Белорусская, 1994/95, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Трение направлено против скорости проскальзывания. Верхний цилиндр раскручивается, пока составляющая этой скорости, перпендикулярная линии \(OB\), не обратится в нуль.

Ответ

\(n_2=\dfrac{R_1n_1\cos\alpha}{R_2}\).

Решение

9-1. В первый момент после соприкосновения относительная скорость поверхностей цилиндров равна скорости поверхности нижнего цилиндра \(v_1 = 2\pi n_1 R_1\). Нормальная относительно оси \(OB\) составляющая этой скорости, (точнее, силы трения) раскручивает цилиндр. Возникает сила трения за счет разности относительных скоростей. Нормальная составляющая силы трения исчезает, когда относительная скорость \(\vec{v}_{\text{отн.}} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1\) станет параллельна оси \(OB\). Из прямоугольного треугольника скоростей \(v_2 = v_1 \cos \alpha\) или через частоты

\[2\pi n_2 R_2 = 2\pi n_1 R_1 \cos \alpha.\]

Откуда искомая частота

\[n_2 = \frac{R_1 n_1 \cos \alpha}{R_2}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Трения нет, поэтому сохраняется механическая энергия. Скорости шариков связывает нерастяжимость стержня: проекции скоростей его концов на стержень равны.

Ответ

Скорость верхнего шарика \(u=\cos\beta\sqrt{2gl(1-\sin\beta)}\), скорость каждого из нижних \(v=\sin\beta\sqrt{2gl(1-\sin\beta)}\).

Решение

9-2. По условию задачи система находится в вертикальной плоскости, т.е. в плоскости рисунка. Обозначим \(u\) — скорость верхнего шарика (массой \(2m\)), \(v\) — скорость нижних шариков. Ввиду симметричного разъезжания стержней скорости нижних тел, скользящих по плоскости, одинаковы по модулю

\[\vert \vec{v}_1\vert = \vert \vec{v}_2\vert\]

Диссипативные силы отсутствуют, поэтому можно воспользоваться законом сохранения энергии. Будем считать, что значение потенциальной энергии отсчитывается от плоскости основания. Тогда

\[E_{\text{пот.1}} = E_{\text{пот.2}} + E_{\text{кин.2}},\]

где

\[E_{\text{пот.1}} = 2mgl, \, E_{\text{пот.2}} = 2mgl \sin \beta, \, E_{\text{кин.2}} = \frac{2mu^2}{2} + 2\frac{mv^2}{2} = m(u^2 + v^2).\]

Подстановка соотношений для энергий в закон сохранения дает

\[2gl = 2gl \sin \beta + u^2 + v^2.\tag{1}\]

С другой стороны, неизменность длины стержня (по условию стержни жесткие) позволяет записать второе уравнение для проекций скоростей движения тел на направление прямой, проходящей по оси стержня

\[v \cos \beta = u \sin \beta, \Rightarrow v = u \operatorname{tg} \beta.\tag{2}\]

Совместное решение (1), (2) позволяет выразить скорости шариков

\[u = \cos \beta \sqrt{2gl(1 - \sin \beta)}, \, v = \sin \beta \sqrt{2gl(1 - \sin \beta)}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Когда нижний цилиндр коснётся дна, из условия плавания пирамиды найдите её длину; уровень воды вырос из-за вытесненного объёма, его найдите из постоянства объёма жидкости.

Ответ

\(N=\dfrac{R^2\rho h}{(R^2-r^2)\rho_Cl}\), если число целое; иначе — целая часть этого числа плюс один.

Решение

9-3. Пусть длина всей пирамиды, которая коснулась дна, есть \(L\). Запишем условие плавания тел

\[F_{\text{арх}} = mg\]

или

\[(h + \Delta h)\pi r^2 \rho g = \pi r^2 L \rho_c g,\]

где \(\Delta h\) – подъем уровня жидкости, вследствие вытеснения ее цилиндрами. После сокращения получим

\[(h + \Delta h)\rho = L \rho_c.\tag{1}\]

Условие несжимаемости жидкости позволяет написать второе уравнение

\[\pi r^2 h = \pi (R^2 - r^2) \Delta h.\tag{2}\]

из (1) и (2) следует, что

\[L = \frac{R^2}{R^2 - r^2} \cdot \frac{\rho}{\rho_c} h.\]

Теперь совсем просто подсчитать число цилиндров в колонне

\[N = \frac{L}{l},\]

причем, если \(L\) нацело делится на \(l\), то это и будет ответ в задаче. Если же в результате деления мы получаем дробное число, то ответом будет следующее утверждение: число цилиндров равно целой части числа

\[\frac{R^2 \rho h}{(R^2 - r^2) \rho_c l}\]

плюс еще один.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Мощность при подключении к паре граней \(P=U^2/R\), а \(R=\rho_{\text{эл.}}l/S\). Отношения мощностей дают отношения рёбер, а объём находится по массе и плотности.

Ответ

\(c\approx4{,}5\) см, \(b\approx9{,}0\) см, \(a\approx12{,}6\) см.

