показал не 100 °C, значит, его теплоёмкость нельзя считать нулевой. Запишите баланс теплоты для обоих измерений и исключите теплоёмкость термометра.

Ответ

\(t_x\approx 21{,}1\,^\circ\text{C}\).

Решение

9-3. Во второй калориметр Федя залил кипящую воду, т.е. ее температура \(t _ { 2 } = 1 0 0 ^ { \circ } C\). Так как при измерении термометр показал температуру \(t _ { 1 } = 9 9 { , } 2 ^ { \circ } C\), то следует утверждать, что сам термометр имеет теплоемкость \(C _ { T }\), пренебречь которой нельзя. Запишем уравнение теплового баланса для первого измерения: вода отдала термометру количество теплоты \(Q = c m ( t _ { 2 } - t _ { 1 } )\) (где \(c\) — удельная теплоемкость воды, \(m\) — ее масса), столько же получил термометр \(Q = C _ { T } ( t _ { 1 } - t _ { k } )\), поэтому

\[c m ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) = C _ { T } ( t _ { 1 } - t _ { k } ) .\tag{1}\]

Обозначим \(t _ { x }\) — температура, которая установится в первом калориметре, после опускания в него горячего термометра. Рассуждая аналогично, можно записать уравнение теплового баланса во втором случае

\[c m ( t _ { x } - t _ { k } ) = C _ { T } ( t _ { 1 } - t _ { x } ) .\tag{2}\]

Решая совместно (1) — (2) получим

\[t _ { x } = \frac { t _ { 1 } ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) + t _ { k } ( t _ { 1 } - t _ { k } ) } { t _ { 2 } - t _ { k } } \approx 2 1 { , } 1 ^ { 0 } C \ .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Стекло «собирает» капли из параллелепипеда длиной \(Vt\) и сообщает им скорость \(V\). Массу капель в единице объёма найдите из того, сколько воды набирается в подставленном сосуде.

Ответ

\(P=\dfrac{\rho h}{u}V^2\).

Решение

9-4. Капли, падающие на лобовое стекло автомобиля, имеют нулевую горизонтальную составляющую скорости, а затем приобретают скорость \(V\), равную скорости автомобиля. Следовательно, автомобиль сообщает каплям некоторый импульс, т.е. действует на них с некоторой силой, равной (по третьему закону Ньютона) силе, с которой капли действуют на автомобиль. Пусть масса воды, капавшей на лобовое стекло за время \(t\), равна \(m\); тогда импульс, сообщенный ей равен \(p = mV\), а средняя сила, действующая на стекло,

\[F = \frac{p}{t} = \frac{mV}{t},\tag{1}\]

тогда давление водяных капель

\[P = \frac{mV}{tS},\tag{2}\]

где \(S\) — площадь стекла. Для вычисления \(m\), заметим, что за время \(t\) стекло “соберет” все капли, которые находятся в объеме параллелепипеда с основанием \(S\) и длиной \(Vt\), т.е.

\[m = \lambda SVt,\tag{3}\]

где \(\lambda\) — масса всех капель дождя, находящихся в единице объема.

Для определения \(\lambda\) можно рассуждать следующим образом: пусть за время \(\tau\) в цилиндрическом вертикальном сосуде с площадью основания \(S_0\) уровень воды поднялся на \(h\tau\), тогда ее масса \(m_0 = \rho h \tau S_0\), где \(\rho\) — плотность воды, очевидно, что эта же масса может быть выражена через \(\lambda\) по формуле аналогичной (3)

\[m_0 = \lambda S_0 u \tau,\]

Приравнивая

\[\rho h \tau S_0 = \lambda S_0 \tau u,\]

найдем

\[\lambda = \frac{\rho h}{u}\tag{4}\]

(отметим, что \(h\) — должно измеряться в той же системе единиц, что и остальные параметры задачи). Подставляя (4) в (3), а затем в (2), получим ответ

\[P = \frac{\rho h}{u} V^2.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.