Белорусская, 1995/96, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур

Подсказка

Мысленно отделите линзу от воды тонким воздушным зазором: дополнительное преломление на плоской границе в параксиальном приближении увеличивает расстояние до изображения в \(n\) раз.

Ответ

\(b_1=\dfrac{a a_1 b}{a_1 b+n a(a_1-b)}\).

Решение

11-1. Если с разных сторон линзы находятся среды с различными показателями преломления, то формула линзы

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\tag{1}\]

оказывается неприменимой, более того, фокусы будут находиться на разных расстояниях от линзы. Модифицируем (1) применительно к данной задаче. Для этого предположим, что между линзой и водой находится тонкий воздушный промежуток, на границе которого лучи испытывают дополнительные преломления.

В отсутствие преломляющей границы, изображение находилось бы в точке \(B'\), на расстоянии \(\vert OB'\vert = b'\), для которого (1) справедлива. Дополнительное преломление смещает изображение в точку \(B\) (расстояние \(\vert OB\vert = b\)). Из треугольников \(COB\) и \(COB'\), используя закон преломления, нетрудно получить (в параксиальном приближении)

\[\frac{b}{b'} = n.\]

Тогда (1) можно записать в виде

\[\frac{1}{a} + \frac{n}{b} = \frac{1}{f}.\tag{2}\]

Аналогично, для предмета, находящегося в воде на расстоянии \(a_1\), справедливо выражение

\[\frac{n}{a_1} + \frac{1}{b_1} = \frac{1}{f}.\tag{3}\]

(Заметим: \(f\) в (2), (3) фокусное расстояние для линзы, находящейся в воздухе).

Из (2) и (3) можно найти

\[b_1 = \frac{a a_1 b}{a_1 b + n a (a_1 - b)}.\tag{4}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

При повороте диска на малый угол он приподнимается, и потенциальная энергия пропорциональна массе; момент инерции от груза на оси не меняется.

Ответ

Период уменьшится в \(\sqrt{2}\) раз.

Решение

11-2. При повороте диска на малый угол \(\alpha\) вокруг собственной оси он приподнимается на высоту

\[h \approx l - \sqrt{l^2 - (R\alpha)^2} \approx \frac{R^2\alpha^2}{2l}.\]

Потенциальная энергия при этом увеличивается на

\[\Delta E_n = mg\frac{R^2\alpha^2}{2l}.\]

При вращении диска с угловой скоростью \(\omega\), его кинетическая энергия равна

\[E_k = \frac{J\omega^2}{2},\]

где \(J\) — постоянный коэффициент (момент инерции), зависящий от распределения масс. Закон сохранения энергии при вращательных колебаниях записывается в виде

\[\frac{J\omega^2}{2} + mg\frac{R^2\alpha^2}{2l} = const.\tag{1}\]

Проводя аналогию с колебаниями груза на пружине

\[\frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = const,\tag{2}\]

можно выразить период колебаний диска

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{Jl}{mgR^2}}.\tag{3}\]

Если на диск положить груз, как сказано в условии задачи, то выражение для кинетической энергии (момент инерции \(J\)) не изменится, так как скорость груза, находящегося на оси вращения, равна нулю. Масса же системы увеличится в два раза, следовательно, согласно (3), период колебаний уменьшится в \(\sqrt{2}\) раз.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Скорости и ускорения грузов связаны геометрией нити (разложите движение среднего груза по нити и поперёк неё); скорость среднего груза находится из закона сохранения энергии.

Ответ

\(a=\dfrac{g}{4}\), ускорение среднего груза направлено вверх.

Решение

11-3. Обозначим расстояние между блоками \(2l\). Запишем уравнения второго закона Ньютона для двух грузов

\[\begin{aligned} T - mg &= ma_0, \\ mg - T\sqrt{2} &= ma_1. \end{aligned}\tag{1}\]

(Чтобы не усложнять формулы мы сразу учитываем, что нить изогнута под прямым углом).

Установим связь между величинами ускорений грузов \(a_0\) и \(a_1\). Представим движение центрального груза как суперпозицию двух

движений: вращения вокруг точки О со скоростью \(\vec{v}'_1\) направленной перпендикулярно нити; увеличение радиуса вращения со скоростью \(\vec{v}''_1\), направленной вдоль нити. Очевидно, что \(\vert \vec{v}''_1\vert = v_0\) — скорости бокового груза. Так как, сумма скоростей \(\vec{v}''_1\) и \(\vec{v}'_1\) направлена вертикально вниз (это скорость груза \(\vec{v}_1\)), то \(\vert \vec{v}'_1\vert = \vert \vec{v}''_1\vert = v_0\) и

\[v_1 = v_0 \sqrt{2}.\tag{2}\]

