Белорусская, 1997/98, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

При параллельном соединении удлинения одинаковы, а силы складываются. Выразите удлинение через массу \(m_1\), которую «держит» резинка, и найдите пересечение полученной прямой с графиком резинки.

Ответ

Искомый график строится графически: для каждой массы \(m\) берётся точка пересечения прямой \(\Delta l=\dfrac{g}{k}(m-m_1)\) с заданным графиком \(\Delta l(m_1)\) для резинки (график — в решении).

Решение

9-1. При параллельном соединении резинки и пружины их удлинения \(\Delta l\) одинаковы, а сумма сил упругости резинки \(F_1\) и пружины \(F_2\) равна весу подвешенного груза:

\[F_1 + F_2 = mg.\tag{1}\]

Учитывая, что деформация пружины подчиняется закону Гука \(F_2 = k\Delta l\), запишем выражение для деформации пружины в виде

\[\Delta l = \frac{mg - F_1}{k}.\tag{2}\]

Зависимость деформации резины от приложенной силы \(\Delta l(F_1)\) задана в виде графика, поэтому деформация системы может быть найдена как решение системы уравнений (2) и представленной зависимости. Однако, величина деформации резины дана в виде функции от массы подвешенного груза, иными словами \(F_1 = m_1 g\), где \(m_1\) - масса, которую «удерживает» резина. Поэтому запишем уравнение (2) в виде зависимости от \(m_1\):

\[\Delta l = \frac{g}{k}(m - m_1).\tag{3}\]

График зависимости \(\Delta l\) от \(m_1\) представляет прямую линию пересекающую ось абсцисс в точке \(m_1 = m\) с коэффициентом наклона \(g/k\), а решение системы есть точка пересечения данной прямой с графиком зависимости деформации резины от массы прикрепленного груза.

Проведя семейство прямых, подчиняющихся уравнению (3), для различных значений \(m\), получим искомый набор значений деформаций системы «резинка-пружина». График такой зависимости представлен на рисунке.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Точка отражения \(C\) лежит на биссектрисе угла \(SOA\): соедините центр сферы с серединой отрезка \(SA_i\).

Ответ

Продолжения отражённых лучей не пересекаются в одной точке, точечного изображения шар не даёт; но глаз видит изображение источника, так как оно формируется очень узким пучком лучей.

Решение

9-2. Для построения хода лучей необходимо воспользоваться законом отражения света : угол падения равен углу отражения.

Рассмотрим, например построение искомого луча для точки \(A_2\). Для этого необходимо найти на сфере такую точку \(C\), чтобы угол \(SCB\) был равен углу \(BCA_2\), где \(BC\) - продолжение радиуса, проведенного в точку \(C\). Такое построение очевидно - соединим точки \(A_2\) и \(S\), середину отрезка \(SA_2\) (точку \(B\)) соединим с центром сферы, точка пересечения этого отрезка со сферой и будет искомая точка \(C\). Аналогично можно построить и остальные требуемые лучи.

Как видно, действительно, продолжения этих лучей не пересекаются в одной точке. Следовательно, сфера не формирует точечного изображения точечного источника. Тем не менее, это не означает, что в сфере нельзя увидеть четкого изображения источника. Но изображение, видимое глазом, формируется очень узким пучком лучей, которые пересекаются в очень узкой области, которая и является практически точечным изображением источника.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Найдите полный ток по закону Ома и заметьте, что шесть рёбер, одинаково удалённых от контактов, равноправны.

Ответ

\(I_{AB}=I/6=1{,}0\text{ А}\) (полный ток \(I=6{,}0\text{ А}\)).

Решение

9-3. По закону Ома сила полного тока, протекающего через куб равна

\[I = \frac{U}{R} = \frac{60\text{В}}{10\text{Ом}} = 6{,}0\text{А}.\]

Рассмотрим теперь замкнутый контур \(ABGHEDA\), состоящий из шести равноправных ребер (каждое отстоит от точки \(C\) на расстоянии одной грани). Силы токов, пересекающих каждое из этих ребер равны, следовательно, сила тока, пересекающего ребро \(AB\), равна \(I/6 = 1{,}0\text{А}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Минимальная работа равна изменению потенциальной энергии системы «цилиндр + жидкость»; жидкость после удаления цилиндра ляжет слоем известной толщины.

