Белорусская, 1998/99, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

При наклоне плиты \(45^\circ\) скорость после упругого удара горизонтальна. Выразите дальность \(S\) через высоту \(H\) точки \(A\) и высоту плиты \(h_0\).

Ответ

Время движения \(t\approx1{,}35\text{ с}\); \(S\) максимальна при \(h_0=H/2=2{,}5\text{ м}\), при этом \(S_{\max}=H=5{,}0\text{ м}\).

Решение

9-1. Так как плита наклонена под углом \(45^\circ\) к горизонту, то после удара скорость шарика \(\vec{V}_1\) будет направлена горизонтально. Поэтому, движение шарика после удара описывается уравнениями

\[\begin{cases} S = V_1 t_2 \\ h = \frac{g t_2^2}{2} \end{cases}\tag{1}\]

где \(t_2\)- время движения от удара о плиту до падения на землю. Из системы уравнений (1) находим

\[t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}; \quad V_1 = S \sqrt{\frac{g}{2h}}.\tag{2}\]

Зная скорость шарика перед ударом о плиту, найдем время его движения от начальной точки \(A\) до удара

\[t_1 = \frac{V_1}{g} = \frac{S}{\sqrt{2gh}}.\tag{3}\]

Полное время движения шарика рассчитаем по формуле

\[t = t_1 + t_2 = \frac{S}{\sqrt{2gh}} + \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 1{,}35 \text{с}.\tag{4}\]

Используя выражение (3), найдем высоту \(H\) точки \(A\) над уровнем земли

\[H = h + \frac{g t_1^2}{2} = h + \frac{S^2}{4h} = 5{,}0 \text{м}.\tag{5}\]

Найдем высоту \(h_0\), на которой необходимо расположить плиту, чтобы дальность полета \(S\) была максимальна. Пройдя в свободном падении путь \((H - h_0)\), шарик наберет скорость \(V_1 = \sqrt{2g(H - h_0)}\). Как следует из формул (2), после отражения он пролетит до падения на землю расстояние

\[S = V_1 \sqrt{\frac{2h_0}{g}} = 2 \sqrt{h_0 (H - h_0)}.\tag{6}\]

Подкоренное выражение представляет собой квадратную функцию от \(h_0\), которая в данном случае достигает максимума при

\[\boxed{h_0 = \frac{H}{2} = 2{,}5\,\text{м}}, \text{ при этом } \boxed{S_{\text{max}} = H = 5{,}0\,\text{м}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Вся начальная кинетическая энергия вращения уходит в работу трения, которая пропорциональна силе трения, средней скорости точек касания и времени. Найдите, как эти величины зависят от радиуса отверстия.

Ответ

\(t_2=\dfrac{r_1\sqrt{R^2-r_2^2}}{r_2\sqrt{R^2-r_1^2}}\,t_1\approx21\text{ с}\).

Решение

9-2. При вращении кинетическая энергия шара вследствие работы сил трения перейдет в тепловую. Работа сил трения может быть рассчитана по формуле

\[A = F V_{\text{ср.}} t,\tag{1}\]

где \(F\) - сумма модулей сил трения, действующих на отдельные участки линии соприкосновения шара и плиты; \(V_{\text{ср.}} = \dfrac{\omega_0 r}{2}\) - средняя скорость движения точек соприкосновения, \(\omega_0\) - начальная угловая скорость вращения (так как все силы действующие на шарик постоянны, то его движение будет равнозамедленным, следовательно средняя скорость до остановки равна половине начальной); \(t\) - время движения. Величину \(F\) найдем по закону Кулона-Амонтона

\[F = \mu N,\tag{2}\]

где \(N\) - суммарная сила нормальной реакции плиты, действующей на шарик. Так как центр масс шарика покоится, сила тяжести уравновешивается вертикальной составляющей сил реакции

\[mg = N \cos\alpha = N \frac{\sqrt{R^2 - r^2}}{R},\tag{3}\]

откуда следует

\[N = mg \frac{R}{\sqrt{R^2 - r^2}}.\tag{4}\]

Подставив выражения (2)-(4) в формулу (1), получим

\[A = \mu mg \frac{R}{\sqrt{R^2 - r^2}} \cdot \frac{\omega_0 r}{2} t.\tag{5}\]

Начальные скорости вращения шарика в обоих случаях равны, поэтому равны и его кинетические энергии, следовательно, равны и работы сил трения. Таким образом, из уравнения (5) следует соотношение

\[\frac{r_1 t_1}{\sqrt{R^2 - r_1^2}} = \frac{r_2 t_2}{\sqrt{R^2 - r_2^2}},\tag{6}\]

из которого находим окончательный ответ задачи

\[t _ { 2 } = \frac { r _ { 1 } \sqrt { R ^ { 2 } - r _ { 2 } ^ { 2 } } } { r _ { 2 } \sqrt { R ^ { 2 } - r _ { 1 } ^ { 2 } } } t _ { 1 } \approx 21\ \text{с}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Шкала термометра линейна: по двум известным точкам (лёд и кипяток) найдите связь показаний с истинной температурой.