Решение

9-4. Внешний вид нагревательного элемента приведен на рисунке. Мощность тепловыделения на резисторе

\[P = U^2 / R,\]

где его сопротивление

\[R = \rho_{\text{эл.}} \frac{l}{S}.\]

Здесь \(\rho_{\text{эл.}}\) – удельное сопротивление меди, \(l\) – длина проводника, \(S\) – площадь поперечного сечения. Имеем три различных варианта подключения. Пусть для определенности \(a > b > c\). Тогда

\[P _ { 1 } = P _ { a } = \frac { U ^ { 2 } } { \rho _ { \text{эл.}} a / b c } = \frac { U ^ { 2 } b c } { \rho _ { \text{эл.}} a } , \ P _ { 2 } = P _ { b } = \frac { U ^ { 2 } a c } { \rho _ { \text{эл.}} b } , \ P _ { 3 } = P _ { c } = \frac { U ^ { 2 } a b } { \rho _ { \text{эл.}} c } ,\]

причем

\[P _ { 1 } : P _ { 2 } = \frac { U ^ { 2 } b c } { \rho _ { \text{эл.}} a } : \frac { U ^ { 2 } a c } { \rho _ { \text{эл.}} b } = \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } , \ a = \sqrt { 2 } b ,\]

\[P _ { 2 } : P _ { 3 } = \frac { c ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 } , \ b = 2 c .\]

С другой стороны, нам известен объем всего куска меди

\[V = a b c = \sqrt { 2 } 2 ^ { 2 } c ^ { 3 } = m / \rho .\]

Теперь несложно найти размеры всех сторон

\[c = \sqrt [ 3 ] { \frac { \sqrt { 2 } m } { 8 \rho } } = \sqrt [ 3 ] { \frac { \sqrt { 2 } \cdot 4{,}5 } { 8 \cdot 9 \cdot 1 0 ^ { 3 } } } \approx 4{,}5 \text{ см}, \ b = 2 c = 9{,}0 \text{ см}, \ a = \sqrt { 2 } b \approx 1 2{,}6 \text{ см} .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Теплота, нужная бруску, — это площадь под графиком зависимости \(c(t)\) от \(0\) до \(\theta\). Приравняйте её теплоте, отданной водой, и решите квадратное уравнение.

Ответ

\(\theta\approx26\,^\circ\text{C}\).

Решение

9-5. Задача решается с помощью уравнения теплового баланса. Горячая вода отдает

\[Q _ { \text{отд.}} = m _ { 1 } c _ { 1 } ( t _ { 1 } - \theta )\tag{1}\]

теплоты, где \(\theta\) — окончательная температура в калориметре. Это количество теплоты передается бруску, специфическое свойство которого — зависимость теплоемкости от температуры \(C(t)\), усложняет процедуру расчета. Площадь под графиком зависимости \(C(t)\) равна

\[S _ { O \theta C _ { 1 } C _ { 0 } } = \sum _ { i } C ( t _ { i } ) \Delta t _ { i } ,\]

где \(i\) — определяет номер участка разбиения. С другой стороны, полученное количество теплоты

\[Q _ { \text{пол.}} = \sum _ { i } C ( t _ { i } ) \Delta t _ { i } m _ { 0 } = m _ { 0 } \sum _ { i } C ( t _ { i } ) \Delta t _ { i } .\]

Таким образом,

\[Q _ { \text{пол.}} = m _ { 0 } S _ { O \theta C _ { 1 } C _ { 0 } } .\]

Площадь \(S _ { O \theta C _ { 1 } C _ { 2 } }\) найдем как площадь трапеции

\[S _ { O \theta C _ { 1 } C _ { 2 } } = \frac { C _ { 0 } + C _ { 1 } } { 2 } \cdot \theta = \frac { C _ { 0 } + C _ { 0 } ( 1 + \alpha \theta ) } { 2 } \theta = C _ { 0 } \theta + \frac { \alpha C _ { 0 } \theta ^ { 2 } } { 2 }\]

и, следовательно,

\[Q _ { \text{пол.}} = m _ { 0 } C _ { 0 } \left( \theta + \frac { \alpha \theta ^ { 2 } } { 2 } \right) .\tag{2}\]

Приравнивая (1) и (2), получаем квадратное уравнение относительно \(\theta\).

\[m _ { 0 } C _ { 0 } \frac { \alpha } { 2 } \theta ^ { 2 } + m _ { 0 } C _ { 0 } \theta = m _ { 1 } C _ { 1 } t _ { 1 } - m _ { 1 } C _ { 1 } \theta .\]

В приведенном виде

\[\theta ^ { 2 } + \frac { 2 ( m _ { 0 } C _ { 0 } + m _ { 1 } C _ { 1 } ) } { \alpha m _ { 0 } C _ { 0 } } \theta - \frac { 2 m _ { 1 } C _ { 1 } t _ { 1 } } { \alpha m _ { 0 } C _ { 0 } } = 0 .\]

Это уравнение в числах

\[\theta ^ { 2 } + 4 3 6 \, \theta - 1 2 1 1 5 = 0\]

имеет один из корней

\[\theta \approx 2 6 \ ^ { \circ } \mathrm { C } .\]

Второй корень физического смысла не имеет, он появился как следствие неоправданного использования формулы (2) в области \(\theta < 0\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.