Ответ

\(A=\dfrac{4-\pi}{2}R^3Lg\left(\pi\rho-\left(2+\dfrac{\pi}{2}\right)\rho_0\right)\).

Решение

9-4. Минимальную работу в данном случае легко подсчитать как изменение потенциальной энергии системы. Объем воды в сосуде

\[V = 4R^2L - \pi R^2L;\]

после того как цилиндр достанут из воды вода заполнит дно сосуда слоем толщиной

\[h = \frac{V}{2RL} = (2 - \frac{\pi}{2})R.\]

Следовательно, на такую же высоту необходимо поднять цилиндр. Изменение его потенциальной энергии при этом

\[\Delta U_1 = mgh = \pi R^3L\rho g(2 - \frac{\pi}{2}).\]

Потенциальная энергия воды уменьшится на величину

\[\Delta U_2 = (4 - \pi)R^2L\rho_0g(R - \frac{h}{2}) = (4 - \pi)R^3L\rho_0g(1 + \frac{\pi}{4}),\]

при записи этого соотношения учтено, что первоначально центр тяжести воды находился на высоте \(R\), а затем оказался на высоте \(\frac{h}{2}\). Таким образом, полное изменение энергии (следовательно, и необходимая работа) рассчитываются по формуле

\[A = \Delta U = \Delta U_1 - \Delta U_2 = \frac{4 - \pi}{2}R^3Lg(\pi\rho - (2 + \frac{\pi}{2})\rho_0).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для малого участка верёвки вдоль её направления и сложите уравнения для всех участков: натяжения внутри верёвки сократятся.

Ответ

\(a=\dfrac{F}{m}-\dfrac{h}{L}\,g\).

Решение

9-5. Рассмотрим силы, действующие на небольшой участок веревки длиной \(\Delta l_i\) - сила тяжести \(\Delta m_i\vec{g}\), и натяжения веревки с двух сторон от выделенного участка \(\vec{T}_{1i}\) и \(\vec{T}_{2i}\). Запишем уравнение второго закона Ньютона для выделенного кусочка в проекции на направление самого участка (на рисунке обозначена ось \(x\)):

\[\Delta m_ia = T_{2i} - T_{1i} - \Delta m_ig\cos\alpha_i,\]

Выразим массу кусочка \(\Delta m_i = \frac{m}{L}\Delta l_i\) и подставим в полученное уравнение

\[\frac{m}{L}\Delta l_ia = T_{2i} - T_{1i} - \frac{mg}{L}\Delta l_i\cos\alpha_i,\]

где \(a\) - ускорение веревки.

Просуммируем уравнения, относящиеся ко всем участкам веревки. Учтем, что силы натяжения отдельных участков встречаются дважды, причем с различными знаками, поэтому их сумма для всех внутренних участков обратится в нуль, останется только сила натяжения одного из концов веревки (то есть \(F\)). Очевидно, что сумма длин \(\Delta l_i\) равна длине веревки \(L\); величина \(\Delta l_i \cos \alpha_i = \Delta h_i\) есть разность высот концов выделенного участка, поэтому сумма этих величин равна \(h\). Таким образом, после суммирования получим

\[ma = F - \frac{h}{L} mg.\]

Откуда находим ускорение

\[a = \frac{F}{m} - \frac{h}{L} g.\]

Данная задача может быть также легко решена с использованием энергетического подхода. Пусть за время \(\Delta t\) веревка сместилась на расстояние \(\Delta x\), тогда сила \(F\) совершила работу \(A = F \Delta x\), которая пошла на увеличение кинетической \(\Delta E_{\text{кин.}} = \Delta \left( \frac{mv^2}{2} \right) = mv \Delta v\) и потенциальной энергии \(\Delta E_{\text{пот.}} = m \frac{\Delta x}{L} gh\) веревки. Таким образом,

\[F \Delta x = mv \Delta v + m \frac{\Delta x}{L} gh.\]

Разделим это уравнение на \(\Delta t\) (с учетом \(\frac{\Delta x}{\Delta t} = v, \frac{\Delta v}{\Delta t} = a\)) и сократим на \(v\), получим

\[F = ma + \frac{h}{L} mg,\]

откуда следует ответ задачи.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.