Белорусская, 1998/99, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур

Подсказка

Мощность тока равна сумме механической мощности и тепловых потерь; полезная мощность максимальна при \(I=U/(2R)\), и это соответствует максимальной скорости.

Ответ

\(I=600\text{ А}\) (второй корень, \(32\text{ А}\), отвечает нереально малой мощности).

Решение

11-1. Мощность тока в цепи двигателя \(IU\) (\(I\) — сила тока в цепи двигателя, \(U\) — напряжение контактной цепи) равна сумме механической мощности \(\beta v^2\) (\(v\) — скорость движения трамвая, \(\beta v\) — сила сопротивления), затрачиваемой на преодоление сил сопротивления, и мощности джоулевых тепловых потерь \(I^2 R\) (\(R\) — полное электрическое сопротивление цепи двигателя):

\[IU = \beta v^2 + I^2 R.\tag{1}\]

Заметим, что слагаемое \(\beta v^2\) равно произведению силы тока на ЭДС индукции, возникающей в якоре электродвигателя при его вращении.

Выразим полезную мощность \(P = \beta v^2\) из уравнения (1):

\[\beta v^2 = IU - I^2 R.\tag{2}\]

Из вида зависимости \(P(I)\) следует, что полезная мощность достигает максимального значения при \(I = \dfrac{U}{2R}\), причем \(P_{\text{max}} = \dfrac{U^2}{4R}\).

При движении трамвая со скоростью \(v_0\), меньшей максимальной скорости, выполняется соотношение

\[\beta v_0^2 = I_0 U - I_0^2 R,\tag{3}\]

а при движении с максимальной скоростью справедливо

\[\beta v_{\text{max}}^2 = \frac{U^2}{4R}.\tag{4}\]

Решив уравнения (3)-(4), определим сопротивление цепи

\[R = \frac{U}{2I_0} \left(1 \pm \sqrt{1 - \frac{v_0^2}{v_{\text{max}}^2}}\right).\tag{5}\]

Два решения соответствуют тому, что полезная мощность квадратично зависит от силы тока (см. уравнение (2)), следовательно, её одно и то же значение может быть достигнуто при двух значениях сопротивления цепи..

При остановке трамвая сила тока в цепи двигателя станет равной

\[I = \frac { U } { R } = \frac { 2 I _ { 0 } } { 1 \pm \sqrt { 1 - \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { v _ { m a x } ^ { 2 } } } } .\]

Два рассчитанных по этой формуле значения силы тока равны \(600\text{А}\) и \(32\text{А}\). Для выбора одного из значений рассчитаем по формуле (4) максимальную мощность, достигаемую при данных значениях сопротивления и напряжения в цепи. Получаем \(99\) кВт при напряжении \(660\) В и токе \(600\) А и \(5{,}3\) кВт при \(660\) В и токе \(32\) А. Очевидно, что реальным является первое значение мощности трамвая, а следовательно, и первое значение силы тока, т.е. \(600\) А.

Ответ

\(I = 600\) А

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

В положении равновесия суммарные моменты силы тяжести и силы Ампера относительно оси равны; ток через пластинки делится поровну, так как их сопротивление мало.

Ответ

\(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\mathcal{E}Bl}{nrmg}\), где \(n\) — число пластинок.

Решение

11-2. Рассмотрим внешние силы, действующие на пластинку номер \(k\), расположенную на расстоянии \(x_k\) от оси вращения. Помимо силы тяжести \(mg\), на нее действует со стороны магнитного поля сила Ампера \(F = IBl\). Условие равновесия обоймы сводится к равенству суммарных моментов сил тяжести и сил Ампера

\[\sum_k mgx_k \sin\alpha = \sum_k I_k Blx_k \cos\alpha.\tag{1}\]

Так как пластинки одинаковы и соединены параллельно, а внутреннее сопротивление источника значительно превышает сопротивление пластинок, то сила тока через каждую пластинку может быть найдена по формуле

\[I_k = \frac{\varepsilon}{nr},\tag{2}\]

где \(n\) - общее число вложенных пластинок. Из уравнений (1)-(2) находим положение равновесия

\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\varepsilon Bl}{nrmg}.\tag{3}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Равновесное расстояние найдите из условия нулевой силы \(f=-U'=0\). Для упругих свойств разложите силу при малом смещении, для предела прочности — найдите максимум силы притяжения, для расширения — несимметричность потенциальной ямы при энергии \(kT\).