Ответ

Температура воздуха в комнате \(\approx22^\circ\text{C}\).

Решение

9-3. Так как самодельный термометр работает на принципе теплового расширения жидкости, то его шкала в заданном диапазоне температур линейна. Следовательно, истинная температура, которую мы обозначим \(\tau\), связана с показанием термометра \(t\) линейным соотношением

\[\tau = a + bt,\tag{1}\]

где \(a, b\) - постоянные величины, которые легко найти из двух известных температур плавления льда и кипения воды с соответствующих показаний термометра:

\[\begin{aligned} \tau_0 &= a + bt_0 \\ \tau_1 &= a + bt_1 \end{aligned}\tag{2}\]

здесь \(\tau_0 = 0^\circ C\) - температура плавления льда, \(\tau_1 = 100^\circ C\) - температура кипения воды. Из системы уравнений (2) находим параметры формулы (1):

\[b = \frac{\tau_1 - \tau_0}{t_1 - t_0} \approx 1{,}11 \quad ; \quad a = \frac{\tau_0 t_1 - \tau_1 t_0}{t_1 - t_0} \approx -5{,}56.\]

Следовательно истинная температура воздуха в комнате

\[\tau = a + bt \approx 22^\circ C.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Расход жидкости при заданной разности давлений ведёт себя как ток в цепи: «сопротивление» трубы пропорционально её длине. Кольцо — два параллельных полукольца.

Ответ

\(V=V_0\dfrac{l}{l-2r+\dfrac{\pi r}{2}}\).

Решение

9-4. Наиболее простой способ решения данной задачи - воспользоваться аналогией между законом движения жидкости по трубе и законами постоянного тока. Действительно, если заменить среднюю скорость движения жидкости (и пропорциональный ей расход) на силу тока, разность давлений на электрическое напряжение, а величину \(\frac{l}{\lambda S}\) на электрическое сопротивление, то из уравнения для расхода жидкости получим закон Ома для участка цепи \(I = \frac{U}{R}\). Сопротивление цепи, аналогичной прямой трубе определяется формулой

\[R_0 = \frac{l}{\lambda S}.\tag{1}\]

А сопротивление цепи, аналогичной системе труб с врезанным кольцом, рассчитаем с использованием законов последовательного и параллельного соединения проводников:

\[R _ { l } = \frac { l - 2 r + \displaystyle \frac { \pi r } { 2 } } { \lambda S } .\tag{2}\]

Так как при постоянном напряжении сила тока обратно пропорциональна сопротивлению участка, то и для расхода жидкости будет выполняться аналогичное соотношение

\[\frac { V _ { l } } { V _ { 0 } } = \frac { R _ { 0 } } { R _ { l } } .\tag{3}\]

Следовательно,

\[V _ { l } = V _ { 0 } \frac { l } { l - 2 r + \displaystyle \frac { \pi r } { 2 } }\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Подсказка

Смещение и ускорение находятся по графику скорости; удобнее сначала построить \(x(t)\) и \(F(t)\), а затем \(F(x)\). Работу найдите по изменению кинетической энергии.

Ответ

График \(F(x)\) строится по точкам (см. решение); работа за \(5{,}0\) с \(A=\dfrac{mv^2}{2}\approx12{,}5\text{ Дж}\).

Решение

9-5. По графику зависимости скорости от времени можно приблизительно найти изменение координаты тела \(\Delta x\) за небольшой промежуток времени \(\Delta t\) по формуле \(\Delta x = \frac { v _ { 1 } + v _ { 0 } } { 2 } \Delta t\), где \(v _ { 1 } , v _ { 0 }\) - скорости тела в конце и начале рассматриваемого промежутка времени. Среднее значение ускорения на этом же временном интервале можно приблизительно рассчитать по формуле \(a = \frac { v _ { 1 } - v _ { 0 } } { \Delta t }\). Заметим, что координату тела легче рассчитывать в конце рассматриваемого интервала, а ускорение в его середине, кроме того, точность таких вычислений не слишком высока, поэтому лучше сначала построить графики зависимостей координаты и силы, действующей на тело (\(F = m a\)) от времени, а затем уже требуемую зависимость силы от координаты. Результаты таких построений

показаны на рисунках.

Работу, совершенную силой, проще и точнее рассчитать, как изменение кинетической энергии тела

\[A = \frac{mv^2}{2} \approx 12{,}5 \text{ Дж}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.