Белорусская, 1995/96, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Сила, с которой газ давит на баллон изнутри, не уравновешена в месте отверстия: она равна давлению, умноженному на площадь отверстия.

Ответ

\(a = \dfrac{ps}{m}-\mu g \approx 8{,}8\text{ м/с}^2\).

Решение

9-1. Задачу будем решать с использованием второго закона Ньютона. В проекции на горизонтальную ось имеем уравнение движения

\[F_1 - F_{\text{тр}} = ma.\tag{1}\]

Силу \(F_1\), являющуюся суперпозицией всех сил давления газа на оболочку, найдем из условия равновесия оболочки без отверстия: \(F_1 = ps\), где \(p\) — давление газа внутри баллона, а \(s\) — площадь отверстия. Сила трения равна \(\mu mg\). Окончательно, ускорение в начальный момент времени равно

\[a = \frac{ps}{m} - \mu g.\tag{2}\]

Подстановка исходных данных дает результат: \(a = 8{,}8\text{ м/с}^2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Мысленно заполните вмятину водой и закройте её крышкой в плоскости дна: тогда вода в вмятине в равновесии, и искомая сила находится из условия равновесия этого объёма.

Ответ

\(F_g \approx 25\text{ Н}\).

Решение

9-2. Для решения задачи воспользуемся приемом дополнения. Заполним “вмятину” водой и закроем ее снизу крышкой, лежащей в плоскости остального дна. Ясно, что система будет в равновесии. Какие силы действуют на полусферу? Во-первых, сила тяжести \(m\vec{g}\), во-вторых, сила реакции дна \(\vec{N}\), равная по модулю силе давления всей жидкости на основании полусфер, в-третьих, это искомая сила \(\vec{F}_g\) давления жидкости на “вмятину”. Имеем:

\[\vec{F}_g + m\vec{g} + \vec{N} = 0.\tag{1}\]

По правилу параллелограмма сила \(\vec{F}_g\) по модулю равна диагонали параллелограмма, построенного на векторах \(m\vec{g}\) и \(\vec{N}\). По теореме косинусов

\[F_g = \sqrt{((mg)^2 + N^2 - 2mgN\cos\alpha)}.\tag{2}\]

Сила тяжести находится просто:

\[mg = \rho Vg = \rho \frac{2}{3} \pi r^3 g.\tag{3}\]

Для вычисления силы реакции опоры \(N\) надо использовать среднее значение давления на круглое основание данного объема.

\[N = \pi r^2 \rho g (h + r).\tag{4}\]

Подставляя эти выражения в формулу (2), получим искомый ответ \(F_g \approx 25\) Н.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Найдите связь между перемещениями грузов через нерастяжимость нити и запишите второй закон Ньютона для каждого груза.

Ответ

\(a_2 = \dfrac{3m_1-m_2}{9m_1+m_2}\,g \approx 3{,}0\text{ м/с}^2\) (груз \(m_2\) поднимается), \(a_1 = 3a_2 \approx 9{,}0\text{ м/с}^2\) (груз \(m_1\) опускается).

Решение

9.3 Обозначим все силы и запишем проекции сил действующих на тела \(m_1\) и \(m_2\) в проекциях на ось x:

\[\begin{cases} m_1 g - T = m_1 a_1 \\ m_2 g - 3T = -m_2 a_2 \end{cases}\tag{1}\]

Два уравнения содержат 3 неизвестные величины, поэтому необходимо еще установить связь между ускорениями первого и второго грузов. Несложно заметить, что подъем груза \(m_2\) на высоту \(\Delta h\) за время \(\Delta t\) приведет к тому, что груз \(m_1\) опуститься на \(3\Delta h\) за это же время, т. е. \(a_1 = 3a_2\). Теперь легко решить систему (1), исключив силу натяжения нити \(T\):

\[a_2 = \frac{3m_1 - m_2}{9m_1 + m_2} g; \ a_1 = 3a_2.\]

Расчет дает: \(a_2 = 9{,}0\) м/с\(^2\), \(a_1 = 3{,}0\) м/с\(^2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В установившемся состоянии мощность нагревателя равна мощности теплоотдачи, пропорциональной разности температур воды и комнаты.

Ответ

\(\dfrac{R_1}{R}=\dfrac{l_1}{l}=\dfrac{t-t_0}{t_1-t_0}\approx 0{,}31\): длину спирали надо уменьшить не менее чем на \(69\%\).

Решение

9-4. Задача взята из практики — попробуйте обычным кипятильником закипятить воду в трехлитровой банке! Итак речь идет о рассеивании тепла в окружающее пространство. В состоянии термодинамического равновесия вся подводимая мощность рассеивается, т. е.

\[\frac{U^2}{R} = k(t - t_0),\tag{1}\]

где \(k\) — некоторый постоянный коэффициент, зависящий от формы и размеров сосуда, свойств окружающей среды. Чтобы нагреть воду до \(t_1 = 100\ ^{\circ}\text{C}\) нужно увеличить мощность подачи тепла в систему. Это означает уменьшить сопротивление

\[\frac{U^2}{R_1} = k(t_1 - t_0).\tag{2}\]

Разделив (1) на (2), получим

\[\frac{R_1}{R} = \frac{t - t_0}{t_1 - t_0}.\tag{3}\]

Поскольку \(R\) пропорционально \(l\), то отношение \(\frac{R_1}{R}\) равно отношению длин проволок. Окончательно,

\[\frac{l_1}{l} = \frac{t - t_0}{t_1 - t_0}\tag{4}\]

или в числах \(\frac{R_1}{R} = 0{,}31\). Следовательно, правильный ответ таков: длину спирали надо уменьшить на \(69\%\) и более, так как на самом деле в (1)-(3) знак

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Площадь под графиком зависимости ускорения от пути равна половине разности квадратов скоростей.

Ответ

\(v=\sqrt{v_0^2+2\bar a S}\approx 6{,}0\text{ м/с}\).

Решение

9-5. Задача решается весьма просто, если обратить внимание, на то, что

площадь под кривой ускорения в зависимости от пути численно равна половине разности квадратов скоростей:

\[aS = \frac{v^2 - v_0^2}{2}.\tag{1}\]

Это очевидно для равноускоренного движения; для переменного движения достаточно разбить весь график на маленькие прямоугольники и просуммировать их площади. Другими словами, если усреднить ускорение по пути (значение \(\bar{a} = 3{,}5\,\text{м}/\text{с}^2\) обозначено на рисунке пунктиром), то из (1) следует окончательное выражение:

\[v = \sqrt{v_0^2 + 2\bar{a}S},\]

численное значение \(v = 6{,}0\,\text{м}/\text{с}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.