Ответ

а) \(\rho=m\sqrt{\dfrac{b}{2a}}\); б) \(\lambda=\dfrac{3b^2}{4am}\); в) \(E\approx12{,}7\,b\left(\dfrac{b}{a}\right)^{3/2}\); г) \(\sigma_{\text{н.р.}}\approx26{,}2\,b\left(\dfrac{b}{a}\right)^{3/2}\); д) \(\varepsilon_{\text{н.р.}}\approx0{,}11\); е) \(\alpha=\dfrac{7ak}{18b^2}\).

Решение

11-3. Вычислим силу взаимодействия между двумя атомами как функцию расстояния между ними

\[f = -U' = \frac{12a}{r^{13}} - \frac{6b}{r^7}.\tag{1}\]

Положению равновесия соответствует нулевая сила взаимодействия (или, что равносильно, минимум потенциальной энергии). Поэтому

равновесное расстояние между атомами (период решетки) найдем из условия \(f = 0\), из которого следует

\[r_0 = \left( \frac{2a}{b} \right)^{\frac{1}{6}}.\tag{2}\]

На один атом в кубической кристаллическое решетке приходится объем \(r_0^3\), следовательно плотность кристалла рассчитывается по формуле

\[\rho = \frac{m}{r_0^3} = m \sqrt{\frac{b}{2a}}.\tag{3}\]

Вычислим энергию связи, приходящуюся на один атом. Так как атом взаимодействует с \(n = 6\) ближайшими соседями, то его потенциальная энергия

\[u = \frac{n}{2} U(r_0) = -\frac{3b^2}{4a},\tag{4}\]

где учтено, что функция \(U(r)\) описывает энергию взаимодействия двух атомов. Для перехода из кристаллического в газообразное состояние нужно сообщить кристаллу энергию, необходимую для разрыва всех связей, иными словами, удельная теплота сублимации рассчитывается по формуле

\[\lambda = -\frac{u}{m} = \frac{3b^2}{4am}.\tag{5}\]

При отклонении атомов от положения равновесия возникает сила, стремящаяся вернуть атомы в исходное положение. При малых деформациях эта сила пропорциональна деформации. Для ее вычисления преобразуем формулу (1) при условии \(r = r_0 + x\), где \(x\) - малое отклонение от положения равновесия. В ходе преобразований необходимо использовать приближенную формулу, приведенную в условии задачи с учетом членов первого порядка малости

\[f = \frac{12a}{(r_0 + x)^{13}} - \frac{6b}{(r_0 + x)^7} = \frac{12a}{r_0^{13}} \left( 1 + \frac{x}{r_0} \right)^{-13} - \frac{6b}{r_0^7} \left( 1 + \frac{x}{r_0} \right)^{-7} \approx -\frac{36b}{r_0^7} \cdot \frac{x}{r_0}.\tag{6}\]

В поперечном сечении кристалла на один атом приходится площадь \(r_0^2\), следовательно, механическое напряжение в кристалле определяется формулой

\[\sigma = \frac{f}{r_0^2} = \frac{36b}{r_0^9} \cdot \frac{x}{r_0} = \frac{18}{\sqrt{2}} b \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{x}{r_0}.\tag{7}\]

Сравнивая с законом Гука \(\sigma = E \varepsilon\) (где \(\varepsilon = x / r_0\) - относительная деформация), получим выражение для модуля Юнга

\[E = \frac{18}{\sqrt{2}} b \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{3}{2}} \approx 12{,}7\, b \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{3}{2}}.\tag{8}\]

Сила взаимодействия между атомами принимает максимальное значение при некотором расстоянии \(r_1\). Если расстояние между атомами превысит \(r_1\), то сила взаимодействия (притяжения) начнет уменьшаться и, следовательно, при постоянной внешней силе кристалл разрушится. Найдем значение \(r_1\) из условия \(f' = 0\):

\[f' = -\frac{12 \cdot 13a}{r^{14}} + \frac{6 \cdot 7b}{r^8} = 0.\tag{9}\]