Согласно разложению движения на составляющие, разложим и

ускорение центрального груза. Вращательному движению соответствует центростремительное ускорение \(\vec{a}_{1c}\), направленное вдоль нити (равное \(\frac{v_0^2}{l\sqrt{2}}\)), и тангенциальное \(\vec{a}_{1\tau}\), направленное перпендикулярно нити. Увеличению длины нити соответствует ускорение \(\vec{a}''_1\), направленное вдоль нити и равное по модулю \(a_0\) — ускорению бокового груза. Следовательно, модуль полного ускорения

\[a_1 = \left( a_0 - \frac{v_0^2}{l\sqrt{2}} \right) \sqrt{2}.\tag{3}\]

Заметим, что эти же соотношения между скоростями и ускорениями грузов можно получить с помощью операции дифференцирования. Запишем закон сохранения энергии для того, чтобы выразить скорость центрального груза

\[2 \frac{m v_0^2}{2} + \frac{m v_1^2}{2} = mgl - 2mgl(\sqrt{2} - 1).\tag{4}\]

Решая совместно (2)-(4) можно найти \(a_1 = -\frac{g}{4}\), то есть ускорение направлено вверх.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Сила Ампера на кусочек витка создаётся полем остальных витков, то есть вдвое меньшей индукцией, чем внутри катушки; она уравновешивается силами упругости, действующими на концы кусочка.

Ответ

\(I=\sqrt{\dfrac{\sigma\pi d^3}{2\mu_0 R}}\).

Решение

11-4. Индукция магнитного поля внутри катушки

\[B = \mu_0 n I = \frac{\mu_0 I}{d}.\tag{1}\]

Чтобы исключить “самовоздействие”, при вычислении силы, действующей на участок проволоки, необходимо уменьшить величину индукции в два раза

\[B' = \frac{1}{2} \frac{\mu_0 I}{d}.\tag{2}\]

Мысленно выделим кусочек витка проволоки, видимый из центра под малым углом \(\alpha\). Сила Ампера, действующая на его

\[F_A = I B' \Delta l = \frac{1}{2} \frac{\mu_0 I^2}{d} R \alpha,\tag{3}\]

уравновешивается силами упругости

\[T = \sigma \frac{\pi d^2}{4},\]

(\(\sigma\) — механическое напряжение внутри провода) направленными под небольшими углами \(\frac{\alpha}{2}\) к направлению силы Ампера

\[\frac{1}{2} \frac{\mu_0 I^2}{d} R \alpha = 2 \sigma \frac{\pi d^2}{4} \frac{\alpha}{2}.\tag{4}\]

Полагая \(\sigma\) равным предельному механическому напряжению, из (4) находим

\[I = \sqrt{\frac{\sigma \pi d^3}{2 \mu_0 R}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

При одинаковой теплопроводности температура вдоль составного стержня меняется линейно; удлинение каждого стержня найдите по его средней температуре.

Ответ

\(l=l_1+l_2+\dfrac{L_1-l_1}{T_2-T_1}(T_{\text{ср}1}-T_1)+\dfrac{L_2-l_2}{T_2-T_1}(T_{\text{ср}2}-T_1)\), где \(T_3=\dfrac{T_1l_2+T_2l_1}{l_1+l_2}\), \(T_{\text{ср}1}=\dfrac{T_1+T_3}{2}\), \(T_{\text{ср}2}=\dfrac{T_3+T_2}{2}\).

Решение

11-5. Так как теплопроводности стержней одинаковы, то температура вдоль стержней будет изменяться по линейному закону. Температура точки соединения стержней \(T_3\) может быть найдена из соотношения

\[T_3 = T_1 + \frac{T_2 - T_1}{l_1 + l_2} l_1 = \frac{T_1 l_2 + T_2 l_1}{l_1 + l_2},\tag{1}\]

при выводе которого считается, что удлинения стержней малы. Теперь не трудно вычислить средние температуры стержней

\[T_{\text{ср1}} = \frac{T_1 + T_3}{2}, \quad T_{\text{ср2}} = \frac{T_3 + T_2}{2}.\tag{2}\]

Удлинения стержней пропорциональны изменению температуры

\[\Delta l = k \Delta T,\]

причем коэффициенты пропорциональности следует выразить через приведенные в условии данные

\[k_{1}=\frac{L_{1}-l_{1}}{T_{2}-T_{1}}, k_{2}=\frac{L_{2}-l_{2}}{T_{2}-T_{1}}.\tag{3}\]

Окончательно, получим искомую длину

\[l=l_{1}+k_{1}\left(T_{\text{ср}1}-T_{1}\right)+l_{2}+k_{2}\left(T_{\text{ср}2}-T_{1}\right),\]

где все параметры этого выражения известны.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.