Из уравнения (9) находим расстояние \(r_1\), при котором сила притяжения максимальна

\[r_1 = \left( \frac{26a}{7b} \right)^{\frac{1}{6}}.\tag{10}\]

Таким образом, максимальное относительное удлинение кристалла до разрушения определяется соотношением

\[\varepsilon_{max} = \frac{r_1 - r_0}{r_0} = \left( \frac{13}{7} \right)^{\frac{1}{6}} - 1 \approx 0{,}11.\tag{11}\]

При таком удлинении сила взаимодействия и соответствующее механическое напряжение (которое и является предельной прочностью) определяются формулой

\[\sigma_{max} = \frac{U'(r_1)}{r_0^2} = \frac{18}{\sqrt{2}} \left( \frac{13}{7} \right)^{\frac{7}{6}} b \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{3}{2}} \approx 26{,}2b \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{3}{2}}.\tag{12}\]

Термическое расширение твердых тел связано с увеличением кинетической энергии колеблющихся атомов. С ростом температуры увеличивается диапазон изменения расстояний между атомами. Существенным фактором является несимметричность потенциальной кривой - максимальное отклонение от положения равновесия в большую сторону превышает отклонение в меньшую сторону. Обозначим максимальное и минимальное расстояния между атомами в ходе колебаний \(r_1\) и \(r_2\), соответственно. Тогда среднее расстояние между атомами может быть оценено как среднее арифметическое между этими величинами. Расстояния \(r_1\) и \(r_2\) являются корнями уравнения

\[U(r) = U(r_0) + kT,\tag{13}\]

где \(kT\) - средняя энергия одномерного колебательного движения атомов в кристаллической решетке (\(k\) - постоянная Больцмана, \(T\) - абсолютная температура). Если обозначить \(x = r^{-6}\) и принять во внимание, что \(U(r_0)=-\dfrac{b^2}{4a}\), то уравнение (13) примет вид

\[ax^2 - bx + \frac{b^2}{4a} - kT = 0,\tag{14}\]

корни которого находятся по формуле

\[x _ { 1 , 2 } = \frac { b } { 2 a } \left( 1 \pm \sqrt { \frac { 4 a k T } { b ^ { 2 } } } \right) .\tag{15}\]

Теперь можно найти значения \(r_1\) и \(r_2\):

\[r _ { 1 , 2 } = r _ { 0 } ( 1 \pm \delta ) ^ { - \frac { 1 } { 6 } } \approx r _ { 0 } ( 1 \mp \frac { \delta } { 6 } + \frac { 7 } { 7 2 } \delta ^ { 2 } ) ,\tag{16}\]

где обозначено \(\delta = \sqrt { \frac { 4 a k T } { b ^ { 2 } } }\) и использовано разложение степенной функции с учетом членом второго порядка малости. Среднее расстояние между атомами найдем, усредняя \(r_1\) и \(r_2\):

\[\overline { { { r } } } = \frac { r _ { 1 } + r _ { 2 } } { 2 } = r _ { 0 } \left( 1 + \frac { 7 } { 7 2 } \delta ^ { 2 } \right) = r _ { 0 } \left( 1 + \frac { 7 a k T } { 1 8 b ^ { 2 } } \right) .\tag{17}\]

Сравнивая выражение (17) с формулой термического расширения \(l = l _ { 0 } ( 1 + \alpha \Delta T )\), находим линейный коэффициент термического расширения

\[\boxed { \alpha = \frac { 7 a k } { 1 8 b ^ { 2 } } } .\tag{18}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Почернение пропорционально экспозиции; там, где импульсы перекрываются, интенсивность возбуждения вдвое больше, а люминесценции — вчетверо. Найдите границы области перекрытия из законов движения фронтов.

Ответ

Зависимость почернения от координаты кусочно-линейна, ширина максимума равна длине импульса в растворе \(c\tau\); \(\delta l\approx6\text{ мм}\), длительность импульса \(\tau\approx3\cdot10^{-11}\text{ с}=30\text{ пс}\).

Решение

11-4. Степень почернения фотопластинки пропорциональна экспозиции - произведению интенсивности света на время засветки. Если интенсивность света изменяется в течение времени фотографирования, то для вычисления степени почернения необходимо просуммировать экспозиции по тем промежуткам в течении которых интенсивность света постоянна. В разных точках трека световые импульсы перекрываются по разному (либо не перекрываются вовсе). В момент перекрытия импульсов интенсивность возбуждения возрастает в 2 раза, следовательно, интенсивность люминесценции возрастает в 4 раза. Этим объясняется наличие области большего почернения на фотографии трека. Заметим, что в случае обычной люминесценции или рассеяние «след» импульса имел бы постоянную засветку.

Построим графики законов движения передних и задних фронтов первого, распространяющегося вправо, и второго, распространяющегося влево, импульсов:

1) передний фронт первого импульса \(x_1 = ct\);

2) задний фронт первого импульса \(x_2 = c(t - \tau)\); 3) передний фронт второго импульса \(x_3 = l - ct\); 4) задний фронт второго импульса \(x_4 = l - c(t - \tau)\).

В этих уравнениях \(c\) - скорость света в растворе; \(l\) - длина кюветы; \(\tau\) - длительность импульса. Как видно из графиков импульсы перекрываются в области от точки \(A\) до точки \(C\), а в точке \(B\) - перекрытие импульсов полное. Координаты этих точек легко найти из уравнений движения:

\[x_A = \frac{l - c\tau}{2}; x_B = \frac{l}{2}; x_C = \frac{l + c\tau}{2}.\]

При \(x < x_A\) возбуждающие импульсы не перекрываются, поэтому суммарная засветка пленки в этих точках равна \(E_1 = 2bI_0^2\tau\), где \(b\) - некоторый постоянный коэффициент. При \(x_A < x < x_B\) степень засветки следует рассчитывать по формуле

\[E_2 = bI_0^2(t_2 - t_1) + b(2I_0)^2(t_3 - t_2) + bI_0^2(t_4 - t_3),\]

где смысл используемых моментов времени ясен из рисунка. Эти моменты времени также легко могут быть найдены из законов движения. Аккуратный подсчет засветки в этой области приводит к результату

\[E_2 = bI_0^2(4\tau - 2\frac{l - 2x}{c}).\]

При \(x > x_B\) функция отображается симметрично - для чего следует заменить величину \(l - 2x\) на \(2x - l\). Таким образом полностью искомая зависимость степени почернения от координаты имеет вид:

\[E = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 2 b I _ { 0 } ^ { 2 } \tau , } & { \text{при} \quad \displaystyle x < \frac { l - c \tau } { 2 } } \\ { \displaystyle b I _ { 0 } ^ { 2 } ( 4 \tau - 2 \frac { l - 2 x } { c } ) , } & { \text{при} \quad \displaystyle \frac { l - c \tau } { 2 } < x < \frac { l } { 2 } } \\ { \displaystyle b I _ { 0 } ^ { 2 } ( 4 \tau - 2 \frac { 2 x - l } { c } ) , } & { \text{при} \quad \displaystyle \frac { l } { 2 } < x < \frac { l + c \tau } { 2 } } \\ { \displaystyle 2 b I _ { 0 } ^ { 2 } \tau , } & { \text{при} \quad \displaystyle x > \frac { l + c \tau } { 2 } } \end{array} \right.\]

График этой функции представлен на рис.2. Легко заметить, что разность \(x _ { C } - x _ { A } = c \tau\), т.е. ширина максимума равна длине импульса в растворе, откуда без труда вычисляется его длительность.

В реальном эксперименте такого типа неизбежны флуктуации степени почернения. Поэтому необходимо на приведенном графике «усреднить» функциональную зависимость, что проделано на рис.3.

Из этого графика находим, что длина импульса примерно равна \(\delta l \approx 6\) мм, следовательно, его длительность

\[\tau = \frac { \delta l } { c } = \frac { n \delta l } { c _ { 0 } } \approx 3 \cdot 10^{-11}\ \text{с} = 30\ \text{пс},\]

где \(c _ { 0 } \approx 3 \cdot 1 0 ^ { 8 }\) м / с - скорость света в вакууме.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.